Теорема о выпрямлении векторных полей

В дифференциальном исчислении теорема о выпрямлении области утверждает, что для векторного поля $X$ на многообразии существуют локальные координаты $y_{1},\dots ,y_{n}$ такой, что $X=\partial /\partial y_{1}$ в окрестностях точки, где $X$ ненулевое значение. Теорема также известна как выпрямление векторного поля .

Теорему Фробениуса в дифференциальной геометрии можно рассматривать как многомерное обобщение этой теоремы.

Доказательство

Понятно, что нам осталось найти такие координаты только в точке 0 в $\mathbb {R} ^{n}$. Сначала мы пишем $X=\sum _{j}f_{j}(x){\partial \over \partial x_{j}}$ где $x$ это некоторая система координат в $0$. Позволять $f=(f_{1},\dots ,f_{n})$. Линейной заменой координат можно считать $f(0)=(1,0,\dots ,0).$ Позволять $\Phi (t,p)$ быть решением задачи начального значения ${\dot {x}}=f(x),x(0)=p$ и пусть

$\psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\Phi (x_{1},(0,x_{2},\dots ,x_{n})).$

$\Phi$ (и таким образом $\psi$) является плавной зависимостью от начальных условий в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Отсюда следует, что

${\partial \over \partial x_{1}}\psi (x)=f(\psi (x))$,

и, поскольку $\psi (0,x_{2},\dots ,x_{n})=\Phi (0,(0,x_{2},\dots ,x_{n}))=(0,x_{2},\dots ,x_{n})$, дифференциал $d\psi$ это личность в $0$. Таким образом, $y=\psi ^{-1}(x)$ это система координат в $0$. Наконец, поскольку $x=\psi (y)$, у нас есть: ${\partial x_{j} \over \partial y_{1}}=f_{j}(\psi (y))=f_{j}(x)$ и так ${\partial \over \partial y_{1}}=X$по мере необходимости.

Ссылки

• Теорема B.7 у Камиллы Лорана-Жангу, Анны Пишеро, Пола Ванхаеке. Пуассоновские структуры , Springer, 2013.