Кривине – Стенгле Positivstellensatz

В реальной алгебраической геометрии Krivine -Stengle Positivstellensatz о положительном локусе (по-немецки « теорема ») характеризует полиномы , которые являются положительными на полуалгебраическом множестве , которое определяется системами неравенств полиномов с действительными коэффициентами или, в более общем смысле, коэффициентами из любого настоящее закрытое поле .

Его можно рассматривать как реальный аналог Nullstellensatz Гильберта (который касается комплексных нулей полиномиальных идеалов), и эта аналогия лежит в основе его названия. Это доказал французский математик Жан-Луи Кривин [ фр ; de ], а затем вновь открыт канадцем Гилбертом Стенглом [ Викиданные ] .

Заявление

Пусть R — вещественное замкнутое поле , а F = { f ₁ , f ₂ , ..., f _m } и G = { g ₁ , g ₂ , ..., g _r } конечные множества полиномов над R в n переменные. Пусть W — полуалгебраическое множество

W=\{x\in R^{n}\mid \forall f\in F,\,f(x)\geq 0;\,\forall g\in G,\,g(x)=0\},

и определим предварительный порядок, связанный с W, как набор

P(F,G)=\left\{\sum _{\alpha \in \{0,1\}^{m}}\sigma _{\alpha }f_{1}^{\alpha _{1}}\cdots f_{m}^{\alpha _{m}}+\sum _{\ell =1}^{r}\varphi _{\ell }g_{\ell }:\sigma _{\alpha }\in \Sigma ^{2}[X_{1},\ldots ,X_{n}];\ \varphi _{\ell }\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right\}

где Σ ²[ X ₁ ,..., X _n ] — множество полиномов суммы квадратов . Другими словами, P ( F , G ) = С + я , где C — конус порожденный F (т. е. подполукольцо R , [ X ₁ ,..., X _n ], порожденное F и произвольными квадратами) и I — идеал порожденный G. ,

Пусть p ∈ R [ X1 _Xn ,..., ] _— многочлен. Теорема Кривина – Стенгла о положительном месте утверждает, что

(я)

\forall x\in W\;p(x)\geq 0

тогда и только тогда, когда

\exists q_{1},q_{2}\in P(F,G)

и

s\in \mathbb {Z}

такой, что

q_{1}p=p^{2s}+q_{2}

.

(ii)

\forall x\in W\;p(x)>0

тогда и только тогда, когда

\exists q_{1},q_{2}\in P(F,G)

такой, что

q_{1}p=1+q_{2}

.

Слабый Positivstellensatz — это следующий вариант Positivstellensatz . Пусть R — вещественное замкнутое поле, а F , G и H конечные подмножества R [ X1 _Xn ,..., ] _— . Пусть C — конус, порожденный F , и Я идеал, Г. порожденный Затем

\{x\in R^{n}\mid \forall f\in F\,f(x)\geq 0\land \forall g\in G\,g(x)=0\land \forall h\in H\,h(x)\neq 0\}=\emptyset

тогда и только тогда, когда

\exists f\in C,g\in I,n\in \mathbb {N} \;f+g+\left(\prod H\right)^{\!2n}=0.

(В отличие от Nullstellensatz , «слабая» форма фактически включает в себя «сильную» форму как особый случай, поэтому терминология является неправильной.)

Варианты

Positivstellensatz Кривина – Стенгле также имеет следующие уточнения при дополнительных предположениях. Следует отметить, что Positivstellensatz Шмюдгена имеет более слабое предположение, чем Positivstellensatz Путинара, но и вывод слабее.

Теорема Шмюдгена о положительном месте

Предположим, что $R=\mathbb {R}$ . Если полуалгебраическое множество $W=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \forall f\in F,\,f(x)\geq 0\}$ компактен , то каждый полином $p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]$ это строго позитивно для $W$ можно записать в виде многочлена от определяющих функций $W$ с коэффициентами суммы квадратов, т.е. $p\in P(F,\emptyset )$ . Здесь P говорят, что строго положительно на $W$ если $p(x)>0$ для всех $x\in W$ . ^{[ 1 ]} Обратите внимание, что Positivstellensatz Шмюдгена указан для $R=\mathbb {R}$ и не выполняется для произвольных вещественных замкнутых полей. ^{[ 2 ]}

Теорема Путинара о положительном месте

Определим квадратичный модуль, связанный с W, как множество

Q(F,G)=\left\{\sigma _{0}+\sum _{j=1}^{m}\sigma _{j}f_{j}+\sum _{\ell =1}^{r}\varphi _{\ell }g_{\ell }:\sigma _{j}\in \Sigma ^{2}[X_{1},\ldots ,X_{n}];\ \varphi _{\ell }\in \mathbb {R} [X_{1},\ldots ,X_{n}]\right\}

Предположим, что существует L > 0 такое, что многочлен $L-\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\in Q(F,G).$ Если $p(x)>0$ для всех $x\in W$ , то p ∈ Q ( F , G ). ^{[ 3 ]}

См. также

Положительный полином для других теорем о положительном stellensatz.
Теорема о реальной нулевой точке

Примечания

^ Шмюдген, Конрад [на немецком языке] (1991). «Проблема K-моментов для компактных полуалгебраических множеств». Математические Аннален . 289 (1): 203–206. дои : 10.1007/bf01446568 . ISSN 0025-5831 .
^ Стенгл, Гилберт (1996). «Оценки сложности Schmüdgen Positivstellensatz» . Журнал сложности . 12 (2): 167–174. дои : 10.1006/jcom.1996.0011 .
^ Путинар, Михай (1993). «Положительные многочлены на компактных полуалгебраических множествах» . Математический журнал Университета Индианы . 42 (3): 969–984. дои : 10.1512/iumj.1993.42.42045 .

Ссылки

Кривин, Дж. Л. (1964). «Предопределенные кольца» . Журнал математического анализа . 12 : 307–326. дои : 10.1007/bf02807438 . S2CID 189771756 .
Стенгл, Г. (1974). «Теорема о нулевом месте и теорема о положительном месте в полуалгебраической геометрии». Математические летописи . 207 (2): 87–97. дои : 10.1007/BF01362149 . S2CID 122939347 .
Бочнак Дж.; Косте, М.; Рой, М.-Ф. (1999). Настоящая алгебраическая геометрия . Итоги математики и ее границы 3-я серия. Том 36. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64663-1 .
Джеякумар, В.; Лассер, Дж.Б.; Ли, Г. (18 июля 2014 г.). «О полиномиальной оптимизации над некомпактными полуалгебраическими множествами». Журнал теории оптимизации и приложений . 163 (3): 707–718. CiteSeerX 10.1.1.771.2203 . дои : 10.1007/s10957-014-0545-3 . ISSN 0022-3239 . S2CID 254745314 .

[1] Шмюдген, Конрад [на немецком языке] (1991). «Проблема K-моментов для компактных полуалгебраических множеств». Математические Аннален . 289 (1): 203–206. дои : 10.1007/bf01446568 . ISSN 0025-5831 .

[2] Стенгл, Гилберт (1996). «Оценки сложности Schmüdgen Positivstellensatz» . Журнал сложности . 12 (2): 167–174. дои : 10.1006/jcom.1996.0011 .

[3] Путинар, Михай (1993). «Положительные многочлены на компактных полуалгебраических множествах» . Математический журнал Университета Индианы . 42 (3): 969–984. дои : 10.1512/iumj.1993.42.42045 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]