Аналогия импеданса

Чтобы узнать о других значениях, см. Аналогия (значения) .

— Аналогия импеданса это метод представления механической системы аналогичной электрической системой. Преимущество этого состоит в том, что существует большой объем теории и методов анализа сложных электрических систем, особенно в области фильтров . Преобразовав в электрическое представление, эти инструменты в электрической области можно напрямую применить к механической системе без изменений. Еще одно преимущество возникает в электромеханических системах : преобразование механической части такой системы в электрическую область позволяет анализировать всю систему как единое целое.

Математическое поведение моделируемой электрической системы идентично математическому поведению представленной механической системы. Каждому элементу в электрической области соответствует элемент в механической области с аналогичным определяющим уравнением . Все законы анализа цепей , такие как законы цепей Кирхгофа , которые применяются в электрической области, также применимы и к аналогии с механическим импедансом.

Аналогия импеданса — одна из двух основных механо-электрических аналогий, используемых для представления механических систем в электрической области, вторая — аналогия подвижности . В этих двух методах роли напряжения и тока меняются местами, а получаемые электрические представления представляют собой двойные цепи друг друга. Аналогия с импедансом сохраняет аналогию между электрическим импедансом и механическим импедансом , тогда как аналогия с подвижностью - нет. С другой стороны, аналогия подвижности сохраняет топологию механической системы при переносе в электрическую область, тогда как аналогия импеданса этого не делает.

Приложения

Аналогия с импедансом широко используется для моделирования поведения механических фильтров . Это фильтры, которые предназначены для использования в электронных схемах, но работают исключительно за счет механических вибрационных волн. преобразователи для преобразования между электрическими и механическими областями. На входе и выходе фильтра предусмотрены

Другое очень распространенное применение — в области аудиооборудования, например, громкоговорителей. Громкоговорители состоят из преобразователя и механических движущихся частей. Акустические волны сами по себе являются волнами механического движения: молекул воздуха или какой-либо другой текучей среды. Одним из первых применений этого типа было существенное улучшение ужасных звуковых характеристик фонографов . В 1929 году Эдвард Нортон разработал механические части фонографа так, чтобы они вели себя как максимально плоский фильтр, тем самым предвосхитив электронный фильтр Баттерворта .

Элементы

Прежде чем можно будет разработать электрическую аналогию для механической системы, ее сначала необходимо описать как абстрактную механическую сеть . Механическая система разбивается на ряд идеальных элементов, каждый из которых затем можно соединить с электрическим аналогом. Символы, используемые для этих механических элементов на сетевых схемах, показаны в следующих разделах для каждого отдельного элемента.

Механические аналоги электрических элементов с сосредоточенными параметрами также представляют собой элементы с сосредоточенными параметрами , то есть предполагается, что механический компонент, обладающий элементом, достаточно мал, поэтому временем, затрачиваемым механическими волнами на распространение от одного конца компонента к другому, можно пренебречь. Аналогии также можно провести для распределенных элементов, таких как линии электропередачи , но наибольшие преимущества имеют схемы с сосредоточенными элементами. Механические аналогии необходимы для трех пассивных электрических элементов, а именно сопротивления , индуктивности и емкости . Каковы эти аналогии, определяется тем, какое механическое свойство выбрано для представления «усилия» (аналогия напряжения ) и свойства, выбранного для представления «потока» (аналогия тока) . В аналогии с импедансом переменная усилия — это сила , а переменная потока — скорость .

Сопротивление

Механический символ демпфера (слева) и его электрическая аналогия (справа). Этот символ призван напоминать приборную панель .

Механическая аналогия электрического сопротивления — это потеря энергии движущейся системой в результате таких процессов, как трение . Механический компонент, аналогичный резистору, является амортизатором , а свойством, аналогичным сопротивлению, является демпфирование . Резистор подчиняется основному уравнению закона Ома :

$$v=iR\,.$$

Аналогичное уравнение в механической области:

$$F=uR_{\mathrm {m} }\,,$$

где

• $R$ сопротивление;
• $v$ напряжение;
• $i$ является актуальным;
• $R_{m}$ – механическое сопротивление, или демпфирование;
• $F$ это сила; и
• $u$ - скорость, вызванная силой.

Электрическое сопротивление представляет собой действительную часть электрического импеданса . Аналогично, механическое сопротивление является реальной частью механического импеданса .

Индуктивность

Механический символ массы (слева) и его электрическая аналогия (справа). Квадратный угол под массой означает, что движение массы происходит относительно системы отсчета.

