Матрица передаточной функции

В теории систем управления и различных областях техники матрица передаточной функции или просто передаточная матрица представляет собой обобщение передаточных функций систем с одним входом и одним выходом (SISO) на системы с несколькими входами и несколькими выходами (MIMO). . Матрица связывает выходы системы с ее входами. Это особенно полезная конструкция для линейных стационарных (LTI) систем, поскольку ее можно выразить через s-плоскость .

В некоторых системах, особенно состоящих полностью из пассивных компонентов, может быть неоднозначно, какие переменные являются входными, а какие выходными. В электротехнике распространенная схема состоит в том, чтобы собрать все переменные напряжения с одной стороны и все переменные тока с другой, независимо от того, какие из них являются входами или выходами. Это приводит к тому, что все элементы матрицы передачи выражаются в единицах импеданса . Понятие импеданса (и, следовательно, матрицы импеданса) по аналогии было заимствовано в другие области энергетики, особенно в механику и акустику.

Многие системы управления охватывают несколько различных энергетических областей. Для этого необходимы матрицы переноса с элементами в смешанных единицах. Это необходимо как для описания преобразователей , которые устанавливают связи между доменами, так и для описания системы в целом. Если матрица должна правильно моделировать потоки энергии в системе, необходимо выбрать совместимые переменные, позволяющие это сделать.

Общий

См. Также: матрица системы Розенброка.

Система MIMO с m выходами и n входами представлена ​​матрицей m × n . Каждая запись в матрице имеет форму передаточной функции, связывающей выход со входом. Например, для системы с тремя входами и двумя выходами можно написать:

${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}$

где un _— входы, y _m — выходы, а g _mn — передаточные функции. Более кратко это можно записать в виде матричного оператора:

$\mathbf {Y} =\mathbf {G} \mathbf {U}$

где Y — вектор-столбец выходных данных, G — матрица передаточных функций, а U — вектор-столбец входных данных.

Во многих случаях рассматриваемая система представляет собой линейную стационарную (LTI) систему. В таких случаях удобно выразить матрицу переноса через преобразование Лапласа (в случае непрерывных переменных времени ) или z-преобразование (в случае дискретных переменных времени) переменных. Это можно указать, например, письменно:

$\mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)$

что указывает на то, что переменные и матрица выражены в терминах s , комплексной частотной переменной s-плоскости, возникающей в результате преобразований Лапласа, а не времени. Предполагается, что все примеры в этой статье представлены в такой форме, хотя для краткости это явно не указано. Для систем с дискретным временем s заменяется на z из z-преобразования, но это не имеет значения для последующего анализа. Матрица особенно полезна, когда она является правильной рациональной матрицей , то есть все ее элементы являются собственными рациональными функциями . В этом случае представление в пространстве состояний . можно применить

В системной инженерии общая матрица передачи системы G ( s ) разбивается на две части: H ( s ), представляющая управляемую систему, и C ( s ), представляющая систему управления. C ( s ) принимает в качестве входных данных входы G ( s ) и выходы H ( s ) . Выходы C ( s ) формируют входы для H ( s ) .

Электрические системы

В электрических системах часто бывает, что различие между входными и выходными переменными неоднозначно. Они могут быть любыми, в зависимости от обстоятельств и точки зрения. В таких случаях концепция порта (места, где энергия передается из одной системы в другую) может оказаться более полезной, чем концепция ввода и вывода. каждого порта принято определять две переменные ( p ): напряжение на нем ( Vp ₎ и входящий в него ток ( Ip _Для ). Например, матрица передачи двухпортовой сети может быть определена следующим образом:

${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

где z _mn называются параметрами импеданса , или z -параметрами. Они названы так потому, что выражаются в единицах импеданса и связывают токи порта с напряжением порта. Z-параметры — не единственный способ определения передаточных матриц для двухпортовых сетей. Существует шесть основных матриц, связывающих напряжения и токи, каждая из которых имеет преимущества для конкретной топологии сети системы. Однако только два из них могут быть расширены за пределы двух портов до произвольного количества портов. Эти два параметра представляют собой z -параметры и их обратные параметры, параметры адмиттанса или y -параметры.

