Взял уравнения

В дифференциальной геометрии и калибровочной теории уравнения Нама представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений введенную Вернером Намом в контексте преобразования Нама – альтернативы Уорда монополей твисторной конструкции , . Уравнения Нама формально аналогичны алгебраическим уравнениям в , ADHM конструкции инстантонов где матрицы конечного порядка заменены дифференциальными операторами.

Глубокое исследование уравнений Нама провели Найджел Хитчин и Саймон Дональдсон . Концептуально уравнения возникают в процессе бесконечномерной гиперкелеровой редукции . Их также можно рассматривать как размерную редукцию антиавтодуальных уравнений Янга-Миллса ( Дональдсон, 1984 ). Среди их многочисленных приложений мы можем упомянуть: конструкцию монополей Хитчина , где этот подход имеет решающее значение для установления невырожденности монопольных решений ; описание Дональдсоном пространства модулей монополей ; и существование гиперкелеровой структуры на коприсоединенных орбитах комплексных полупростых групп Ли , доказанное ( Кронхаймер 1990 ), ( Бикард 1996 ) и ( Ковалев 1996 ).

Уравнения

Позволять $T_{1}(z),T_{2}(z),T_{3}(z)$ — три матричнозначные мероморфные функции комплексной переменной $z$ . Уравнения Нама представляют собой систему матричных дифференциальных уравнений

{\begin{aligned}{\frac {dT_{1}}{dz}}&=[T_{2},T_{3}]\\[3pt]{\frac {dT_{2}}{dz}}&=[T_{3},T_{1}]\\[3pt]{\frac {dT_{3}}{dz}}&=[T_{1},T_{2}],\end{aligned}}

вместе с некоторыми свойствами аналитичности, условиями реальности и граничными условиями. Эти три уравнения можно кратко записать, используя символ Леви-Чивита , в виде

{\frac {dT_{i}}{dz}}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}[T_{j},T_{k}]=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}T_{j}T_{k}.

В более общем плане, вместо рассмотрения $N$ к $N$ матриц, можно рассматривать уравнения Нама со значениями в алгебре Ли $g$ .

Дополнительные условия

Переменная $z$ ограничивается открытым интервалом $(0,2)$ , и налагаются следующие условия:

$T_{i}^{*}=-T_{i};$
$T_{i}(2-z)=T_{i}(z)^{T};\,$
$T_{i}N$ можно продолжить до мероморфной функции $z$ в окрестности замкнутого интервала $[0,2]$ , аналитический за пределами $0$ и $2$ , и с простыми полюсами при $z=0$ и $z=2$ ; и
На полюсах остатки $T_{1},T_{2},T_{3}$ образуют неприводимое представление группы SU(2) .

Описание монополий Нама – Хитчина

Существует естественная эквивалентность между

монополи заряда $K$ для группы $SU(2)$ , калибровочные преобразования по модулю и
решения уравнений Нама, удовлетворяющие указанным выше дополнительным условиям, по модулю одновременного сопряжения $T_{1},T_{2},T_{3}$ группой $O(k,R)$ .