Механическая аналогия индуктивности в аналогии с импедансом — это масса . Механический компонент, аналогичный индуктору, представляет собой большой и жесткий груз. Индуктивность определяется определяющим уравнением:

$$v=L{\frac {di}{dt}}\,.$$

Аналогичным уравнением в механической области является второй закон движения Ньютона :

$$F=M{\frac {du}{dt}}\,,$$

где

• $L$ – индуктивность;
• $t$ это время; и
• $M$ является массовым.

Импеданс катушки индуктивности является чисто мнимым и определяется выражением:

$$Z=j\omega L\,.$$

Аналогичный механический импеданс определяется выражением:

$$Z_{\mathrm {m} }=j\omega M\,,$$

где

• $Z$ – электрический импеданс;
• $j$ – мнимая единица ;
• $\omega$ — угловая частота ; и
• $Z_{m}$ механический импеданс.

Емкость

Механический символ элемента жесткости (слева) и его электрический аналог (справа). Символ призван напоминать о весне.

Механическая аналогия емкости в аналогии с импедансом — это податливость. В механике чаще обсуждают жесткость , обратную податливости. Аналогией жесткости в электрической области является менее часто используемая эластичность , обратная емкости. Механическим компонентом, аналогичным конденсатору, является пружина . Конденсатор определяется определяющим уравнением:

$$v=D\int idt\,.$$

Аналогичное уравнение в механической области представляет собой форму закона Гука :

$$F=S\int udt\,,$$

где

• $D=1/C$ является эластичностью;
• $C$ — емкость; и
• $S$ это жесткость.

Импеданс конденсатора является чисто мнимым и определяется выражением:

$$Z={\frac {D}{j\omega }}\,.$$

Аналогичный механический импеданс определяется выражением:

$$Z_{\mathrm {m} }={\frac {S}{j\omega }}\,.$$

Альтернативно можно написать:

$$Z_{\mathrm {m} }={\frac {1}{j\omega C_{\mathrm {m} }}}\,,$$

где $C_{m}=1/S$ это механическое соответствие. Это более непосредственно аналогично электрическому выражению, когда используется емкость.

Резонатор

Механический резонатор состоит как из элемента массы, так и из элемента податливости. Механические резонаторы аналогичны электрическим LC-цепям, состоящим из индуктивности и емкости. Реальные механические компоненты неизбежно обладают как массой, так и податливостью, поэтому практически целесообразно изготавливать резонаторы как единый компонент. На самом деле, сложнее получить чистую массу или чистое соответствие как отдельный компонент. Пружину можно изготовить с определенной податливостью и минимизировать массу, или массу можно изготовить с минимальной податливостью, но ни то, ни другое нельзя исключить полностью. Механические резонаторы являются ключевым компонентом механических фильтров.

Генераторы

Механический символ генератора постоянной силы (слева) и его электрическая аналогия (справа).

Механический символ генератора постоянной скорости (слева) и его электрическая аналогия (справа).

Существуют аналоги активных электрических элементов источника напряжения и источника тока (генераторов). Механическим аналогом генератора постоянного напряжения в импедансной аналогии является генератор постоянной силы. Механическим аналогом генератора постоянного тока является генератор постоянной скорости.

Примером генератора постоянной силы является пружина постоянной силы . Это аналогично реальному источнику напряжения, такому как батарея, напряжение которого остается близким к постоянному при нагрузке, при условии, что сопротивление нагрузки намного превышает внутреннее сопротивление батареи. Примером практического генератора постоянной скорости является легконагруженная мощная машина, такая как двигатель , приводящий в движение ремень .

Датчики

Электромеханические системы требуют преобразователей для преобразования между электрической и механической областями. Они аналогичны двухпортовым сетям и, как и те, могут быть описаны парой одновременных уравнений и четырьмя произвольными параметрами. Существует множество возможных представлений, но форма, наиболее применимая к аналогии с импедансом, имеет произвольные параметры в единицах импеданса. В матричной форме (с электрической стороной, принимаемой за порт 1) это представление имеет вид:

$${\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}\,.$$

Элемент $z_{22}\,$ — это механический импеданс разомкнутой цепи, то есть импеданс, создаваемый механической стороной преобразователя, когда ток (разомкнутая цепь) не поступает на электрическую сторону. Элемент $z_{11}\,$, наоборот, представляет собой фиксированный электрический импеданс, то есть импеданс, действующий на электрическую сторону, когда механическая сторона зажимается и не может двигаться (скорость равна нулю). Остальные два элемента, $z_{21}\,$ и $z_{12}\,,$ опишите функции прямой и обратной передачи преобразователя соответственно. Оба они аналогичны передаточным сопротивлениям и представляют собой гибридные соотношения электрической и механической величин.

