Эллиптическая гамма-функция

В математике эллиптическая гамма-функция является обобщением q-гамма-функции , которая сама по себе является q-аналогом обычной гамма-функции . Она тесно связана с функцией, изученной Джексоном (1905) , и может быть выражена через тройную гамма-функцию . Это дано

$\Gamma (z;p,q)=\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1}/z}{1-p^{m}q^{n}z}}.$

Он подчиняется нескольким тождествам:

$\Gamma (z;p,q)={\frac {1}{\Gamma (pq/z;p,q)}}\,$

$\Gamma (pz;p,q)=\theta (z;q)\Gamma (z;p,q)\,$

и

$\Gamma (qz;p,q)=\theta (z;p)\Gamma (z;p,q)\,$

где θ — q-тета-функция .

Когда $p=0$, оно по существу сводится к бесконечному символу q-Похгаммера :

$\Gamma (z;0,q)={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}.$

Формула умножения

Определять

${\tilde {\Gamma }}(z;p,q):={\frac {(q;q)_{\infty }}{(p;p)_{\infty }}}(\theta (q;p))^{1-z}\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+1}q^{n+1-z}}{1-p^{m}q^{n+z}}}.$

Тогда справедлива следующая формула $r=q^{n}$ ( Фельдер и Варченко (2002) ).

${\tilde {\Gamma }}(nz;p,q){\tilde {\Gamma }}(1/n;p,r){\tilde {\Gamma }}(2/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}((n-1)/n;p,r)=\left({\frac {\theta (r;p)}{\theta (q;p)}}\right)^{nz-1}{\tilde {\Gamma }}(z;p,r){\tilde {\Gamma }}(z+1/n;p,r)\cdots {\tilde {\Gamma }}(z+(n-1)/n;p,r).$

Ссылки

• Фелдер, Г.; Варченко, А. (2002). «Формулы умножения для эллиптической гамма-функции». arXiv : математика/0212155 .
• Джексон, Ф.Х. (1905), «Основная гамма-функция и эллиптические функции», Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Содержащие статьи математического и физического характера , 76 (508), Королевское общество: 127–144, Bibcode : 1905RSPSA..76..127J , doi : 10.1098/rspa.1905.0011 , ISSN   0950-1207 , JSTOR   92601
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83357-8 , МР   2128719
• Руйсенаарс, SNM (1997), «Аналитические разностные уравнения первого порядка и интегрируемые квантовые системы» , Журнал математической физики , 38 (2): 1069–1146, Бибкод : 1997JMP....38.1069R , doi : 10.1063/1.531809 , ISSN   0022-2488 , МР   1434226
• Фельдер, Джованни; Энрикес, Андре; Росси, Карло А.; Чжу, Чэнчан (2008). «Герб для эллиптической гамма-функции». Математический журнал Дьюка . 141 . arXiv : math/0601337 . дои : 10.1215/S0012-7094-08-14111-0 . S2CID   817920 .