Спектральная факторизация полиномиальной матрицы

Полиномиальные матрицы широко изучаются в области теории систем и теории управления , а также нашли другое применение, связанное со стабильными полиномами . В теории стабильности спектральная факторизация использовалась для поиска детерминантных матричных представлений для двумерных стабильных полиномов и вещественных нулевых полиномов. Ключевым инструментом, используемым для их изучения, является матричная факторизация, известная как спектральная факторизация полиномиальной матрицы или матричная теорема Фейера – Рисса.

Учитывая одномерный положительный полином $p(t)$, полином, который принимает неотрицательные значения для любого реального входного сигнала $t$, теорема Фейера–Рисса дает полиномиальную спектральную факторизацию $p(t)=q(t)q({\bar {t}})^{*}$. Результаты этой формы обычно называются Positivstellensatz . Рассматривая положительную определенность как матричный аналог положительности, спектральная факторизация полиномиальной матрицы обеспечивает аналогичную факторизацию для полиномиальных матриц, которые имеют положительно определенный диапазон. Это разложение также относится к разложению Холецкого для скалярных матриц. $A=LL^{*}$. Этот результат был первоначально доказан Норбертом Винером. в более общем контексте, который касался интегрируемых матричных функций, которые также имели интегрируемый логарифмический определитель. Поскольку приложения часто связаны с полиномиальным ограничением, существуют более простые доказательства и индивидуальный анализ, посвященный этому случаю. Были изучены более слабые условия positivstellensatz, в частности, когда полиномиальная матрица имеет положительно определенный образ на полуалгебраических подмножествах действительных чисел. Многие публикации в последнее время были сосредоточены на упрощении доказательств этих связанных результатов. Эта статья примерно следует недавнему методу доказательства Лаши Ефремидзе. который опирается только на элементарную линейную алгебру и комплексный анализ .

Спектральная факторизация широко используется в линейно-квадратично-гауссовском управлении . Благодаря этому приложению появилось множество алгоритмов расчета спектральных коэффициентов. Некоторые современные алгоритмы фокусируются на более общей ситуации, первоначально изученной Винером. В $1\times 1$ В этом случае проблема известна как полиномиальная спектральная факторизация или теорема Фейера-Рисса и включает множество классических алгоритмов. Некоторые современные алгоритмы используют усовершенствования матрицы Теплица для ускорения вычислений коэффициентов.

Заявление

Позволять $P(t)={\begin{bmatrix}p_{11}(t)&\ldots &p_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(t)&\cdots &p_{nn}(t)\\\end{bmatrix}}$быть полиномиальной матрицей, где каждая запись $p_{ij}(t)$ – полином с комплексными коэффициентами степени не выше $N$. Предположим, что почти для всех $t\in \mathbb {R}$ у нас есть $P(t)$ является положительно определенной эрмитовой матрицей. Тогда существует полиномиальная матрица $Q(t)$ такой, что $P(t)=Q(t)Q(t)^{*}$ для всех $t\in \mathbb {R}$. Кроме того, мы можем найти $Q(t)$ которое неособо в нижней полуплоскости.

Расширение для сложных входов

Обратите внимание, что если $Q(t)={\begin{bmatrix}q_{11}(t)&\ldots &q_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\q_{n1}(t)&\cdots &q_{nn}(t)\\\end{bmatrix}}$затем $Q({\bar {t}})^{*}={\begin{bmatrix}q_{11}({\bar {t}})^{*}&\ldots &q_{n1}({\bar {t}})^{*}\\\vdots &\ddots &\vdots \\q_{1n}({\bar {t}})^{*}&\cdots &q_{nn}({\bar {t}})^{*}\\\end{bmatrix}}$. Когда $q_{ij}(t)$ - это полином с комплексными коэффициентами или рациональная функция с комплексными коэффициентами, мы имеем $q_{ij}({\bar {t}})^{*}$также является полиномиальной или рациональной функцией соответственно. Для $t\in \mathbb {R}$ у нас есть $$P(t)=Q(t)Q(t)^{*}=Q(t)Q({\bar {t}})^{*}$$ Это связано со следующим наблюдением: Поскольку записи $Q(t)Q({\bar {t}})^{*}$ и $P(t)$ являются комплексными многочленами, которые согласуются на действительной прямой, на самом деле это одни и те же многочлены. Мы можем заключить, что они фактически согласны для всех сложных входных данных.