Схема делителя напряжения

Чтобы понять взаимосвязь между напряжениями и токами портов, а также входами и выходами, рассмотрим простую схему делителя напряжения. Если мы хотим рассматривать только выходное напряжение ( V ₂ ), возникающее в результате подачи входного напряжения ( V ₁ ), тогда передаточную функцию можно выразить как:

${\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{bmatrix}}$

который можно рассматривать как тривиальный случай передаточной матрицы 1×1. Выражение правильно предсказывает выходное напряжение, если ток не выходит из порта 2, но его точность становится все более неточной по мере увеличения нагрузки. Однако если мы попытаемся использовать схему в обратном порядке, подав на нее напряжение на порте 2, и вычислим результирующее напряжение на порте 1, выражение даст совершенно неправильный результат даже при отсутствии нагрузки на порт 1. Оно предсказывает большее напряжение на порту 1. порт 1, чем был применен к порту 2, что невозможно для чисто резистивной схемы, подобной этой. Чтобы правильно спрогнозировать поведение схемы, необходимо также учитывать токи, входящие или выходящие из портов, что и делает передаточная матрица. Матрица импеданса для схемы делителя напряжения:

${\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

который полностью описывает его поведение при всех входных и выходных условиях.

На микроволновых частотах ни одна из передаточных матриц, основанных на напряжениях и токах портов, не удобна для использования на практике. Напряжение трудно измерить напрямую, ток практически невозможно, а разомкнутые цепи и короткие замыкания, требуемые методом измерения, не могут быть достигнуты с какой-либо точностью. Для волноводных реализаций напряжение и ток цепи совершенно бессмысленны. Вместо этого используются трансфер-матрицы с переменными разного типа. Это мощности , передаваемые в порт и отраженные от него, которые легко измеряются в технологии линий передачи , используемой в схемах с распределенными элементами в микроволновом диапазоне. Наиболее известными и широко используемыми параметрами такого типа являются параметры рассеяния или s-параметры.

Механические и другие системы

Зубчатая передача в кабине управления бывшего моста Джанелла , который управлял этим поворотным мостом . Зубчатые передачи двухпортовые.

Понятие импеданса может быть расширено на механическую и другие области посредством механо-электрической аналогии , следовательно, параметры импеданса и другие формы параметров двухпортовой сети также могут быть распространены на механическую область. Для этого переменная усилия и переменная потока сделаны аналогами напряжения и тока соответственно. Для механических систем, находящихся в процессе перевода, этими переменными являются сила и скорость соответственно.

Выражение поведения механического компонента как двухпортового или многопортового с помощью передаточной матрицы полезно, поскольку, как и в электрических цепях, компонент часто может работать в обратном направлении, и его поведение зависит от нагрузок на входы и выходы. Например, зубчатая передача часто характеризуется просто ее передаточным числом, передаточной функцией SISO. Однако выходной вал коробки передач можно вращать, чтобы повернуть входной вал, что требует анализа MIMO. В этом примере переменными усилия и потока являются крутящий момент T и угловая скорость ω соответственно. Матрица переноса с точки зрения z-параметров будет выглядеть так:

${\begin{bmatrix}T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}$

Однако z-параметры не обязательно являются наиболее удобными для характеристики зубчатых передач. Зубчатая передача является аналогом электрического трансформатора , а h-параметры ( гибридные параметры) лучше описывают трансформаторы, поскольку они напрямую включают в себя передаточные числа (аналог передаточных чисел). Передаточная матрица коробки передач в формате h-параметра:

${\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}$

где

h ₂₁ – передаточное число зубчатой ​​передачи без нагрузки на выходе,

h ₁₂ — передаточное отношение крутящего момента в обратном направлении зубчатой ​​передачи при зажатом первичном валу, равное передаточному передаточному моменту для идеальной коробки передач,

h ₁₁ — входное вращательное механическое сопротивление при отсутствии нагрузки на выходном валу, ноль для идеального редуктора, и

h ₂₂ — механический допуск при вращении на выходе при зажатом входном валу.

Для идеальной зубчатой ​​передачи без потерь (трения, искажений и т. д.) это упрощается до:

${\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&N\\N&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}$

где N – передаточное число.

Преобразователи и приводы

Механический фильтр открыт, чтобы показать механо-электрические преобразователи на обоих концах.

