Все решетки

Решетка Тода , введенная Мориказу Тодой ( 1967 ), представляет собой простую модель одномерного кристалла в физике твердого тела . Она известна тем, что является одним из самых ранних примеров нелинейной полностью интегрируемой системы .

Он задается цепочкой частиц с взаимодействием ближайших соседей, описываемой гамильтонианом

{\begin{aligned}H(p,q)&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {p(n,t)^{2}}{2}}+V(q(n+1,t)-q(n,t))\right)\end{aligned}}

и уравнения движения

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}p(n,t)&=-{\frac {\partial H(p,q)}{\partial q(n,t)}}=e^{-(q(n,t)-q(n-1,t))}-e^{-(q(n+1,t)-q(n,t))},\\{\frac {d}{dt}}q(n,t)&={\frac {\partial H(p,q)}{\partial p(n,t)}}=p(n,t),\end{aligned}}

где $q(n,t)$ это смещение $n$ -я частица из положения равновесия,

и $p(n,t)$ это его импульс (масса $m=1$ ),

и потенциал Тоды $V(r)=e^{-r}+r-1$ .

Солитонные решения

Солитонные решения представляют собой уединенные волны, распространяющиеся во времени без изменения своей формы и размера и взаимодействующие друг с другом подобно частицам. Общее N-солитонное решение уравнения имеет вид

{\begin{aligned}q_{N}(n,t)=q_{+}+\log {\frac {\det(\mathbb {I} +C_{N}(n,t))}{\det(\mathbb {I} +C_{N}(n+1,t))}},\end{aligned}}

где

C_{N}(n,t)={\Bigg (}{\frac {\sqrt {\gamma _{i}(n,t)\gamma _{j}(n,t)}}{1-e^{\kappa _{i}+\kappa _{j}}}}{\Bigg )}_{1<i,j<N},

с

\gamma _{j}(n,t)=\gamma _{j}\,e^{-2\kappa _{j}n-2\sigma _{j}\sinh(\kappa _{j})t}

где $\kappa _{j},\gamma _{j}>0$ и $\sigma _{j}\in \{\pm 1\}$ .

Интегрируемость

Решетка Тоды является типичным примером полностью интегрируемой системы . Чтобы увидеть это, используются Flaschka переменные .

a(n,t)={\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-(q(n+1,t)-q(n,t))/2},\qquad b(n,t)=-{\frac {1}{2}}p(n,t)

такая, что решетка Тоды имеет вид

{\begin{aligned}{\dot {a}}(n,t)&=a(n,t){\Big (}b(n+1,t)-b(n,t){\Big )},\\{\dot {b}}(n,t)&=2{\Big (}a(n,t)^{2}-a(n-1,t)^{2}{\Big )}.\end{aligned}}

Чтобы показать, что система вполне интегрируема, достаточно найти пару Лакса , т. е. два оператора L(t) и P(t) в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом последовательностей $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ такая, что уравнение Лакса

{\frac {d}{dt}}L(t)=[P(t),L(t)]

(где [ L , P ] = LP - PL коммутатор Ли двух операторов) эквивалентен производной по времени переменных Флашки. Выбор

{\begin{aligned}L(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)+a(n-1,t)f(n-1)+b(n,t)f(n),\\P(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)-a(n-1,t)f(n-1).\end{aligned}}

где f(n+1) и f(n-1) — операторы сдвига, означает, что операторы L(t) для разных t унитарно эквивалентны.

Матрица $L(t)$ обладает тем свойством, что его собственные значения инвариантны во времени. Эти собственные значения составляют независимые интегралы движения, поэтому решетка Тоды полностью интегрируема.В частности, решетка Тоды может быть решена с помощью обратного преобразования рассеяния для оператора Якоби L . Основной результат означает, что произвольные (достаточно быстро) затухающие начальные условия асимптотически при больших t распадаются на сумму солитонов и затухающую дисперсионную часть.

См. также

Ссылки

Крюгер, Хельге; Тешл, Джеральд (2009), «Пересмотр долговременной асимптотики решетки Тоды для распада исходных данных», Rev. Math. Физ. , 21 (1): 61–109, arXiv : 0804.4693 , Bibcode : 2009RvMaP..21...61K , doi : 10.1142/S0129055X0900358X , MR 2493113 , S2CID 14214460
Тешль, Джеральд (2000), Операторы Якоби и полностью интегрируемые нелинейные решетки , Провиденс: Амер. Математика. Соц., ISBN 978-0-8218-1940-1 , МР 1711536
Тешль, Джеральд (2001), «Почти все, что вы всегда хотели знать об уравнении Тоды» , Годовой отчет Ассоциации немецких математиков , 103 (4): 149–162, MR 1879178
Евгений Гуткин, Интегрируемые гамильтонианы с экспоненциальным потенциалом, Physica 16D (1985) 398-404. два : 10.1016/0167-2789(85)90017-X
Тода, Мориказу (1967), «Колебания цепи с нелинейным взаимодействием», J. Phys. Соц. Япония. , 22 (2): 431–436, Бибкод : 1967JPSJ...22..431T , doi : 10.1143/JPSJ.22.431
Тода, Мориказу (1989), Теория нелинейных решеток , Серия Спрингера в науках о твердом теле, том. 20 (2-е изд.), Берлин: Springer, номер документа : 10.1007/978-3-642-83219-2 , ISBN. 978-0-387-10224-5 , МР 0971987

Внешние ссылки

Э. Вайсштейн, Тода Решетка в ScienceWorld
Г. Тешль, Решетка Тоды
J Phys Специальный выпуск о пятидесятилетии существования решетки Тоды