Положительный полином

Эта статья о положительных полиномах и теоремах типа positivstellensatz. Чтобы узнать о Krivine-Stengle Positivstellensatz, см. Krivine-Stengle Positivstellensatz .

В математике ( положительный полином соответственно неотрицательный полином ) на определенном наборе — это многочлен , значения которого являются положительными (соответственно неотрицательными) на этом наборе. Именно, Пусть $p$ быть полиномом от $n$ переменные с действительными коэффициентами и пусть $S$ быть подмножеством ​ $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$. Мы говорим, что:

• $p$ позитивен ​ на $S$ если $p(x)>0$ для каждого $x$ в $S$.
• $p$ неотрицательен ​ по $S$ если $p(x)\geq 0$ для каждого $x$ в $S$.

Теорема о положительном месте (и теорема о неотрицательном месте)

Для определенных наборов $S$существуют алгебраические описания всех многочленов, положительных (соответственно неотрицательных) на $S$. Такое описание представляет собой позитивстеллензац (соответственно nichtnegativstellensatz ). Важность теорем Positivstellensatz в вычислениях обусловлена ​​их способностью преобразовывать задачи полиномиальной оптимизации в задачи полуопределенного программирования , которые можно эффективно решать с использованием методов выпуклой оптимизации .

Примеры позитивных стеллензац (и нихтнегативстеллензац)

• Глобально положительные полиномы и разложение по сумме квадратов .
  • Любой вещественный многочлен от одной переменной неотрицательен $\mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда оно представляет собой сумму двух квадратов действительных многочленов от одной переменной. Эта эквивалентность не распространяется на полином с более чем одной переменной: например, Моцкина полином $X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1$ неотрицательен по $\mathbb {R} ^{2}$ но не является суммой квадратов элементов из $\mathbb {R} [X,Y]$.
  • Действительный многочлен $n$ переменные неотрицательны $\mathbb {R} ^{n}$ тогда и только тогда, когда оно представляет собой сумму квадратов действительных рациональных функций в $n$ переменные (см. семнадцатую проблему Гильберта и решение Артина ).
  • Предположим, что $p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]$ однородно . четной степени Если он положителен на $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$, то существует целое число $m$ такой, что $(X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2})^{m}p$ представляет собой сумму квадратов элементов из $\mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]$.
• Полиномы положительные на многогранниках .
  • Для многочленов степени ${}\leq 1$ мы имеем следующий вариант леммы Фаркаша : Если $f,g_{1},\dots ,g_{k}$ иметь степень ${}\leq 1$ и $f(x)\geq 0$ для каждого $x\in \mathbb {R} ^{n}$ удовлетворяющий $g_{1}(x)\geq 0,\dots ,g_{k}(x)\geq 0$, то существуют неотрицательные действительные числа $c_{0},c_{1},\dots ,c_{k}$ такой, что $f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\cdots +c_{k}g_{k}$.
  • Теорема Полиа: Если $p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]$ является однородным и $p$ позитивен на съемочной площадке $\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0,\dots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\cdots +x_{n}\neq 0\}$, то существует целое число $m$ такой, что $(x_{1}+\cdots +c_{n})^{m}p$ имеет неотрицательные коэффициенты.
  • Теорема Гендельмана: Если $K$ — компактный многогранник в евклидовом пространстве $d$-пространство, определяемое линейными неравенствами $g_{i}\geq 0$, и если $f$ является полиномом по $d$ переменные, положительные по $K$, затем $f$ может быть выражена как линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами произведений членов $\{g_{i}\}$.
• Полиномы, положительные на полуалгебраических множествах .
  • Наиболее общим результатом является теорема Стенгла о положительном месте .
  • Для компактных полуалгебраических множеств мы имеем positivstellensatz Шмюдгена : Положительное предложение Путинара и positivstellensatz Василеску. Дело здесь в том, что знаменатели не нужны.
  • Для хороших компактных полуалгебраических множеств малой размерности существует nichtnegativstellensatz без знаменателей.

Обобщения positivstellensatz

Теорема о положительном месте также существует для знаков , тригонометрические полиномы , полиномиальные матрицы , полиномы от свободных переменных, квантовые полиномы, и определимые функции на o-минимальных структурах .

Дальнейшее чтение

• Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари Франсуаза. Настоящая алгебраическая геометрия . Перевод с французского оригинала 1987 года. Доработано авторами. Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 36. Springer-Verlag, Берлин, 1998. ISBN   3-540-64663-9 .
• Маршалл, Мюррей. «Положительные многочлены и суммы квадратов». Математические обзоры и монографии , 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. ISBN   978-0-8218-4402-1 , ISBN   0-8218-4402-4 .

См. также

• Полиномиальный SOS
• Семнадцатая проблема Гильберта
• Nullstellensatz Гильберта для алгебраических описаний полиномов, равных нулю на множестве S.