В системе, состоящей из нескольких энергетических доменов, требуются матрицы передачи, которые могут обрабатывать компоненты с портами в разных доменах. В робототехнике и мехатронике . исполнительные механизмы необходимы Обычно они состоят из преобразователя , преобразующего, например, сигналы системы управления в электрической области в движение в механической области. Система управления также требует датчиков , которые обнаруживают движение и преобразуют его обратно в электрическую область через другой преобразователь, чтобы движением можно было правильно управлять с помощью контура обратной связи. Другими датчиками в системе могут быть преобразователи, преобразующие другие области энергии в электрические сигналы, такие как оптические, звуковые, тепловые, потоки жидкости и химические сигналы. Еще одним применением является область механических фильтров , для которых требуются преобразователи между электрической и механической областями в обоих направлениях.

Простым примером является электромагнитный электромеханический привод, управляемый электронным контроллером. Для этого требуется преобразователь с входным портом в электрической области и выходным портом в механической области. Это можно упрощенно представить с помощью передаточной функции SISO, но по причинам, аналогичным уже указанным, более точное представление достигается с помощью передаточной матрицы MIMO с двумя входами и двумя выходами. В z-параметрах это принимает вид:

${\begin{bmatrix}V\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\\v\end{bmatrix}}$

где F — сила, приложенная к приводу, а v — результирующая скорость привода. Параметры импеданса здесь представляют собой смесь единиц; z ₁₁ — электрический импеданс, z ₂₂ — механический импеданс, а два других — трансимпедансы в гибридной смеси единиц.

Акустические системы

Акустические системы представляют собой подмножество гидродинамики в обеих областях основными входными и выходными переменными являются давление P , и и объемный расход , Q за исключением случая распространения звука через твердые компоненты. В последнем случае более подходящими являются основные переменные механики — сила и скорость. Примером двухпортового акустического компонента является фильтр, например глушитель выхлопной системы . Его представление в матрице передачи может выглядеть так:

${\begin{bmatrix}P_{2}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\Q_{1}\end{bmatrix}}$

Здесь T _mn — параметры передачи, также известные как ABCD-параметры . Компонент так же легко может быть описан с помощью z-параметров, но параметры передачи имеют математическое преимущество, когда мы имеем дело с системой двух портов, которые каскадно соединены выходом одного во входной порт другого. В таких случаях общие параметры передачи находятся просто путем матричного умножения матриц параметров передачи составляющих компонентов.

Совместимые переменные

Пневматический реечный привод, управляющий клапаном в водопроводной трубе. Привод представляет собой двухпортовое устройство, которое преобразует пневматический режим в механический. Вместе с самим клапаном он представляет собой трехходовую систему; порт пневматического управления и порты входного и выходного водопровода потока жидкости клапана.

При работе со смешанными переменными из разных энергетических областей необходимо учитывать, какие переменные считать аналогичными. Выбор зависит от того, какую цель преследует анализ. Если требуется правильно смоделировать потоки энергии во всей системе, тогда пара переменных, произведением которых является мощность (сопряженные по мощности переменные) в одной энергетической области, должна сопоставляться с сопряженными по мощности переменными в других областях. Сопряженные по степени переменные не уникальны, поэтому необходимо позаботиться о том, чтобы использовать одно и то же отображение переменных во всей системе.

Общее сопоставление (используемое в некоторых примерах в этой статье) сопоставляет переменные усилий (те, которые инициируют действие) из каждого домена вместе, а переменные потока (те, которые являются свойством действия) из каждого домена вместе. Каждая пара переменных усилия и потока является степенно сопряженной. Эта система известна как аналогия импеданса , поскольку отношение усилия к переменной потока в каждой области аналогично электрическому импедансу.

Существуют еще две системы степенных сопряжений с теми же переменными, которые используются. Аналогия с подвижностью отображает механическую силу в электрический ток, а не в напряжение. Эта аналогия широко используется разработчиками механических фильтров, а также часто в аудиоэлектронике. Преимущество сопоставления заключается в сохранении топологий сети во всех доменах, но при этом не поддерживается сопоставление импедансов. Аналогия Трента классифицирует степенно-сопряженные переменные как через переменные, так и через переменные, в зависимости от того, действуют ли они через элемент системы или через него. В конечном итоге это во многом совпадает с аналогией с подвижностью, за исключением случая потока жидкости (включая область акустики). Здесь давление рассматривается как напряжение (как в аналогии с импедансом), а не как ток (как в аналогии с подвижностью). Однако сила в механической области аналогична току, поскольку сила действует через объект.

