Biryukov equation

Синусоидальные колебания F = 0,01

В исследовании динамических систем уравнение Бирюкова (или осциллятор Бирюкова ), названное в честь Вадима Бирюкова (1946), представляет собой нелинейное второго порядка, дифференциальное уравнение используемое для моделирования затухающих осцилляторов .

Уравнение имеет вид $${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(y){\frac {dy}{dt}}+y=0,\qquad \qquad (1)$$

где ƒ ( y ) — кусочно-постоянная функция, которая положительна, за исключением малых y, как

$${\begin{aligned}&f(y)={\begin{cases}-F,&|y|\leq Y_{0};\\[4pt]F,&|y|>Y_{0}.\end{cases}}\\[6pt]&F={\text{const.}}>0,\quad Y_{0}={\text{const.}}>0.\end{aligned}}$$

уравнение (1) является частным случаем уравнения Льенара ; оно описывает автоколебания.

Решение (1) на отдельных интервалах времени при постоянной f(y) имеет вид

$$y_{k}(t)=A_{1,k}\exp(s_{1,k}t)+A_{2,k}\exp(s_{2,k}t)\qquad \qquad (2)$$

где exp обозначает показательную функцию . Здесь $$s_{k}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {F}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {F}{2}}\right)^{2}-1}},&|y|<Y_{0};\\[2pt]\displaystyle -{\frac {F}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {F}{2}}\right)^{2}-1}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$Выражение (2) можно использовать для действительных и комплексных значений s _k .

Решение первого полупериода при $y(0)=\pm Y_{0}$ является

Релаксационные колебания F = 4

$${\begin{aligned}y(t)&={\begin{cases}y_{1}(t),&0\leq t<T_{0};\\[4pt]y_{2}(t),&\displaystyle T_{0}\leq t<{\frac {T}{2}}.\end{cases}}\\[4pt]y_{1}(t)&=A_{1,k}\cdot \exp(s_{1,k}t)+A_{2,k}\cdot \exp(s_{2,k}t),\\[2pt]y_{2}(t)&=A_{3,k}\cdot \exp(s_{3,k}t)+A_{4,k}\cdot \exp(s_{4,k}t).\end{aligned}}$$

Решение второго полупериода:

$$y(t)={\begin{cases}\displaystyle -y_{1}\left(t-{\frac {T}{2}}\right),&\displaystyle {\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}+T_{0};\\[4pt]\displaystyle -y_{2}\left(t-{\frac {T}{2}}\right),&\displaystyle {\frac {T}{2}}+T_{0}\leq t<T.\end{cases}}$$

Решение содержит четыре константы интегрирования A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ период T и границу T ₀ между y ₁ ( t ) и y ₂ ( t ) , необходимо найти . Граничные условия выводятся из непрерывности y ( t ) и dy / dt .

Таким образом, решение (1) в стационарном режиме получается путем решения системы алгебраических уравнений вида

$${\begin{array}{ll}&y_{1}(0)=-Y_{0}&y_{1}(T_{0})=Y_{0}\\[6pt]&y_{2}(T_{0})=Y_{0}&y_{2}\!\left({\tfrac {T}{2}}\right)=Y_{0}\\[6pt]&\displaystyle \left.{\frac {dy_{1}}{dt}}\right|_{T_{0}}=\left.{\frac {dy_{2}}{dt}}\right|_{T_{0}}\qquad &\displaystyle \left.{\frac {dy_{1}}{dt}}\right|_{0}=-\left.{\frac {dy_{2}}{dt}}\right|_{\frac {T}{2}}\end{array}}$$

Константы интегрирования получены с помощью алгоритма Левенберга–Марквардта . С $f(y)=\mu (-1+y^{2})$, $\mu ={\text{const.}}>0,$ уравнение (1) так называемый осциллятор Ван дер Поля . Ее решение не может быть выражено элементарными функциями в замкнутой форме.