Уравнение Абеля первого рода

Эта статья о некоторых дифференциальных уравнениях. Чтобы узнать о некоторых функциональных уравнениях, названных в честь Абеля, см. уравнение Абеля .

В математике уравнение Абеля первого рода , названное в честь Нильса Хенрика Абеля , — это любое обыкновенное дифференциальное уравнение , кубическое относительно неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида

$y'=f_{3}(x)y^{3}+f_{2}(x)y^{2}+f_{1}(x)y+f_{0}(x)\,$

где $f_{3}(x)\neq 0$.

Характеристики

Если $f_{3}(x)=0$ и $f_{0}(x)=0$, или $f_{2}(x)=0$ и $f_{0}(x)=0$уравнение сводится к уравнению Бернулли , а если $f_{3}(x)=0$ уравнение сводится к уравнению Риккати .

Решение

Замена $y={\dfrac {1}{u}}$ приводит уравнение Абеля первого рода к уравнению Абеля второго рода вида

$uu'=-f_{0}(x)u^{3}-f_{1}(x)u^{2}-f_{2}(x)u-f_{3}(x).\,$

Замена

${\begin{aligned}\xi &=\int f_{3}(x)E^{2}~dx,\\[6pt]u&=\left(y+{\dfrac {f_{2}(x)}{3f_{3}(x)}}\right)E^{-1},\\[6pt]E&=\exp \left(\int \left(f_{1}(x)-{\frac {f_{2}^{2}(x)}{3f_{3}(x)}}\right)~dx\right)\end{aligned}}$

приводит уравнение Абеля первого рода к каноническому виду

$u'=u^{3}+\phi (\xi ).\,$

Димитриос Э. Панайотунакос и Теодорос И. Зармпутис открыли аналитический метод решения приведенного выше уравнения в неявной форме.

Ссылки

• Панайотунакос, Делавэр; Панайотунаку, Северная Дакота; Вакакис, AFA (2002). «О решении невынужденного затухающего генератора Даффинга без члена линейной жесткости». Нелинейная динамика . 28 : 1–16. дои : 10.1023/А:1014925032022 . S2CID   117115358 .
• Манкас, Стефан С.; Рошу, Харет К. (2013). «Интегрируемые диссипативные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка посредством факторизации и уравнения Абеля». Буквы по физике А. 377 : 1434–1438. arXiv : 1212.3636 . дои : 10.1016/j.physleta.2013.04.024 .