Теорема Пэли – Винера

В математике теорема Пэли -Винера — это любая теорема, которая связывает свойства распада функции или распределения на бесконечности с аналитичностью ее преобразования Фурье . Она названа в честь Раймонда Пейли (1907–1933) и Норберта Винера (1894–1964), которые в 1934 году представили различные версии теоремы. Исходные теоремы не использовали язык распределений , а вместо этого применялись к интегрируемым с квадратом функциям . Первая такая теорема с использованием распределений принадлежит Лорану Шварцу . Эти теоремы в значительной степени опираются на неравенство треугольника (для замены абсолютного значения и интегрирования).

Оригинальная работа Пейли и Винера также используется как одноименная в областях теории управления и гармонического анализа ; введение условия Пэли-Винера для спектральной факторизации и критерия Пэли-Винера для негармонических рядов Фурье соответственно. Это связанные математические концепции, которые помещают свойства затухания функции в контекст проблем устойчивости .

Голоморфные преобразования Фурье

Классические теоремы Пэли – Винера используют голоморфное преобразование Фурье на классах функций, интегрируемых с квадратом, поддерживаемых на вещественной прямой. Формально идея состоит в том, чтобы взять интеграл, определяющий (обратное) преобразование Фурье

$f(\zeta )=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx$

и позвольте $\zeta$ быть комплексным числом в верхней полуплоскости . Тогда можно ожидать дифференцирования по интегралу, чтобы проверить, что выполняются уравнения Коши – Римана и, следовательно, что $f$ определяет аналитическую функцию. Однако этот интеграл не может быть четко определен даже для $F$ в $L^{2}(\mathbb {R} )$; действительно, поскольку $\zeta$ находится в верхней полуплоскости, модуль $e^{ix\zeta }$ растет экспоненциально, так как $x\to -\infty$; поэтому о дифференцировании под знаком интеграла не может быть и речи. Необходимо ввести дополнительные ограничения на $F$ для того, чтобы гарантировать корректность определения этого интеграла.

Первое такое ограничение заключается в том, что $F$ быть поддержан на $\mathbb {R} _{+}$: то есть, $F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})$. Теорема Пэли – Винера теперь утверждает следующее: Голоморфное преобразование Фурье $F$, определяемый

$f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx$

для $\zeta$ в верхней полуплоскости — голоморфная функция. Более того, по теореме Планшереля имеем

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx$

и посредством доминирующей конвергенции ,

$\lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.$

И наоборот, если $f$ — голоморфная функция в верхней полуплоскости, удовлетворяющая

$\sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty$

тогда существует $F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})$ такой, что $f$ — голоморфное преобразование Фурье $F$.

Говоря абстрактно, эта версия теоремы явно описывает пространство Харди. $H^{2}(\mathbb {R} )$. Теорема утверждает, что

${\mathcal {F}}H^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(\mathbb {R_{+}} ).$

Это очень полезный результат, поскольку он позволяет перейти к преобразованию Фурье функции в пространстве Харди и выполнить вычисления в понятном пространстве. $L^{2}(\mathbb {R} _{+})$ функций, интегрируемых с квадратом, с носителем на положительной оси.

Введя альтернативное ограничение, которое $F$ имеют компактный носитель , получаем еще одну теорему Пэли–Винера. Предположим, что $F$ поддерживается в $[-A,A]$, так что $F\in L^{2}(-A,A)$. Тогда голоморфное преобразование Фурье

$f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx$

— целая функция экспоненциального типа $A$, что означает, что существует константа $C$ такой, что

$|f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},$

и более того, $f$ интегрируемо с квадратом по горизонтальным прямым:

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .$

И наоборот, любая целая функция экспоненциального типа $A$ интегрируемое с квадратом по горизонтальным прямым, является голоморфным преобразованием Фурье $L^{2}$ функция поддерживается в $[-A,A]$.

Теорема Шварца Пэли – Винера

Теорема Шварца Пэли – Винера утверждает, что преобразование Фурье распределения компактного носителя на $\mathbb {R} ^{n}$ это целая функция на $\mathbb {C} ^{n}$ и дает оценки ее роста на бесконечности. Это было доказано Лораном Шварцем ( 1952 ). Представленная здесь формулировка взята из Hörmander (1976). .

Как правило, преобразование Фурье можно определить для любого умеренного распределения ; более того, любое распределение компактной поддержки $v$ является умеренным распределением. Если $v$ представляет собой распределение компактной поддержки и $f$ — бесконечно дифференцируемая функция, выражение

$v(f)=v(x\mapsto f(x))$

хорошо определен.

Можно показать, что преобразование Фурье $v$ - это функция (в отличие от общего умеренного распределения), заданная при значении $s$ к

${\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)$

и что эту функцию можно расширить до значений $s$ в сложном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$. Это расширение преобразования Фурье в комплексную область называется преобразованием Фурье – Лапласа .

Теорема Шварца — Целая функция $F$ на $\mathbb {C} ^{n}$ представляет собой преобразование Фурье – Лапласа распределения $v$ компактного носителя тогда и только тогда, когда для всех $z\in \mathbb {C} ^{n}$,

$|F(z)|\leq C(1+|z|)^{N}e^{B|{\text{Im}}(z)|}$

для некоторых констант $C$, $N$, $B$. Распределение $v$ фактически будет поддерживаться в закрытом шаре центра $0$ и радиус $B$.

Дополнительные условия роста на всей функции $F$ наложить свойства регулярности на распределение $v$. Например:

Теорема . Если для каждого положительного $N$ есть константа $C_{N}$ такой, что для всех $z\in \mathbb {C} ^{n}$,

$|F(z)|\leq C_{N}(1+|z|)^{-N}e^{B|\mathrm {Im} (z)|}$

затем $v$ — бесконечно дифференцируемая функция, и наоборот.

Более точные результаты, дающие хороший контроль над единственной поддержкой $v$ были сформулированы Хёрмандером (1990) . В частности, позволять $K$ быть выпуклым компактом в $\mathbb {R} ^{n}$ с поддерживающей функцией $H$, определяемый

$H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .$

Тогда сингулярный носитель $v$ содержится в $K$ тогда и только тогда, когда существует константа $N$ и последовательность констант $C_{m}$ такой, что

$|{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H(\mathrm {Im} (\zeta ))}$

для $|\mathrm {Im} (\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).$

Ссылки

• Хёрмандер, Л. (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Springer Verlag .
• Пейли, Раймонд EAC ; Винер, Норберт (1934). Преобразования Фурье в комплексной области . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1019-4 .
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN  978-0-07-054234-1 , МР   0924157 .
• Шварц, Лоран (1952), «Преобразование Лапласа распределений», Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундский университет Вместе с. сем.] , 1952 : 196–206, МР   0052555.
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN  0-8493-8273-4 .
• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Academic Press .