Рациональная спектральная факторизация

Позволять $p(t)$ быть рациональной функцией, где $p(t)>0$ почти для всех $t\in \mathbb {R}$. Тогда существует рациональная функция $q(t)$ такой, что $p(t)=q(t)q({\bar {t}})^{*}$ и $q(t)$ не имеет полюсов и нулей в нижней полуплоскости. Это разложение уникально с точностью до умножения на комплексные скаляры нормы $1$. Это связано с утверждением теоремы о спектральной факторизации полиномиальной матрицы, ограниченной $1\times 1$ случай.

Для доказательства существования напишите $p(x)=c{\frac {\prod _{i}(x-\alpha _{i})}{\prod _{j}(x-\beta _{j})}}$где $\alpha _{i}\neq \beta _{j}$. Сдача в аренду $x\to \infty$, мы можем заключить, что $c$ является реальным и позитивным. Разделив на ${\sqrt {c}}$ мы сводим к монику. Числитель и знаменатель имеют разные наборы корней, поэтому все действительные корни, которые появляются в любом из них, должны иметь четную кратность (чтобы предотвратить локальное изменение знака). Мы можем разделить эти действительные корни, чтобы свести их к случаю, когда $p(t)$ имеет только комплексные корни и полюса. По гипотезе мы имеем $p(x)={\frac {\prod _{i}(x-\alpha _{i})}{\prod _{j}(x-\beta _{j})}}={\frac {\prod _{i}(x-{\bar {\alpha _{i}}})}{\prod _{j}(x-{\bar {\beta _{j}}})}}={\bar {p({\bar {x}})}}$. Поскольку все $\alpha _{i},\beta _{j}$являются комплексными (и, следовательно, не являются фиксированными точками сопряжения), они оба входят в пары сопряженных. Для каждой сопряженной пары выберите ноль или полюс в верхней полуплоскости и суммируйте их, чтобы получить $q(t)$. Результат уникальности следует стандартным образом.

Разложение Холецкого

Вдохновением для этого результата послужила факторизация, характеризующая положительно определенные матрицы.

Разложение скалярных матриц

Учитывая любую положительно определенную скалярную матрицу $A$, разложение Холецкого позволяет написать $A=LL^{*}$ где $L$ — нижняя треугольная матрица. Если мы не ограничиваемся нижними треугольными матрицами, мы можем рассмотреть все факторизации вида $A=VV^{*}$. Нетрудно проверить, что все факторизации достигаются, глядя на орбиту $L$ при правом умножении на унитарную матрицу, $V=LU$.

Чтобы получить нижнее треугольное разложение, мы выводим путем разделения первой строки и первого столбца: $${\begin{bmatrix}a_{11}&\mathbf {a} _{12}^{*}\\\mathbf {a} _{12}&A_{22}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}&0\\\mathbf {l} _{21}&L_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}l_{11}^{*}&\mathbf {l} _{21}^{*}\\0&L_{22}^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}l_{11}^{*}&l_{11}\mathbf {l} _{21}^{*}\\l_{11}^{*}\mathbf {l} _{21}&\mathbf {l} _{21}\mathbf {l} _{21}^{*}+L_{22}L_{22}^{*}\end{bmatrix}}$$Решая их с точки зрения $a_{ij}$ мы получаем $$l_{11}={\sqrt {a_{11}}}$$$$\mathbf {l} _{21}={\frac {1}{\sqrt {a_{11}}}}\mathbf {a} _{12}$$$$L_{22}L_{22}^{*}=A_{22}-{\frac {1}{a_{11}}}\mathbf {a} _{12}\mathbf {a} _{12}^{*}$$

С $A$ положительно определен, мы имеем $a_{11}$— положительное действительное число, поэтому оно имеет квадратный корень. Последнее условие индукции, поскольку правая часть представляет собой Шура дополнение $A$, что само по себе положительно определено.