Есть некоторые часто используемые аналогии, в которых не используются пары степенных сопряжений. Для датчиков правильное моделирование потоков энергии может быть не так важно. Датчики часто извлекают в систему лишь незначительное количество энергии. Выбор переменных, которые удобно измерять, особенно тех, которые фиксирует датчик, может оказаться более полезным. Например, в аналогии с тепловым сопротивлением тепловое сопротивление считается аналогом электрического сопротивления, в результате чего разница температур и тепловая мощность отображаются на напряжение и ток соответственно. Сопряженная по мощности разность температур — это не тепловая мощность, а скорее скорость потока энтропии , которую невозможно измерить напрямую. Другая аналогия того же рода имеет место в магнитной области. Это отображает магнитное сопротивление на электрическое сопротивление, в результате чего магнитный поток отображается на ток, а не на скорость изменения магнитного потока, как это требуется для совместимых переменных.

История

Матричное представление линейных алгебраических уравнений известно уже давно. Пуанкаре в 1907 году был первым, кто описал преобразователь как пару таких уравнений, связывающих электрические переменные (напряжение и ток) с механическими переменными (сила и скорость). Вегель в 1921 году был первым, кто выразил эти уравнения в терминах механического импеданса, а также электрического импеданса.

Первое использование передаточных матриц для представления системы управления MIMO было осуществлено Боксенбомом и Худом в 1950 году, но только для частного случая газотурбинных двигателей, которые они изучали для Национального консультативного комитета по аэронавтике . Крукшанк предоставил более прочную основу в 1955 году, но без полной общности. Кавана в 1956 году дал первую полностью общую трактовку, установив матричные отношения между системой и контролем и предоставив критерии реализуемости системы управления, которая могла бы обеспечить заданное поведение управляемой системы.

См. также

• Трансфер-матричный метод (оптика)

Библиография

• Бессаи, Хорст, Сигналы и системы MIMO , Springer, 2006 г. ISBN   038727457X .
• Бакши, А.В.; Бакши, У.А., Теория сетей , Технические публикации, 2008. ISBN   8184314027 .
• Боксенбом, Аарон С.; Худ, Ричард, «Общий алгебраический метод, применяемый для анализа управления сложными типами двигателей» , Отчет NACA 980, 1950.
• Буш-Вишняк, Илен Дж., Электромеханические датчики и приводы , Springer, 1999 г. ISBN   038798495X .
• Чен, Вай Кай, Справочник по электротехнике , Academic Press, 2004 г. ISBN   0080477488 .
• Чома, Джон, Электрические сети: теория и анализ , Wiley, 1985. ISBN   0471085286 .
• Круикшанк, AJO, «Матричная формулировка уравнений системы управления», The Matrix and Tensor Quarterly , vol. 5, нет. 3, с. 76, 1955.
• Айер, TSKV, Теория цепей , Tata McGraw-Hill Education, 1985 г. ISBN   0074516817 .
• Кавана, Р.Дж., «Применение матричных методов к многопараметрическим системам управления» , Журнал Института Франклина , том. 262, вып. 5, стр. 349–367, ноябрь 1956 г.
• Кениг, Герман Эдвард; Блэквелл, Уильям А., Теория электромеханических систем , McGraw-Hill, 1961. ОСЛК   564134
• Левин, Уильям С., Справочник по контролю , CRC Press, 1996 г. ISBN   0849385709 .
• Нгуен, Кэм, Радиочастотная разработка интегральных схем , Wiley, 2015 г. ISBN   1118936485 .
• Олсен А., «Характеристика трансформаторов по h-параметрам» , Транзакции IEEE по теории цепей , том. 13, вып. 2, стр. 239–240, июнь 1966 г.
• Пирс, Аллан Д. Акустика: введение в ее физические принципы и применение , Акустическое общество Америки, 1989 г. ISBN   0883186128 .
• Пуанкаре, Х., «Исследование телефонной трубки» , Eclairage Electrique , vol. 50, с. 221–372, 1907.
• Вегель, Р.Л., «Теория магнитомеханических систем применительно к телефонным трубкам и подобным конструкциям» , Журнал Американского института инженеров-электриков , том. 40, стр. 791–802, 1921.
• Ян, Вон Ю.; Ли, Сын К., Схемные системы с MATLAB и PSpice , Wiley 2008, ISBN   0470822406 .