q -гамма-функция

В q-аналоговой теории $q$ -гамма-функция , или базовая гамма-функция , представляет собой обобщение обычной гамма-функции, тесно связанной с двойной гамма-функцией . Он был введен Джексоном (1905) . Это дано $\Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$ когда $|q|<1$ , и $\Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}$ если $|q|>1$ . Здесь $(\cdot ;\cdot )_{\infty }$ — бесконечный символ q-Похгаммера . $q$ -гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению $\Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$ Кроме того, $q$ -гамма-функция удовлетворяет q-аналогу теоремы Бора–Моллерапа , который был найден Ричардом Аски ( Askey (1978) ).
Для неотрицательных целых чисел n , $\Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!$ где $[\cdot ]_{q}$ — q-факториальная функция. Таким образом, $q$ -гамма-функцию можно рассматривать как расширение функции q-факториала на действительные числа.

Связь с обычной гамма-функцией явно выражена в пределе $\lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x).$ Госпер просто доказал этот предел. См. приложение ( Эндрюс ( 1986 )).

Свойства трансформации

The $q$ -гамма-функция удовлетворяет q-аналогу формулы умножения Гаусса ( Gasper & Rahman (2004) ): $\Gamma _{q}(nx)\Gamma _{r}(1/n)\Gamma _{r}(2/n)\cdots \Gamma _{r}((n-1)/n)=\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}\right)^{nx-1}\Gamma _{r}(x)\Gamma _{r}(x+1/n)\cdots \Gamma _{r}(x+(n-1)/n),\ r=q^{n}.$

Интегральное представление

The $q$ -гамма-функция имеет следующее интегральное представление ( Исмаил ( 1981 )): ${\frac {1}{\Gamma _{q}(z)}}={\frac {\sin(\pi z)}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-z}\mathrm {d} t}{(-t(1-q);q)_{\infty }}}.$

Формула Стирлинга

Моак получил следующий q-аналог формулы Стирлинга (см. Моак (1984) ): $\log \Gamma _{q}(x)\sim (x-1/2)\log[x]_{q}+{\frac {\mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{\log q}}+C_{\hat {q}}+{\frac {1}{2}}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left({\frac {\log {\hat {q}}}{{\hat {q}}^{x}-1}}\right)^{2k-1}{\hat {q}}^{x}p_{2k-3}({\hat {q}}^{x}),\ x\to \infty ,$ ${\hat {q}}=\left\{{\begin{aligned}q\quad \mathrm {if} \ &0<q\leq 1\\1/q\quad \mathrm {if} \ &q\geq 1\end{aligned}}\right\},$ $C_{q}={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {q-1}{\log q}}\right)-{\frac {1}{24}}\log q+\log \sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(r^{m(6m+1)}-r^{(3m+1)(2m+1)}\right),$ где $r=\exp(4\pi ^{2}/\log q)$ , $H$ обозначает ступенчатую функцию Хевисайда , $B_{k}$ обозначает число Бернулли , $\mathrm {Li} _{2}(z)$ это дилогарифм, а $p_{k}$ является полиномом степени $k$ удовлетворяющий $p_{k}(z)=z(1-z)p'_{k-1}(z)+(kz+1)p_{k-1}(z),p_{0}=p_{-1}=1,k=1,2,\cdots .$

Формула типа Раабе

Благодаря И. Мезё существует q-аналог формулы Раабе , по крайней мере, если мы используем q-гамма-функцию, когда $|q|>1$ . С этим ограничением $\int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).$ Эль Бахрауи рассмотрел дело $0<q<1$ и доказал, что $\int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {1}{2}}\log(1-q)-{\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log(q;q)_{\infty }\quad (0<q<1).$

Особые значения

Известны следующие специальные значения. ^[1] $\Gamma _{e^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /16}{\sqrt {e^{\pi }-1}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),$ $\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /8}{\sqrt {e^{2\pi }-1}}}{2^{9/8}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),$ $\Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /4}{\sqrt {e^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),$ $\Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /2}{\sqrt {e^{8\pi }-1}}}{2^{9/4}\pi ^{3/4}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).$ Это аналоги классической формулы $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$ .

При этом следующие аналоги знакомого тождества $\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt {2}}\pi$ верен: $\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /16}\left(e^{2\pi }-1\right){\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},$ $\Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /8}\left(e^{4\pi }-1\right)}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},$ $\Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /4}\left(e^{8\pi }-1\right)}{16\pi ^{3/2}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}.$

Матричная версия

Позволять $A$ быть комплексной квадратной матрицей и положительно определенной матрицей . Тогда q-гамма-матрица-функция может быть определена с помощью q-интеграла: ^[2] $\Gamma _{q}(A):=\int _{0}^{\frac {1}{1-q}}t^{A-I}E_{q}(-qt)\mathrm {d} _{q}t$ где $E_{q}$ — q-экспоненциальная функция.

