Теорема Адамара о факторизации

В математике , и особенно в области комплексного анализа , теорема факторизации Адамара утверждает, что каждая целая функция конечного порядка может быть представлена ​​как произведение, включающее ее нули и экспоненту многочлена. Он назван в честь Жака Адамара .

Теорему можно рассматривать как расширение фундаментальной теоремы алгебры , которая утверждает, что каждый многочлен можно разложить на линейные факторы, по одному на каждый корень. Она тесно связана с теоремой факторизации Вейерштрасса , которая не ограничивается целыми функциями с конечными порядками.

Официальное заявление

Определите канонические факторы Адамара. $$E_{n}(z):=(1-z)\prod _{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}$$Целые функции конечного порядка $\rho$ имеют Адамара : каноническое представление $$f(z)=z^{m}e^{Q(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n})$$где $a_{k}$ это корни ​ $f$ это не ноль( $a_{k}\neq 0$), $m$ это порядок нуля $f$ в $z=0$ (дело $m=0$ воспринимается как означающее $f(0)\neq 0$), $Q$ многочлен (степень которого мы будем называть $q$), и $p$ — наименьшее целое неотрицательное число такое, что ряд $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}$$сходится. Неотрицательное целое число $g=\max\{p,q\}$ называется родом всей функции $f$. В этих обозначениях $$g\leq \rho \leq g+1$$Другими словами: если порядок $\rho$ не является целым числом, то $g=[\rho ]$ является целой частью $\rho$. Если порядок является положительным целым числом, то есть две возможности: $g=\rho -1$ или $g=\rho$.

Более того, неравенство Йенсена подразумевает, что его корни распределены редко, с критическим показателем $\alpha \leq \rho \leq g+1$.

Например, $\sin$, $\cos$ и $\exp$ являются целыми функциями рода $g=\rho =1$.

Критический показатель

Определить критический показатель корней $f$ как следующее: $$\alpha :=\limsup \limits _{r}\log _{r}N(f,r)$$где $N(f,r)$ количество корней с модулем $<r$. Другими словами, у нас есть асимптотическая оценка поведения роста числа корней функции: $$\forall \epsilon >0\quad N(f,r)\ll r^{\alpha +\epsilon },{\text{ and exists a sequence }}r_{k}{\text{ such that }}N(f,r_{k})>kr_{k}^{\alpha -\epsilon }$$Ясно, что $\alpha \geq 0$.

Теорема: Если $f$ целая функция с бесконечным числом корней, то $$\alpha =\inf \left\{\beta :\sum _{k}|a_{k}|^{-\beta }<\infty \right\}={\frac {1}{\liminf \limits _{k}\log _{k}|a_{k}|}}$$Примечание. Эти два равенства касаются исключительно предельного поведения последовательности действительных чисел. $|a_{1}|\leq |a_{2}|\leq \cdots$ которая расходится в бесконечность. Он не предполагает сложного анализа.

Предложение: $\alpha (f)\leq \rho$, по формуле Дженсена .

Доказательство

С $f(z)/z^{m}$ также является целой функцией того же порядка $\rho$ и род, мы предположить можем $m=1$.

Если $f$ имеет лишь конечное число корней, то $f(z)=e^{Q(z)}\prod _{k=1}^{n}E_{0}(z/a_{k})$ с функцией $e^{Q(z)}$ порядка $\rho$. Таким образом, применяя теорему Бореля–Каратеодори , $P$ является полиномом степени $deg(Q)\leq {\text{floor}}(\rho )$и так у нас есть $\rho =deg(Q)=g$.

В противном случае, $f$ имеет бесконечно много корней. Это сложная часть, и ее необходимо разделить на два случая. Сначала покажи, что $g\leq {\text{floor}}(\rho )$, затем покажите это $\rho \leq g+1$.

Определите функцию $g(z):=\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})$ где $p={\text{floor}}(\alpha )$. Мы будем изучать поведение $f(z)/g(z)$.

