продукт Бляшке

В комплексном анализе произведение Бляшке представляет собой ограниченную аналитическую функцию в открытом единичном круге, построенную так, чтобы иметь нули в (конечной или бесконечной) последовательности предписанных комплексных чисел.

a_{0},\ a_{1},\ldots

внутри единичного диска , причем величина функции постоянна вдоль границы диска.

продукт Бляшке, $B(z)$ , связанный с 50 случайно выбранными точками единичного диска. B(z) представлен в виде графика Matplotlib с использованием версии метода раскраски домена .

Продукты Blaschke были представлены Вильгельмом Блашке ( 1915 ). Они связаны с пространствами Харди .

Определение

Последовательность точек $(a_{n})$ Говорят, что внутри единичного круга удовлетворяет условию Бляшке , когда

\sum _{n}(1-|a_{n}|)<\infty .

Для последовательности, подчиняющейся условию Бляшке, произведение Бляшке определяется как

B(z)=\prod _{n}B(a_{n},z)

с факторами

B(a,z)={\frac {|a|}{a}}\;{\frac {a-z}{1-{\overline {a}}z}}

предоставил $a\neq 0$ . Здесь ${\overline {a}}$ является комплексно- сопряженным $a$ . Когда $a=0$ брать $B(0,z)=z$ .

Продукт Бляшке $B(z)$ определяет функцию, аналитическую в открытом единичном круге, и нулевую точно в $a_{n}$ (с учетом кратности ): кроме того, он относится к классу Харди $H^{\infty }$ . ^[1]

Последовательность $a_{n}$ удовлетворяющая приведенному выше критерию сходимости, иногда называется последовательностью Бляшке .

Теорема о гвоздях

Теорема Габора Сеге утверждает, что если $f\in H^{1}$ , пространство Харди с интегрируемой нормой, и если $f$ не является тождественным нулем, то нули $f$ (заведомо счетное число) удовлетворяют условию Бляшке.

Конечные произведения Бляшке

Конечные произведения Бляшке можно охарактеризовать (как аналитические функции на единичном круге) следующим образом: предположим, что $f$ — аналитическая функция на открытом единичном круге такая, что что $f$ может быть расширена до непрерывной функции на замкнутом единичном диске

{\overline {\Delta }}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}

который отображает единичный круг сам на себя. Затем $f$ равно конечному произведению Бляшке

B(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({{z-a_{i}} \over {1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}}

где $\zeta$ лежит на единичной окружности и $m_{i}$ это кратность нуля $a_{i}$ , $|a_{i}|<1$ . В частности, если $f$ удовлетворяет приведенному выше условию и не имеет нулей внутри единичного круга, тогда $f$ постоянна (этот факт также является следствием принципа максимума для гармонических функций , примененного к гармонической функции $\log(|f(z)|)$ .

См. также

Ссылки

^ Конвей (1996) 274

Блашке, В. (1915). «Распространение теоремы Витали о последовательностях аналитических функций» . Докладывает Матем.-Физ. Кл. (на немецком языке). 67 . Саксонский. Общество наука Лейпциг: 194–200.
Колвелл, Питер (1985). Продукция Блашке . Анн-Арбор, Мичиган: Издательство Мичиганского университета. ISBN 0-472-10065-3 . МР 0779463 .
Конвей, Джон Б. (1996). Функции комплексной переменной II . Тексты для аспирантов по математике . Том. 159. Шпрингер-Верлаг . стр. 273–274. ISBN 0-387-94460-5 .
Тамразов, ПМ (2001) [1994]. «Продукт Блашке» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .

[1] Конвей (1996) 274

[1]