Экспоненциальный тип

Информацию о экспоненциальных типах в теории типов и языках программирования см. в разделе Тип функции .

График функции, выделенный серым цветом, $e^{-\pi z^{2}}$, гауссиан ограничен действительной осью. Гауссова функция не имеет экспоненциального типа, но функции красного и синего цвета представляют собой односторонние приближения экспоненциального типа. $2\pi$.

В комплексном анализе , разделе математики , голоморфная функция называется экспоненциальной функцией типа C, если ее рост ограничен показательной функцией. $e^{C|z|}$ для некоторой действительной константы $C$ как $|z|\to \infty$. Когда функция ограничена таким образом, тогда можно выразить ее как определенные виды сходящегося суммирования над рядом других сложных функций, а также понять, когда можно применить такие методы, как суммирование Бореля или, например, , применить преобразование Меллина или выполнить аппроксимации с использованием формулы Эйлера–Маклорена . Общий случай рассматривается теоремой Нахбина , определяющей аналогичное понятие $\Psi$-тип для общей функции $\Psi (z)$ в отличие от $e^{z}$.

Основная идея

Функция $f(z)$ определенный на комплексной плоскости , называется экспоненциальным типом, если существуют действительные константы $M$ и $\tau$ такой, что

$\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq Me^{\tau r}$

в пределе $r\to \infty$. Здесь комплексная переменная $z$ было написано как $z=re^{i\theta }$ чтобы подчеркнуть, что предел должен соблюдаться во всех направлениях $\theta$. Сдача в аренду $\tau$ обозначать нижнюю границу всего такого $\tau$, тогда говорят, что функция $f$ имеет экспоненциальный тип $\tau$.

Например, пусть $f(z)=\sin(\pi z)$. Тогда один говорит, что $\sin(\pi z)$ имеет экспоненциальный тип $\pi$, с $\pi$ — наименьшее число, ограничивающее рост $\sin(\pi z)$ вдоль мнимой оси. Итак, для этого примера теорема Карлсона неприменима, так как для нее требуются функции экспоненциального типа меньше, чем $\pi$. Аналогично, формула Эйлера-Маклорена также не может быть применена, поскольку она также выражает теорему, в конечном итоге основанную на теории конечных разностей .

Формальное определение

Голоморфная функция $F(z)$ называется экспоненциальным типом $\sigma >0$ если для каждого $\varepsilon >0$ существует вещественная константа $A_{\varepsilon }$ такой, что

$|F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}$

для $|z|\to \infty$ где $z\in \mathbb {C}$.Мы говорим $F(z)$ имеет экспоненциальный тип, если $F(z)$ имеет экспоненциальный тип $\sigma$ для некоторых $\sigma >0$. Число

$\tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|$

это экспоненциальный тип $F(z)$. здесь Высший предел означает предел верхней границы отношения за пределами данного радиуса, когда радиус стремится к бесконечности. Это также предел, превышающий максимум отношения на данном радиусе, поскольку радиус стремится к бесконечности. Предельный предел может существовать, даже если максимум на радиусе $r$ не имеет предела, так как $r$ уходит в бесконечность. Например, для функции

$F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}$

ценность

$(\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r$

в $r=10^{n!-1}$ преобладает $n-1^{\text{st}}$ член, поэтому мы имеем асимптотические выражения:

${\begin{aligned}\left(\max _{|z|=10^{n!-1}}\log |F(z)|\right)/10^{n!-1}&\sim \left(\log {\frac {(10^{n!-1})^{10^{(n-1)!}}}{(10^{(n-1)!})!}}\right)/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)\left[(n!-1)10^{(n-1)!}-10^{(n-1)!}(n-1)!\right]/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)(n!-1-(n-1)!)/10^{n!-1-(n-1)!}\\\end{aligned}}$

и это стремится к нулю, поскольку $n$ уходит в бесконечность, но $F(z)$ тем не менее имеет экспоненциальный тип 1, как можно видеть, глядя на точки $z=10^{n!}$.

Экспоненциальный тип относительно симметричного выпуклого тела

Штейн (1957) дал обобщение экспоненциального типа для целых функций многих комплексных переменных . Предполагать $K$ является выпуклым , компактным и симметричным подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$. Известно, что для каждого такого $K$ есть соответствующая норма $\|\cdot \|_{K}$ с имуществом, которое

$K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.$

Другими словами, $K$ это единичный шар в $\mathbb {R} ^{n}$ относительно $\|\cdot \|_{K}$. Набор

$K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}x\in {K}\}$

называется полярным множеством и также является выпуклым , компактным и симметричным подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$. Кроме того, мы можем написать

$\|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.$

Мы расширяем $\|\cdot \|_{K}$ от $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {C} ^{n}$ к

$\|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.$

Целая функция $F(z)$ из $n$Говорят, что комплексные переменные имеют экспоненциальный тип по отношению к $K$ если для каждого $\varepsilon >0$ существует вещественная константа $A_{\varepsilon }$ такой, что

$|F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}$

для всех $z\in \mathbb {C} ^{n}$.

Пространство Фреше

Коллекции функций экспоненциального типа $\tau$ может образовывать полное равномерное пространство , а именно пространство Фреше , с помощью топологии, индуцированной счетным семейством норм

$\|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.$

См. также

• Теорема Пэли – Винера
• Пространство Пейли – Винера

Ссылки

• Штейн, EM (1957), "Функции экспоненциального типа", Ann. математики. , 2, 65 : 582–592, doi : 10.2307/1970066 , JSTOR   1970066 , MR   0085342