Другие q-гамма-функции

О других q-гамма-функциях см. Yamasaki 2006. ^[3]

Численные вычисления

Итерационный алгоритм вычисления q-гамма-функции был предложен Габутти и Алласией. ^[4]

Дальнейшее чтение

Чжан, Жуймин (2007), «Об асимптотике q -гамма-функций», Журнал математического анализа и приложений , 339 (2): 1313–1321, arXiv : 0705.2802 , Bibcode : 2008JMAA..339.1313Z , doi : 10.1016/j .jmaa.2007.08.006 , S2CID 115163047
Чжан, Жуймин (2010), «Об асимптотике Γ _q (z) при приближении q к 1», arXiv : 1011.0720 [ math.CA ]
Исмаил, Мурад Э.Х.; Малдун, Мартин Э. (1994), «Неравенства и свойства монотонности для гамма- и q -гамма-функций», в книге Захара, РВМ (редактор), «Аппроксимация и вычисление», праздничный сборник в честь Уолтера Гаучи: материалы конференции Purdue, декабрь. 2-5, 1993 , вып. 119, Бостон: Birkhäuser Verlag, стр. 309–323, arXiv : 1301.1749 , doi : 10.1007/978-1-4684-7415-2_19 , ISBN 978-1-4684-7415-2 , S2CID 118563435

Ссылки

^ Мезё, Иштван (2011), «Несколько специальных значений тета-функций Якоби», arXiv : 1106.1042 [ math.NT ]
^ Салем, Ахмед (июнь 2012 г.). «О q -гамма- и q -бета-матрицах-функциях». Линейная и полилинейная алгебра . 60 (6): 683–696. дои : 10.1080/03081087.2011.627562 . S2CID 123011613 .
^ Ямасаки, Ёсинори (декабрь 2006 г.). «О q -аналогах кратных дзета-функций Барнса». Токийский математический журнал . 29 (2): 413–427. arXiv : math/0412067 . дои : 10.3836/tjm/1170348176 . МР 2284981 . S2CID 14082358 . Збл 1192.11060 .
^ Габутти, Бруно; Алласия, Джампьетро (17 сентября 2008 г.). «Оценка q-гамма-функции и q-аналогов итерационными алгоритмами». Численные алгоритмы . 49 (1–4): 159–168. Бибкод : 2008NuAlg..49..159G . дои : 10.1007/s11075-008-9196-5 . S2CID 6314057 .

Джексон, Ф.Х. (1905), «Основная гамма-функция и эллиптические функции», Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Содержащие статьи математического и физического характера , 76 (508), Королевское общество: 127–144, Bibcode : 1905RSPSA..76..127J , doi : 10.1098/rspa.1905.0011 , ISSN 0950-1207 , JSTOR 92601
Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-83357-8 , МР 2128719
Исмаил, Мурад (1981), «Основные функции и полиномы Бесселя», SIAM Journal on Mathematical Analysis , 12 (3): 454–468, doi : 10.1137/0512038
Моак, Дэниел С. (1984), «Q-аналог формулы Стирлинга», Rocky Mountain J. Math. , 14 (2): 403–414, номер документа : 10.1216/RMJ-1984-14-2-403.
Мезё, Иштван (2012), «Формула q-Раабе и интеграл четвертой тета-функции Якоби», Journal of Number Theory , 133 (2): 692–704, doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 , HDL : 2437/166217
Эль Бахрауи, Мохамед (2017), «Краткие доказательства формулы q-Раабе и интегралов для тета-функций Якоби», Journal of Number Theory , 173 (2): 614–620, doi : 10.1016/j.jnt.2016.09.028
Аски, Ричард (1978), «Q-гамма и q-бета-функции», Applicable Analysis , 8 (2): 125–141, doi : 10.1080/00036817808839221
Эндрюс, Джордж Э. (1986), Серия q: их развитие и применение в анализе, теории чисел, комбинаторике, физике и компьютерной алгебре. , Серия региональных конференций по математике, вып. 66, Американское математическое общество

[1] Мезё, Иштван (2011), «Несколько специальных значений тета-функций Якоби», arXiv : 1106.1042 [ math.NT ]

[2] Салем, Ахмед (июнь 2012 г.). «О q -гамма- и q -бета-матрицах-функциях». Линейная и полилинейная алгебра . 60 (6): 683–696. дои : 10.1080/03081087.2011.627562 . S2CID 123011613 .

[3] Ямасаки, Ёсинори (декабрь 2006 г.). «О q -аналогах кратных дзета-функций Барнса». Токийский математический журнал . 29 (2): 413–427. arXiv : math/0412067 . дои : 10.3836/tjm/1170348176 . МР 2284981 . S2CID 14082358 . Збл 1192.11060 .

[4] Габутти, Бруно; Алласия, Джампьетро (17 сентября 2008 г.). «Оценка q-гамма-функции и q-аналогов итерационными алгоритмами». Численные алгоритмы . 49 (1–4): 159–168. Бибкод : 2008NuAlg..49..159G . дои : 10.1007/s11075-008-9196-5 . S2CID 6314057 .

[1]

[2]

[3]

[4]