Н квадратный

В математике и теории управления H ² , или H-квадрат — это пространство Харди с квадратной нормой. Это подпространство L ² пространство и, таким образом, является гильбертовым пространством . В частности, это воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства .

На единичном круге

В общем случае элементы L ² на единичной окружности имеют вид

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }$

тогда как элементы H ² даны

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.$

Проекция от L ² до Н ² (установив n _{= 0 ,} когда n <0) является ортогональным.

На полуплоскости

Лапласа Преобразование ${\mathcal {L}}$ данный

$[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

можно понимать как линейный оператор

${\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)$

где $L^{2}(0,\infty )$ - это набор функций, интегрируемых с квадратом на прямой положительной действительной числовой линии, и $\mathbb {C} ^{+}$ является правой половиной комплексной плоскости. Это больше; это изоморфизм в том смысле, что он обратим, и изометрический в том смысле, что он удовлетворяет условиям

$\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.$

Преобразование Лапласа является «половиной» преобразования Фурье; от разложения

$L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )$

тогда получается разложение ортогональное $L^{2}(\mathbb {R} )$ на два пространства Харди

$L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).$

По сути, это теорема Пэли-Винера .

См. также

• H _∞

Ссылки

• Джонатан Р. Партингтон, «Линейные операторы и линейные системы, аналитический подход к теории управления», Студенческие тексты Лондонского математического общества 60 , (2004) Cambridge University Press, ISBN   0-521-54619-2 .