Теорема факторизации Вейерштрасса

В математике , и особенно в области комплексного анализа , теорема факторизации Вейерштрасса утверждает, что каждая целая функция может быть представлена ​​как (возможно, бесконечное) произведение, включающее свои нули . Теорему можно рассматривать как расширение фундаментальной теоремы алгебры , которая утверждает, что каждый многочлен можно разложить на линейные факторы, по одному на каждый корень.

Теорема, названная в честь Карла Вейерштрасса , тесно связана со вторым результатом, согласно которому каждая последовательность, стремящаяся к бесконечности, имеет связанную с ней целую функцию с нулями точно в точках этой последовательности.

Обобщение теоремы распространяет ее на мероморфные функции функции и позволяет рассматривать данную мероморфную функцию как произведение трех факторов: членов, зависящих от нулей и полюсов , и связанной с ней ненулевой голоморфной функции .

Мотивация

Ясно, что любое конечное множество $\{c_{n}\}$ точек комплексной плоскости имеет ассоциированный полином ${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$ которого нули находятся точно в точках этого множества. Обратное является следствием основной теоремы алгебры : любая полиномиальная функция $p(z)$ в комплексной плоскости имеет факторизацию ${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ где a — ненулевая константа и $\{c_{n}\}$ представляет собой набор нулей $p(z)$.

Две формы факторизационной теоремы Вейерштрасса можно рассматривать как расширение вышеизложенного на целые функции. Необходимость дополнительных терминов в продукте демонстрируется, если учесть ${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$ где последовательность $\{c_{n}\}$ не является конечным . Он никогда не сможет определить целую функцию, потому что бесконечное произведение не сходится. Таким образом, вообще невозможно определить целую функцию из последовательности предписанных нулей или представить целую функцию ее нулями, используя выражения, полученные из основной теоремы алгебры.

Необходимым условием сходимости рассматриваемого бесконечного произведения является то, что для каждого z множители $(z-c_{n})$ должен приближаться к 1, поскольку $n\to \infty$. Поэтому само собой разумеется, что следует искать функцию, которая могла бы быть равна 0 в заданной точке, но оставаться вблизи 1, когда она находится не в этой точке, и, кроме того, вводить не больше нулей, чем предписано. Вейерштрасса Элементарные факторы обладают этими свойствами и служат той же цели, что и факторы $(z-c_{n})$ выше.

Элементарные факторы

Рассмотрим функции вида ${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$ для $n\in \mathbb {N}$. В $z=0$, они оценивают $1$ и иметь пологий уклон порядка до $n$. Сразу после $z=1$, они резко падают до некоторого небольшого положительного значения. Напротив, рассмотрим функцию $1-z$ который не имеет плоского склона, но при $z=1$, оценивается точно в ноль. Также обратите внимание, что для | г | < 1 ,

$(1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).$

Сюжет $E_{n}(x)$ для n = 0,...,4 и x в интервале [-1,1] .

Элементарные факторы , также называемые первичными факторами , — это функции, которые сочетают в себе свойства нулевого наклона и нулевого значения (см. рисунок):

$E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Для | г | < 1 и $n>0$, это можно выразить как ${\textstyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$ и можно прочитать, как эти свойства реализуются.

Полезность элементарных факторов ${\textstyle E_{n}(z)}$ заключается в следующей лемме:

Лемма (15.8, Рудин) для | г | ≤ 1 , $n\in \mathbb {N}$

$\vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.$

Две формы теоремы

Существование всей функции с указанными нулями

Позволять $\{a_{n}\}$ — последовательность ненулевых комплексных чисел такая, что $|a_{n}|\to \infty$.Если $\{p_{n}\}$ — это любая последовательность неотрицательных целых чисел такая, что для всех $r>0$,

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,$

тогда функция

$f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})$

целое с нулями только в точках $a_{n}$. Если число $z_{0}$ происходит в последовательности $\{a_{n}\}$ ровно m раз, то функция f имеет нуль в точке $z=z_{0}$ кратности м .

• Последовательность $\{p_{n}\}$ в формулировке теоремы всегда существует. Например, мы всегда можем взять $p_{n}=n$ и иметь сходимость. Такая последовательность не уникальна: изменение ее на конечном числе позиций или взятие другой последовательности p ′ _n ≥ p _n не нарушит сходимость.
• Теорема обобщается до следующего: последовательности в открытых подмножествах (и, следовательно, областях ) сферы Римана имеют ассоциированные функции, которые голоморфны в этих подмножествах и имеют нули в точках последовательности.
• Сюда также включен случай, заданный основной теоремой алгебры. Если последовательность $\{a_{n}\}$ конечно, то мы можем взять $p_{n}=0$ и получить: $\,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})$.

Теорема

Пусть ƒ целая функция и пусть $\{a_{n}\}$ быть ненулевыми нулями ƒ, повторяющимися в соответствии с кратностью; предположим также, что ƒ имеет нуль в точке z = 0 порядка m ≥ 0 . Тогда существует целая функция g и последовательность целых чисел $\{p_{n}\}$ такой, что

$f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).$

Примеры факторизации

Тригонометрические функции синус и косинус имеют факторизации

$$\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n}}\right)^{2}\right)$$

$$\cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+{\tfrac {1}{2}}}}\right)^{2}\right)$$

в то время как гамма-функция $\Gamma$ имеет факторизацию

$${\frac {1}{\Gamma (z)}}=e^{\gamma z}z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n},$$

где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони . Косинус тождество можно рассматривать как частный случай

$${\frac {1}{\Gamma (s-z)\Gamma (s+z)}}={\frac {1}{\Gamma (s)^{2}}}\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+s}}\right)^{2}\right)$$

для $s={\tfrac {1}{2}}$.

Адамара

Основная статья: теорема факторизации Адамара

Частный случай факторизационной теоремы Вейерштрасса возникает для целых функций конечного порядка . В этом случае $p_{n}$ можно принять независимо от $n$ и функция $g(z)$ является полиномом. Таким образом

$$f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})$$

где $a_{k}$ это корни ​ $f$ это не ноль( $a_{k}\neq 0$), $m$ это порядок нуля $f$ в $z=0$ (дело $m=0$ воспринимается как означающее $f(0)\neq 0$), $P$ многочлен (степень которого мы будем называть $q$), и $p$ — наименьшее целое неотрицательное число такое, что ряд

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}$$

сходится. Это называется Адамара . каноническим представлением Неотрицательное целое число $g=\max\{p,q\}$ называется родом всей функции $f$. Порядок $\rho$ из $f$ удовлетворяет

$$g\leq \rho \leq g+1$$

Другими словами: если порядок $\rho$ не является целым числом, то $g=[\rho ]$ является целой частью $\rho$. Если порядок является положительным целым числом, то есть две возможности: $g=\rho -1$ или $g=\rho$.

Например, $\sin$, $\cos$ и $\exp$ являются целыми функциями рода $g=\rho =1$.

См. также

• Теорема Миттаг-Леффлера
• Произведение Уоллиса , которое можно получить из этой теоремы, примененной к синусоидальной функции
• продукт Бляшке

Внешние ссылки

• «Теорема Вейерштрасса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

• Визуализация факторизации синусоидальной функции Вейерштрасса Эйлера в Wayback Machine (архивировано 30 ноября 2018 г.)