Границы поведения | Э _п |

Для доказательства нам понадобятся четыре оценки на $|E_{p}|$:

1. Для любого $r\in (0,1)$, $|1-E_{p}(z)|\leq O(|z|^{p+1})$ когда $|z|\leq r$.
2. Для любого $r\in (0,1)$, существует $B>0$ такой, что $\ln |E_{p}(z)|\geq -B|z|^{p+1}$ когда $|z|\leq r$.
3. Для любого $r\in (0,1)$, существует $B>0$ такой, что $|E_{p}(z)|\geq |1-z|e^{-B|z|^{p}}$ когда $|z|\geq r$.
4. $\ln |E_{p}(z)|\leq O(|z|^{p+1})$ для всех $z$, и $\ln |E_{p}(z)|\leq O(|z|^{p})$ как $|z|\to \infty$.

По существу они доказываются аналогичным образом. В качестве примера докажем четвертый. $$\ln |E_{n}(z)|=Re\left(-z^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k+n+1}}\right)\leq |z|^{n+1}|g(z)|$$где $g(z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k+n+1}}$ это целая функция. Поскольку оно целое, для любого $R>0$, оно ограничено $B(0,R)$. Так $\ln |E_{n}(z)|=O(|z|^{n+1})$ внутри $B(0,R)$.

Снаружи $B(0,R)$, у нас есть $$\ln |E_{n}(z)|=\ln |1-z|+Re(Q(z))=o(|z|)+O(|z|^{n})<O(|z|^{n+1})$$

g четко определен

Источник:

Для любого $R>0$, мы покажем, что сумма $\sum _{k=1}^{\infty }\ln |E_{p}(z/a_{k})|$ сходится равномерно по $B(0,R)$.

Поскольку лишь конечное число $|a_{k}|<KR$, мы можем разделить сумму на конечный объем и бесконечный хвост: $$\sum _{k=1}^{\infty }\ln |E_{p}(z/a_{k})|=\sum _{|a_{k}|<KR}\ln |E_{p}(z/a_{k})|+\sum _{|a_{k}|\geq KR}\ln |E_{p}(z/a_{k})|$$Объемный член представляет собой конечную сумму, поэтому он сходится равномерно. Осталось ограничить хвостовой член.

Согласно оценке (1) на $|E_{p}|$, $|1-E_{p}(z/a_{k})|\leq B|z/a_{k}|^{p+1}\leq B/K^{p+1}$. Итак, если $K$ достаточно велик для некоторых $B'>0$, $$\sum _{|a_{k}|\geq KR}\ln |1-(1-E_{p}(z/a_{k}))|\leq \sum _{|a_{k}|\geq KR}B'B|z/a_{k}|^{p+1}<|z|^{p+1}B'B\sum _{k}{\frac {1}{|a_{k}|^{p+1}}}$$С $p+1={\text{floor}}(\alpha )+1>\alpha$, последняя сумма конечна.

г ≤ пол( ρ )

Как обычно при анализе, мы исправляем некоторые небольшие $\epsilon >0$.

Тогда цель состоит в том, чтобы показать, что $f(z)/g(z)$ в порядке $\leq \rho +\epsilon$. Однако это не совсем работает из-за плохого поведения $f(z)/g(z)$ около $a_{k}$. Следовательно, нам необходимо засыпать сложную плоскость «запретными дисками», по одному вокруг каждого. $a_{k}$, каждый с радиусом ${\frac {1}{|a_{k}|^{\rho +\epsilon }}}$. Тогда с тех пор $\sum _{k}{\frac {1}{|a_{k}|^{\rho +\epsilon }}}<\infty$ по предыдущему результату $\alpha$, мы можем выбрать возрастающую последовательность радиусов $R_{1}<R_{2}<\cdots$ которые расходятся в бесконечность, так что каждый круг $\partial B(0,R_{n})$ избегает всех этих запрещенных дисков.

