Синомиальный

Сигномиал — это алгебраическая функция одной или нескольких независимых переменных. Вероятно, его проще всего рассматривать как алгебраическое расширение многочленов от многих переменных — расширение, которое позволяет экспонентам быть произвольными действительными числами (а не просто неотрицательными целыми числами), требуя при этом, чтобы независимые переменные были строго положительными (так что деление на ноль и другие неподходящие алгебраические операции не встречаются).

Формально сигномиал — это функция с областью определения $\mathbb {R} _{>0}^{n}$ который принимает значения

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{M}\left(c_{i}\prod _{j=1}^{n}x_{j}^{a_{ij}}\right)$

где коэффициенты $c_{i}$ и показатели $a_{ij}$ являются действительными числами. Синомиалы ​​замкнуты при сложении, вычитании, умножении и масштабировании.

Если мы ограничим все $c_{i}$ быть положительной, то функция f является многочленом . Следовательно, каждый сигном является либо полиномом, либо отрицанием полинома, либо разностью двух полиномов. Если, кроме того, все показатели $a_{ij}$ являются неотрицательными целыми числами, то знак становится многочленом, областью определения которого является положительный ортант .

Например,

$f(x_{1},x_{2},x_{3})=2.7x_{1}^{2}x_{2}^{-1/3}x_{3}^{0.7}-2x_{1}^{-4}x_{3}^{2/5}$

является сигналом.

Термин «синомиал» был введен Ричардом Дж. Даффином и Элмором Л. Петерсоном в их плодотворной совместной работе по общей алгебраической оптимизации, опубликованной в конце 1960-х - начале 1970-х годов. Недавнее вводное изложение связано с проблемами оптимизации . нелинейной оптимизации Задачи с ограничениями и/или целями, определяемыми сигномами, труднее решить, чем задачи, определяемые только полиномами, поскольку (в отличие от полисиномов) сигномы не обязательно можно сделать выпуклыми путем применения логарифмической замены переменных. Тем не менее, задачи знаковой оптимизации часто обеспечивают гораздо более точное математическое представление реальных задач нелинейной оптимизации.

См. также

• полиномиальный
• Геометрическое программирование

Внешние ссылки

• С. Бойд, С. Дж. Ким, Л. Ванденбергхе и А. Хассиби, Учебное пособие по геометрическому программированию