Линейное матричное неравенство

В выпуклой оптимизации линейное матричное неравенство ( LMI ) представляет собой выражение вида

$\operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\succeq 0\,$

где

• $y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]$ действительный вектор,
• $A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}$ являются $n\times n$ симметричные матрицы $\mathbb {S} ^{n}$,
• $B\succeq 0$ это обобщенное неравенство, означающее $B$ — положительно полуопределенная матрица, принадлежащая положительно полуопределенному конусу $\mathbb {S} _{+}$ в подпространстве симметричных матриц $\mathbb {S}$.

Это линейное матричное неравенство задает выпуклое ограничение на $y$.

Приложения

Существуют эффективные численные методы, позволяющие определить, возможен ли LMI ( например , существует ли вектор y такой, что LMI( y ) ≥ 0), или решить задачу выпуклой оптимизации с ограничениями LMI.Многие задачи оптимизации в теории управления , идентификации систем и обработке сигналов могут быть сформулированы с использованием LMI. Также LMI находят применение в полиномиальной сумме квадратов . Прототипическая первичная и двойственная полуопределенная программа представляет собой минимизацию действительной линейной функции, соответственно подчиняющейся первичному и двойственному выпуклым конусам, управляющим этим LMI.

Решение LMI

Крупным прорывом в выпуклой оптимизации стало введение методов внутренней точки . Эти методы были развиты в серии статей и вызвали настоящий интерес в контексте проблем LMI в работах Юрия Нестерова и Аркадия Немировского .

См. также

• Полуопределенное программирование
• Спектраэдр
• Лемма Финслера

Ссылки

• Нестеров Ю., Немировский А. «Метод полиномов внутренних точек в выпуклом программировании». СИАМ, 1994 год.

Внешние ссылки

• С. Бойд, Л. Эль Гауи, Э. Ферон и В. Балакришнан, «Линейные матричные неравенства в теории систем и управления» (книга в формате pdf)
• К. Шерер и С. Вейланд, Линейные матричные неравенства в управлении