Таким образом, если мы сможем доказать оценку вида $\ln \left|{\frac {f(z)}{g(z)}}\right|=O(|z|^{\rho +\epsilon })=o(|z|^{\rho +2\epsilon })$ для всех больших $z$ который обходит эти запрещенные диски, то, используя то же применение теоремы Бореля – Каратеодори, $deg(Q)\leq {\text{floor}}(\rho +2\epsilon )$ для любого $\epsilon >0$, и так как мы берем $\epsilon \to 0$, мы получаем $g\leq {\text{floor}}(\rho )$.

С $\ln \left|f(z)\right|=o(|z|^{\rho +\epsilon })$ по определению $\rho$, осталось показать, что $-\ln \left|g(z)\right|=O(|z|^{\rho +\epsilon })$, то есть существует некоторая константа $B>0$ такой, что $$\sum _{k=1}^{\infty }\ln |E_{p}(z/a_{k})|\geq -B|z|^{\rho +\epsilon }$$для всех больших $z$ что позволяет избежать этих запрещенных дисков.

Как обычно в анализе, эту бесконечную сумму можно разделить на две части: конечный объем и бесконечный хвостовой член, с каждой из которых следует обращаться отдельно. Их конечно много $a_{k}$ с модулем $<|z_{k}|/2$ и бесконечно много $a_{k}$ с модулем $\geq |z_{k}|/2$. Итак, нам нужно связать: $$\sum _{|a_{k}|<|z_{k}|/2}\ln |E_{p}(z/a_{k})|+\sum _{|a_{k}|\geq |z_{k}|/2}\ln |E_{p}(z/a_{k})|$$Оценку сверху можно осуществить с помощью оценок (2), (3) на $|E_{p}|$и предположение, что $z$ находится за пределами каждого запрещенного диска. Подробности можно найти в.

ρ ≤ г + 1

Это является следствием следующего:

Если $f(z)=e^{Q(z)}z^{m}\prod _{k}E_{p}(z/a_{k})$ имеет род $g$, затем $\ln |f(z)|=O(|z|^{g+1})$.

Разделите сумму на три части: $$\ln |f(z)|=Re(Q(z))+m\,Re(\ln z)+\sum _{k}\ln |E_{p}(z/a_{k})|.$$ Первые два термина $O(|z|^{p})=o(|z|^{g+1})$. Третий член ограничен оценкой (4) $|E_{p}|$: $$\sum _{k}\ln |E_{p}(z/a_{k})|\leq B|z|^{q+1}\sum _{k}{\frac {1}{|a_{k}|^{q+1}}}.$$ По предположению, $p={\text{floor}}(\alpha )$, так $\sum _{k}{\frac {1}{|a_{k}|^{q+1}}}<\infty$. Следовательно, приведенная выше сумма равна $O(|z|^{q+1})=O(|z|^{g+1}).$

Приложения

С помощью факторизации Адамара мы можем доказать некоторые частные случаи малой теоремы Пикара .

Теорема: Если $f$ является целым, непостоянным и имеет конечный порядок, то он принимает либо всю комплексную плоскость, либо плоскость за вычетом одной точки.

Доказательство: если $f$ не принимает значения $z_{0}$, затем факторизацией Адамара, $f(z)-z_{0}=e^{Q(z)}$ для непостоянного многочлена $Q$. По основной теореме алгебры , $Q$ принимает все значения, поэтому $f(z)-z_{0}$ принимает все ненулевые значения.

Теорема: Если $f$ является целым, непостоянным и имеет конечный нецелый порядок $\rho$, то он принимает всю комплексную плоскость бесконечно много раз.

Доказательство: Для любого $w\in \mathbb {C}$, достаточно доказать $f(z)-w$ имеет бесконечно много корней. Расширять $f(z)-w$ к его представлению Адамара $f(z)-w=e^{Q(z)}z^{m}\prod _{k}E_{p}(z/a_{k})$. Если произведение конечно, то $\rho =g$ является целым числом.