Трансформеры

Механическая аналогия трансформатора — это простая машина , такая как шкив или рычаг . Сила, приложенная к нагрузке, может быть больше или меньше входной силы в зависимости от того, больше или меньше единицы механическое преимущество машины соответственно. Механическое преимущество аналогично коэффициенту трансформации трансформатора в аналогии с импедансом. Механическое преимущество больше единицы аналогично повышающему трансформатору, а меньше единицы аналогично понижающему трансформатору.

Уравнения мощности и энергии

Таблица аналогичных уравнений мощности и энергии

Электрическое количество	Электрическое выражение	Механическая аналогия	Механическое выражение
Поставляемая энергия	${\textstyle E=\int vi\ dt}$	Поставляемая энергия	${\textstyle E=\int Fu\ dt}$
Подаваемая мощность	$P=vi$	Подаваемая мощность	$P=Fu$
Рассеяние мощности на резисторе	$P=i^{2}R={v^{2} \over R}$	Рассеяние мощности в демпфере	$P=u^{2}R_{\mathrm {m} }={F^{2} \over R_{\mathrm {m} }}$
Энергия, запасенная в магнитном поле индуктора	$E={\tfrac {1}{2}}Li^{2}$	Кинетическая энергия движущейся массы	$E={\tfrac {1}{2}}Mu^{2}$
Энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора	$E={\tfrac {1}{2}}Cv^{2}$	Потенциальная энергия, запасенная в пружине	$E={\tfrac {1}{2}}C_{\mathrm {m} }F^{2}$

Примеры

Простой резонансный контур

Простой механический резонатор (слева) и эквивалентная схема его импеданса (справа)

На рисунке показано механическое устройство платформы массой. $M$ подвешенный над подложкой с помощью пружины жесткости $S$ и демпфер сопротивления $R\,.$ Эквивалентная схема импедансной аналогии показана справа от этой схемы и состоит из последовательного резонансного контура . Эта система имеет резонансную частоту и может иметь собственную частоту колебаний, если не слишком сильно затухать.

Модель человеческого уха

Одна эквивалентная схема человеческого уха, использующая аналогию импеданса.

Анатомия уха.

  Коричневый — наружное ухо .

  Красный – среднее ухо .

  Фиолетовый — внутреннее ухо .

На принципиальной схеме показана модель человеческого уха, аналогия импеданса . За участком слухового прохода следует преобразователь, изображающий барабанную перепонку . Барабанная перепонка является преобразователем между акустическими волнами воздуха в ушном проходе и механическими вибрациями в костях среднего уха. В улитке происходит еще одна смена среды: от механических колебаний к жидкости, заполняющей улитку. Таким образом, этот пример демонстрирует силу электрических аналогий в объединении трех областей (акустической, механической и потока жидкости) в единое целое. Если бы нервные импульсы, поступающие в мозг, также были включены в модель, то электрический домен составил бы четыре домена, включенных в модель.

Улитковая часть схемы использует анализ методом конечных элементов непрерывной линии передачи улиткового канала. В идеальном представлении такой структуры использовались бы бесконечно малые элементы, и, следовательно, их было бы бесконечное количество. В этой модели улитка разделена на 350 секций, каждая секция моделируется с использованием небольшого количества сосредоточенных элементов.

Преимущества и недостатки

Основное преимущество аналогии импеданса перед ее альтернативой, аналогией подвижности , заключается в том, что она сохраняет аналогию между электрическим и механическим импедансом. То есть механический импеданс представлен как электрический импеданс, а механическое сопротивление представлено как электрическое сопротивление в электрической эквивалентной схеме. Также естественно думать о силе как о напряжении ( напряжение генератора часто называют электродвижущей силой ), а скорости как о токе. Именно эта базовая аналогия приводит к аналогии между электрическим и механическим импедансом.

Принципиальный недостаток аналогии с импедансом состоит в том, что она не сохраняет топологию механической системы. Элементы, включенные последовательно в механической системе, в электрической схеме замещения расположены параллельно, и наоборот.

Представление матрицы импеданса преобразователя преобразует силу в механической области в ток в электрической области. Аналогично, скорость в механической области преобразуется в напряжение в электрической области. Двухполюсное устройство, преобразующее напряжение в аналогичную величину, можно представить в виде простого трансформатора. Устройство, преобразующее напряжение в аналог двойственного свойства напряжения (то есть ток, аналогом которого является скорость), представлено в виде гиратора . Поскольку сила аналогична напряжению, а не току, на первый взгляд это может показаться недостатком. Однако многие практические преобразователи, особенно на звуковых частотах , работают за счет электромагнитной индукции и подчиняются именно такому соотношению. Например, сила, действующая на проводник с током, определяется выражением:

$$F=BIl\,,$$

где

• $B$ – плотность магнитного потока; и
• $l$ длина проводника.

