Уравнение Льенара

В математике , точнее при изучении динамических систем и дифференциальных уравнений , уравнение Льенара — разновидность обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, названного в честь французского физика Альфреда-Мари Льенара .

Во время развития радиотехники и технологии электронных ламп уравнения Льенара интенсивно изучались, поскольку их можно использовать для моделирования колебательных контуров . При некоторых дополнительных предположениях теорема Льенара гарантирует единственность и существование предельного цикла такой системы. Система Льенара с кусочно-линейными функциями может содержать и гомоклинические орбиты .

Определение

Пусть f и g — две непрерывно дифференцируемые функции на ⁠ $\mathbb {R} ,$⁠ где f — четная функция , а g — нечетная функция . второго порядка Тогда обыкновенное дифференциальное уравнение вида $${d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0$$ называется уравнением Льенара .

система Леонарда

Уравнение можно преобразовать в эквивалентную двумерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений . Мы определяем

$F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi$

$x_{1}:=x$

$x_{2}:={dx \over dt}+F(x)$

затем

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}$

называется системой Льенара .

Альтернативно, поскольку само уравнение Льенара также является автономным дифференциальным уравнением , замена $v={dx \over dt}$ приводит уравнение Льенара к дифференциальному уравнению первого порядка :

$v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0$

которое представляет собой уравнение Абеля второго рода .

Пример

The Van der Pol oscillator

${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0$

представляет собой уравнение Льенара. Решение осциллятора Ван дер Поля имеет предельный цикл. Такой цикл имеет решение уравнения Льенара с отрицательным $f(x)$ в маленьком $|x|$ и позитивный $f(x)$ в противном случае. Уравнение Ван дер Поля не имеет точного аналитического решения. Такое решение для предельного цикла существует, если $f(x)$ — постоянная кусочная функция.

Теорема Льенара

Система Льенара имеет уникальный и устойчивый предельный цикл, окружающий начало координат, если она удовлетворяет следующим дополнительным свойствам:

• g ( x ) > 0 для всех x > 0;
• $\lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty ;$
• F ( x ) имеет ровно один положительный корень при некотором значении p , где F ( x ) <0 для 0 < x < p и F ( x )>0 и монотонно для x > p .

См. также

• Biryukov equation

Внешние ссылки

• «Уравнение Льенара» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• LienardSystem в PlanetMath .