Уравнение Клеро

В анализе математическом уравнение Клеро (или уравнение Клеро ) представляет собой дифференциальное уравнение вида

y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)

где $f$ дифференцируема непрерывно . Это частный случай дифференциального уравнения Лагранжа. Оно названо в честь французского математика Алексиса Клеро , который ввёл его в 1734 году. ^{[ 1 ]}

Решение

Чтобы решить уравнение Клеро, нужно дифференцировать по $x$ , уступая

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},

так

\left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.

Следовательно, либо

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0

или

x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.

В первом случае $C=dy/dx$ для некоторой константы $C$ . Подставив это в уравнение Клеро, можно получить семейство прямых функций, заданное формулой

y(x)=Cx+f(C),\,

так называемое общее решение уравнения Клеро.

Последний случай,

x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,

определяет только одно решение $y(x)$ , так называемое особое решение , график которого является огибающей графиков общих решений. Сингулярное решение обычно представляется с использованием параметрических обозначений, как $(x(p),y(p))$ , где $p=dy/dx$ .

Параметрическое описание особого решения имеет вид

x(t)=-f'(t),\,

y(t)=f(t)-tf'(t),\,

где $t$ является параметром.

Примеры

Следующие кривые представляют решения двух уравнений Клеро:

$f(p)=p^{2}$
$f(p)=p^{3}$

В каждом случае общие решения изображены черным цветом, а единственное решение — фиолетовым.

Расширение

первого порядка В более широком смысле, уравнение в частных производных вида

\displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})

также известно как уравнение Клеро. ^{[ 2 ]}

См. также

Примечания

^ Клеро 1734 .
^ Камке 1944 .

Ссылки

Клеро, Алексис Клод (1734 г.): «Решение нескольких задач, в которых речь идет о поиске кривых, свойство которых состоит в определенном отношении между их ветвями, выраженном данным уравнением». , История Королевской академии наук : 196–215 .

Камке, Э. (1944), Дифференциальные уравнения: решения и методы решения (на немецком языке), том. 2. Уравнения в частных производных первого порядка для искомой функции, Акад .

Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Клеро» , Энциклопедия математики , EMS Press .

[1] Клеро 1734 .

[2] Камке 1944 .

[ 1 ]

[ 2 ]