История

Аналогию с импедансом иногда называют аналогией Максвелла. после Джеймса Клерка Максвелла (1831–1879), который использовал механические аналогии для объяснения своих идей об электромагнитных полях. Однако термин импеданс не был придуман до 1886 года ( Оливером Хевисайдом ). Идея комплексного импеданса была введена Артуром Э. Кеннелли в 1893 году, а концепция импеданса не распространялась на механическую область до 1920 года Кеннелли и Артуром Гордоном Вебстерами .

Анри Пуанкаре в 1907 году был первым, кто описал преобразователь как пару линейных алгебраических уравнений, связывающих электрические переменные (напряжение и ток) с механическими переменными (сила и скорость). Вегель в 1921 году был первым, кто выразил эти уравнения в терминах механического импеданса, а также электрического импеданса.

Библиография

• Беранек, Лео Лерой; Меллоу, Тим Дж., Акустика: звуковые поля и преобразователи , Academic Press, 2012 г. ISBN   0123914213 .
• Буш-Вишняк, Илен Дж., Электромеханические датчики и приводы , Springer Science & Business Media, 1999 г. ISBN   038798495X .
• Карр, Джозеф Дж., Радиочастотные компоненты и схемы , Newnes, 2002 г. ISBN   0-7506-4844-9 .
• Дарлингтон, С. «История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов» , IEEE Transactions on Circuits and Systems , vol. 31, нет. 1, стр. 3–13, 1984.
• Эргл, Джон, Справочник по громкоговорителям , Kluwer Academic Publishers, 2003 г. ISBN   1402075847 .
• Фукадзава, Тацуя; Танака, Ясуо, «Вызванная отоакустическая эмиссия в кохлеарной модели», стр. 191–196, Хоманн, Д. (редактор), ЭКоГ, ОАЭ и интраоперационный мониторинг: материалы Первой международной конференции, Вюрцбург, Германия, 20–24 сентября. , 1992 , Публикации Куглера, 1993 ISBN   9062990975 .
• Харрисон, Генри К. «Акустическое устройство», патент США № 1 730 425 , поданный 11 октября 1927 г. (и в Германии 21 октября 1923 г.), выдан 8 октября 1929 г.
• Хант, Фредерик В., Электроакустика: анализ трансдукции и ее историческая подоплека , издательство Гарвардского университета, 1954 г. ОСЛК   2042530 .
• Джексон, Роджер Г., Новые датчики и зондирование , CRC Press, 2004 г. ISBN   1420033808 .
• Кляйнер, Мендель, Электроакустика , CRC Press, 2013. ISBN   1439836183 .
• Мартинсен, Орьян Г.; Гримнес, Сверре, Основы биоимпеданса и биоэлектричества , Academic Press, 2011. ISBN   0080568807 .
• Пайк, Х.Дж., «Сверхпроводниковые акселерометры, преобразователи гравитационных волн и гравитационные градиентометры», стр. 569–598, в Вайнштоке, Гарольде, Датчики СКВИДа: основы, изготовление и применение , Springer Science & Business Media, 1996 г. ISBN   0792343506 .
• Пирс, Аллан Д., Акустика: введение в ее физические принципы и приложения , Акустическое общество Америки, 1989 г. ISBN   0883186128 .
• Пайпс, Луи А.; Харвилл, Лоуренс Р., Прикладная математика для инженеров и физиков , Courier Dover Publications, 2014 г. ISBN   0486779513 .
• Пуанкаре, Х., «Исследование телефонного приема», Eclairage Electrique , vol. 50, стр. 221–372, 1907.
• Стивенс, Раймонд Уильям Барроу; Бейт, А.Э., Акустика и колебательная физика , Эдвард Арнольд, 1966 г. OCLC   912579 .
• Талбот-Смит, Майкл, Справочник аудиоинженера , Тейлор и Фрэнсис, 2013 г. ISBN   1136119736 .
• Тейлор, Джон; Хуан, Цютин, Справочник CRC по электрическим фильтрам , CRC Press, 1997 г. ISBN   0849389518 .
• Вегель, Р.Л., «Теория магнитомеханических систем применительно к телефонным трубкам и подобным конструкциям», Журнал Американского института инженеров-электриков , том. 40, стр. 791–802, 1921.