Разложение рациональных матриц

Теперь рассмотрим $P(t)={\begin{bmatrix}p_{11}(t)&\ldots &p_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(t)&\cdots &p_{nn}(t)\\\end{bmatrix}}$где $p_{ij}(t)$являются сложными рациональными функциями и $P(t)$ является положительно определенным эрмитовым почти для всех вещественных $t$. Тогда с помощью симметричного исключения Гаусса, которое мы выполнили выше, все, что нам нужно показать, — это существование рационального $q_{11}(t)$ такой, что $p_{11}(t)=q_{11}(t)q_{11}(t)^{*}$серьезно $t$, что следует из нашей рациональной спектральной факторизации. Как только мы это получим, мы сможем решить $l_{11}(t),\mathbf {l} _{21}(t)$. Поскольку дополнение Шура положительно определено для реального $t$ вдали от полюсов, а дополнение Шура представляет собой рациональную полиномиальную матрицу, которую мы можем ввести, чтобы найти $L_{22}$.

Нетрудно проверить, что мы действительно получаем $P(t)=L(t)L(t)^{*}$где $L(t)$ — рациональная полиномиальная матрица без полюсов в нижней полуплоскости.

Расширение до полиномиальных разложений

Чтобы доказать существование спектральной факторизации полиномиальной матрицы, мы начнем с разложения Холецкого рациональной полиномиальной матрицы и модифицируем ее для удаления особенностей нижней полуплоскости. А именно данный $P(t)={\begin{bmatrix}p_{11}(t)&\ldots &p_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(t)&\cdots &p_{nn}(t)\\\end{bmatrix}}$с каждой записью $p_{ij}(t)$ полином с комплексными коэффициентами, у нас есть рациональная полиномиальная матрица $L(t)$ с $P(t)=L(t)L(t)^{*}$серьезно $t$, где $L(t)$ не имеет полюсов нижней полуплоскости. Учитывая рациональную полиномиальную матрицу $U(t)$ который имеет унитарную оценку на самом деле $t$, существует другое разложение, $P(t)=L(t)L(t)^{*}=(L(t)U(t))(L(t)U(t))^{*}$.

Удаление особенностей нижней полуплоскости

Если $\det(L(a))=0$ тогда существует скалярная унитарная матрица $U$такой, что $Ue_{1}={\frac {a}{|a|}}$. Это подразумевает $L(t)U$первый столбец исчезает в $a$. Чтобы убрать сингулярность в $a$ мы умножаем на $$U(t)=\operatorname {diag} (1,\ldots ,{\frac {z-{\bar {a}}}{z-a}},\ldots ,1)$$$L(t)UU(t)$имеет определитель с на один нуль меньше (по кратности) в точке a, без введения полюсов в нижней полуплоскости любого из элементов.

Распространить аналитичность на весь C

После доработок происходит разложение $P(t)=Q(t)Q(t)^{*}$удовлетворяет $Q(t)$ аналитичен и обратим в нижней полуплоскости. Чтобы распространить аналитичность на верхнюю полуплоскость, нам понадобится следующее ключевое наблюдение: если задана рациональная матрица $Q(t)$ который аналитичен в нижней полуплоскости и неособ в нижней полуплоскости, имеем $Q(t)^{-1}$ аналитична и неособа в нижней полуплоскости. Аналитичность следует из формулы сопряженной матрицы (поскольку обе записи $Q(t)$ и $\det(Q(t))^{-1}$аналитичны в нижней полуплоскости). Неособенность следует из $\det(Q(t)^{-1})=\det(Q(t))^{-1}$которое может иметь нули только в тех местах, где $\det(Q(t))$ были столбы. Определитель рациональной полиномиальной матрицы может иметь полюсы только там, где у его элементов есть полюсы, поэтому $\det(Q(t))$ не имеет полюсов в нижней полуплоскости.

