Методы H-бесконечности в теории управления

H _∞ (т.е. « H -бесконечность ») Методы используются в теории управления для синтеза регуляторов для достижения стабилизации с гарантированными характеристиками. Чтобы использовать методы H∞ _, , разработчик системы управления выражает задачу управления как задачу математической оптимизации а затем находит контроллер, который решает эту оптимизацию. Методы H _∞ имеют преимущество перед классическими методами управления в том, что методы H _∞ легко применимы к проблемам, связанным с многомерными системами с перекрестной связью между каналами; К недостаткам методов H _∞ относятся уровень математического понимания, необходимый для их успешного применения, и необходимость иметь достаточно хорошую модель управляемой системы. Важно иметь в виду, что полученный контроллер оптимален только в отношении заданной функции стоимости и не обязательно представляет собой лучший контроллер с точки зрения обычных показателей производительности, используемых для оценки контроллеров, таких как время установления, затраченная энергия и т. д. Кроме того, нелинейные ограничения, такие как насыщенность, обычно не решаются должным образом. Эти методы были внедрены в теорию управления в конце 1970-х — начале 1980-х годов.к Джордж Зеймс (минимизация чувствительности), ^[1] Дж. Уильям Хелтон (согласование широкополосного доступа), ^[2]и Аллен Танненбаум (оптимизация прибыли). ^[3]

Фраза H _∞ control происходит от названия математического пространства, в котором происходит оптимизация: H _∞ — это пространство Харди матриц - функций, которые аналитичны и ограничены в открытой правой половине комплексной плоскости, определяемой Re( с ) > 0; норма H _∞ является верхним сингулярным значением матрицы в этом пространстве. В случае скалярной функции элементы пространства Харди, непрерывно продолжающиеся до границы и непрерывные на бесконечности, представляют собой дисковую алгебру . Для матричнозначной функции норму можно интерпретировать как максимальный коэффициент усиления в любом направлении и на любой частоте; для систем SISO это фактически максимальная величина частотной характеристики.

Методы H _∞ могут использоваться для минимизации воздействия возмущения в замкнутом контуре: в зависимости от постановки задачи воздействие будет измеряться либо с точки зрения стабилизации, либо с точки зрения производительности. Одновременно оптимизировать надежную производительность и надежную стабилизацию сложно. Одним из методов, который приближается к достижению этой цели, является H _∞ формирование контура , который позволяет разработчику системы управления применять классические концепции формирования контура к многопараметрической частотной характеристике для получения хороших устойчивых характеристик, а затем оптимизирует отклик вблизи полосы пропускания системы для достижения хороших результатов. надежная стабилизация.

Доступно коммерческое программное обеспечение для поддержки синтеза контроллера H _∞ .

Формулировка проблемы [ править ]

Во-первых, процесс должен быть представлен в соответствии со следующей стандартной конфигурацией:

Объект P имеет два входа: экзогенный вход w , который включает в себя опорный сигнал и возмущения, и управляющие переменные u . Есть два выходных сигнала: сигналы ошибок z , которые мы хотим минимизировать, и измеряемые переменные v , которые мы используем для управления системой. v используется в K для вычисления переменных u . Обратите внимание, что все это обычно векторы , тогда как P и K являются матрицами .

В формулах система выглядит так:

{\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}

u=\mathbf {K} (s)\,v

Поэтому можно выразить зависимость z от w как:

z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w

Называемое нижним дробно-линейным преобразованием , $F_{\ell }$ определено (нижний индекс идет снизу ):

F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}

Таким образом, цель ${\mathcal {H}}_{\infty }$ дизайн управления - найти контроллер $\mathbf {K}$ такой, что $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ минимизируется в соответствии с ${\mathcal {H}}_{\infty }$ норма. Это же определение применимо и к ${\mathcal {H}}_{2}$ конструкция управления. Норма бесконечности матрицы передаточной функции $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ определяется как:

||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))

где ${\bar {\sigma }}$ - максимальное сингулярное значение матрицы $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )$ .

Достижимая норма H _∞ замкнутой системы в основном задается через матрицу D ₁₁ (когда система P задана в виде ( A , B ₁ , B ₂ , C ₁ , C ₂ , D ₁₁ , D ₁₂ , D ₂₂ , Д ₂₁ )). Есть несколько способов прийти к H _∞- регулятору:

порядка . Параметризация замкнутого контура Юлы-Кусеры часто приводит к контроллеру очень высокого
Подходы, основанные на Риккати, решают два уравнения Риккати , чтобы найти контроллер, но требуют нескольких упрощающих предположений.
Переформулировка уравнения Риккати, основанная на оптимизации, использует линейные матричные неравенства и требует меньше допущений.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Замес, Джордж (1981). «Обратная связь и оптимальная чувствительность: эталонные преобразования модели, мультипликативные полунормы и приближенные обратные». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 26 (2): 301–320. дои : 10.1109/tac.1981.1102603 .
^ Хелтон, Дж. Уильям (1978). «Орбитальная структура действия полугруппы преобразования Мёбиуса на H-бесконечности (широкополосное сопоставление)». Адв. Математика. Доп. Стад . 3 : 129–197.
^ Танненбаум, Аллен (1980). «Стабилизация линейных динамических объектов с обратной связью при неопределенности коэффициента усиления». Международный журнал контроля . 32 (1): 1–16. дои : 10.1080/00207178008922838 .

Библиография [ править ]

Барбу, В.; Шритаран, Сивагуру С. (1998), «H-бесконечное управление гидродинамикой» (PDF) , Proceedings of the Royal Society A , 545 (1979): 3009–3033, CiteSeerX 10.1.1.177.4397 , doi : 10.1098/rspa .1998.0289 , S2CID 121983192 .

Дойл, Джон; Фрэнсис, Брюс; Танненбаум, Аллен (1992), Теория управления с обратной связью , MacMillan .

Грин, М.; Лаймбир, Д. (1995), Линейное робастное управление , Прентис Холл .

Саймон, Дэн (2006), Оценка оптимального состояния: Калман, H-бесконечность и нелинейные подходы , Wiley .

Скогестад, Сигурд; Постлетуэйт, Ян (1996), Многопараметрическое управление с обратной связью: анализ и проектирование , Wiley, ISBN 978-0-471-94277-1 .

Скогестад, Сигурд; Постлетуэйт, Ян (2005), Многопараметрическое управление с обратной связью: анализ и проектирование (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-470-01167-6 .

[Zames-1] Замес, Джордж (1981). «Обратная связь и оптимальная чувствительность: эталонные преобразования модели, мультипликативные полунормы и приближенные обратные». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 26 (2): 301–320. дои : 10.1109/tac.1981.1102603 .

[Helton-2] Хелтон, Дж. Уильям (1978). «Орбитальная структура действия полугруппы преобразования Мёбиуса на H-бесконечности (широкополосное сопоставление)». Адв. Математика. Доп. Стад . 3 : 129–197.

[Tannenbaum-3] Танненбаум, Аллен (1980). «Стабилизация линейных динамических объектов с обратной связью при неопределенности коэффициента усиления». Международный журнал контроля . 32 (1): 1–16. дои : 10.1080/00207178008922838 .

[1]

[2]

[3]