Формула Дженсена

Не путать с неравенством Дженсена .

В математической области, известной как комплексный анализ , формула Йенсена , введенная Йоханом Йенсеном ( 1899 ), связывает среднюю величину аналитической функции на круге с количеством ее нулей внутри круга. Это является важным утверждением при изучении целых функций .

Официальное заявление

Предположим, что $f$ - аналитическая функция в области комплексной плоскости $\mathbb {C}$ который содержит закрытый диск $\mathbb {D} _{r}$ радиуса $r>0$ о происхождении, $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ являются нулями $f$ в интерьере $\mathbb {D} _{r}$ (повторяются в соответствии с их кратностью), и что $f(0)\neq 0$.

Формула Дженсена гласит, что

$\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .$

Эта формула устанавливает связь между модулями нулей $f$ в интерьере $\mathbb {D} _{r}$ и среднее значение $\log |f(z)|$ на граничном круге $|z|=r$и может рассматриваться как обобщение свойства среднего значения гармонических функций . А именно, если $f$ не имеет нулей $\mathbb {D} _{r}$, то формула Дженсена сводится к

$\log |f(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta ,$

что является свойством среднего значения гармонической функции $\log |f(z)|$.

Эквивалентная формулировка часто используемой формулы Йенсена:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\,dt$

где $n(t)$ обозначает количество нулей $f$ в диске радиуса $t$ сосредоточено в начале координат.

Доказательство

Достаточно доказать, что $r=1$.

1. Если $f$ содержит нули на границе круга, то мы можем определить $g(z)={\frac {f(z)}{\prod _{k}(z-e^{i\theta _{k}})}}$, где $e^{i\theta _{k}}$ — нули на границе круга. С $$\int _{0}^{2\pi }\ln |e^{i\theta }-e^{i\theta _{k}}|d\theta =2\int _{0}^{\pi }\ln(2\sin \theta )d\theta =0,$$ мы свелись к доказательству теоремы для $g$, то есть случай отсутствия нулей на границе окружности.
2. Определять $$F(z):={\frac {f(z)}{\prod _{k=1}^{n}(z-a_{k})}}$$ и заполнить все устранимые особенности. Получаем функцию $F$ это аналитично в $B(0,1+\epsilon )$, и оно не имеет корней в $B(0,1)$.
3. С $\log |F|=Re(\log F)$ является гармонической функцией, мы можем применить к ней интегральную формулу Пуассона и получить $$\log |F(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |F(e^{i\theta })|\,d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta -\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta .$$ где $\int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta$ можно записать как $$\int _{0}^{2\pi }\log |e^{i\theta }-a_{k}|\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }\log |1-a_{k}e^{-i\theta }|\,d\theta =Re\int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta .$$
4. Сейчас, $\int _{0}^{2\pi }\log(1-a_{k}e^{-i\theta })\,d\theta$ кратно контурному интегралу функции $\log(1-z)/z$ по окружности радиуса $|a_{k}|<1$. С $\log(1-z)/z$ не имеет полюсов внутри $B(0,|a_{k}|)$, контурный интеграл равен нулю.

Приложения

Формулу Йенсена можно использовать для оценки количества нулей аналитической функции в круге. А именно, если $f$ — функция, аналитическая в круге радиуса $R$ сосредоточено в $z_{0}$ и если $|f|$ ограничен $M$ на границе этого диска, то количество нулей $f$ в круге радиуса $r<R$ с центром в той же точке $z_{0}$ не превышает

${\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.$

Формула Йенсена является важным утверждением при изучении распределения значений целых и мероморфных функций. В частности, это отправная точка теории Неванлинны , и она часто появляется в доказательствах факторизационной теоремы Адамара , которая требует оценки количества нулей целой функции.

Формула Йенсена также используется для доказательства обобщения теоремы Пэли-Винера для квазианалитических функций с $r\rightarrow 1$. В области теории управления (в частности: методов спектральной факторизации ) это обобщение часто называют условием Пэли–Винера .

Обобщения

Формулу Йенсена можно обобщить для функций, которые просто мероморфны на $\mathbb {D} _{r}$. А именно, предположим, что

$f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},$

где $g$ и $h$ являются аналитическими функциями в $\mathbb {D} _{r}$ иметь нули в $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}$ и $b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}$ соответственно, то формула Йенсена для мероморфных функций утверждает, что

$\log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n-l}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .$

Формула Йенсена является следствием более общей формулы Пуассона-Йенсена , которая, в свою очередь, следует из формулы Йенсена путем применения преобразования Мёбиуса к $z$. Он был представлен и назван Рольфом Неванлинной . Если $f$ - функция, аналитическая в единичном круге, с нулями $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ расположен внутри единичного диска, то для каждого $z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}$ в единичном круге формула Пуассона – Йенсена утверждает, что

$\log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .$

Здесь,

$P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }$

— ядро ​​Пуассона на единичном диске. Если функция $f$ не имеет нулей в единичном круге, формула Пуассона-Йенсена сводится к

$\log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta ,$

что представляет собой формулу Пуассона для гармонической функции $\log |f(z)|$.

См. также

• Теорема Пэли – Винера

Источники

• Альфорс, Ларс В. (1979), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), Дюссельдорф: McGraw – Hill, ISBN  0-07-000657-1 , Збл   0395.30001
• Йенсен, Дж. (1899), «О новой и важной теореме теории функций», Acta Mathematica (на французском языке), 22 (1): 359–364, doi : 10.1007/BF02417878 , ISSN   0001-5962 , JFM   30.0364.02 , МР   1554908
• Пейли, Раймонд EAC ; Винер, Норберт (1934). Преобразования Фурье в комплексной области . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1019-4 .
• Рэнсфорд, Томас (1995), Теория потенциала в комплексной плоскости , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 28, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-46654-7 , Збл   0828.31001
• Саид, АХ; Кайлат, Т. (2001). «Обзор методов спектральной факторизации». Численная линейная алгебра с приложениями . 8 (6–7): 467–496. дои : 10.1002/nla.250 . ISSN   1070-5325 .