Из нашего наблюдения в разделе «Расширение до сложных входных данных» мы имеем $P(t)=Q(t)Q({\bar {t}})^{*}$для всех комплексных чисел. Это подразумевает $Q({\bar {t}})=(P(t)Q(t)^{-1})^{*}$. С $Q(t)^{-1}$ аналитичен в нижней полуплоскости, $Q(t)$ аналитична в верхней полуплоскости. Наконец, если $Q(t)$ тогда на реальной линии есть полюс $Q({\bar {t}})^{*}$имеет тот же полюс на вещественной прямой, что противоречит факту $P(t)$ не имеет полюсов на вещественной прямой (по условию она всюду аналитична).

Вышеизложенное показывает, что если $Q(t)$ действительно аналитичен и обратим в нижней полуплоскости $Q(t)$ всюду аналитична и, следовательно, является полиномиальной матрицей.

Уникальность

Даны два полиномиальных матричных разложения, обратимые в нижней полуплоскости. $P(t)=Q(t)Q({\bar {t}})^{*}=R(t)R({\bar {t}})^{*}$ мы переставляем на $(R(t)^{-1}Q(t))(R({\bar {t}})^{-1}Q({\bar {t}}))^{*}=I$. С $R(t)$ аналитичен на нижней полуплоскости и неособ, $R(t)^{-1}Q(t)$— рациональная полиномиальная матрица, аналитическая и обратимая в нижней полуплоскости. Тогда по тому же рассуждению, что и выше, мы имеем $R(t)^{-1}Q(t)$ на самом деле является полиномиальной матрицей, унитарной для всех действительных $t$. Это означает, что если $\mathbf {q} _{i}(t)$ это $i$й ряд $Q(t)$затем $\mathbf {q} _{i}(t)\mathbf {q} _{i}({\bar {t}})^{*}=1$. Серьезно $t$ это сумма неотрицательных полиномов, которая в сумме дает константу, а это означает, что каждое из слагаемых на самом деле является постоянными полиномами. Затем $Q(t)=R(t)U$где $U$ является скалярной унитарной матрицей.

Пример

Учитывать $A(t)={\begin{bmatrix}t^{2}+1&2t\\2t&t^{2}+1\\\end{bmatrix}}$. Тогда путем симметричного исключения Гаусса мы получаем рациональное разложение $A(t)={\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}^{*}$. Это разложение не имеет полюсов в верхней полуплоскости. Однако определитель ${\frac {(t-1)(t-i)(t+1)}{t+i}}$, поэтому нам нужно изменить наше разложение, чтобы избавиться от сингулярности в точке $-i$. Сначала мы умножаем на скалярную унитарную матрицу, чтобы столбец исчез в точке $i$. Учитывать $U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\i&-i\\\end{bmatrix}}$. Тогда у нас появится новый кандидат на наше разложение ${\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}t-i&t-i\\i{\frac {(t-i)^{2}}{t+i}}&-i(t+i)\\\end{bmatrix}}$. Теперь первый столбец исчезает в

$i$, поэтому мы умножаем (справа) на $U(t)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}{\frac {t+i}{t-i}}&0\\0&1\end{bmatrix}}$ чтобы получить $Q(t)={\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}UU(t)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}t+i&t-i\\i(t-i)&-i(t+i)\\\end{bmatrix}}.$ Уведомление $\det(Q(t))=i(1-t^{2})$. Это наше желаемое разложение $A(t)=Q(t)Q(t)^{*}$ без особенностей в нижней полуплоскости.

См. также

• Матричная факторизация многочлена