Квазианалитическая функция

В математике квазианалитический , класс функций — это обобщение класса действительных аналитических функций основанное на следующем факте: если f — аналитическая функция на интервале [ a , b ] ⊂ R , и в некоторой точке f и все его производные равны нулю, то f тождественно равен нулю на всех [ a , b ]. Квазианалитические классы — это более широкие классы функций, для которых это утверждение остается верным.

Определения

Позволять $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ быть последовательностью положительных действительных чисел. Тогда класс Данжуа-Карлемана функций C ^М ([ a , b ]) определяется как f ∈ C ^∞ ([ a , b ]), которые удовлетворяют

$\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}$

для всех x ∈ [ a , b ], некоторой константы A и всех неотрицательных целых чисел k . Если M _k = 1, это в точности класс вещественных аналитических функций на [ a , b ].

Класс С ^М ([ a , b ]) называется квазианалитическим, если всякий раз, когда f ∈ C ^М ([ а , б ]) и

${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

для некоторой точки x ∈ [ a , b ] и всех k то f тождественно равно нулю.

Функция f называется квазианалитической функцией, если f принадлежит некоторому квазианалитическому классу.

Квазианалитические функции многих переменных

Для функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ и мультииндексы $j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$, обозначаем $|j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}$, и

$D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}$

$j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!$

и

$x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.$

Затем $f$ называется квазианалитическим на открытом множестве $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ если для каждого компакта $K\subset U$ есть константа $A$ такой, что

$\left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}$

для всех мультииндексов $j\in \mathbb {N} ^{n}$ и все точки $x\in K$.

Класс Данжуа-Карлемана функций $n$ переменные относительно последовательности $M$ на съемочной площадке $U$ можно обозначить $C_{n}^{M}(U)$, хотя и других обозначений предостаточно.

Класс Данжуа-Карлемана $C_{n}^{M}(U)$ называется квазианалитической, если единственной функцией в ней, у которой все частные производные равны нулю в точке, является функция, тождественно равная нулю.

Функция нескольких переменных называется квазианалитической, если она принадлежит квазианалитическому классу Данжуа-Карлемана.

классы относительно логарифмически

В приведенных выше определениях можно предположить, что $M_{1}=1$ и что последовательность $M_{k}$ не убывает.

Последовательность $M_{k}$ называется логарифмически выпуклой , если

$M_{k+1}/M_{k}$ увеличивается.

Когда $M_{k}$ логарифмически выпукла, то $(M_{k})^{1/k}$ увеличивается и

$M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}$ для всех $(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}$.

Квазианалитический класс $C_{n}^{M}$ относительно логарифмически выпуклой последовательности $M$ удовлетворяет:

• $C_{n}^{M}$ это кольцо. В частности, он закрыт при умножении.
• $C_{n}^{M}$ закрыт по составу. В частности, если $f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}$ и $g\in C_{p}^{M}$, затем $g\circ f\in C_{n}^{M}$.

Теорема

Теорема Данжуа–Карлемана, доказанная Карлеманом (1926) после того, как Данжуа (1921) дал некоторые частичные результаты, дает критерии для последовательности M, при которых C ^М ([ a , b ]) — квазианалитический класс. В нем говорится, что следующие условия эквивалентны:

• С ^М ([ a , b ]) является квазианалитическим.
• $\sum 1/L_{j}=\infty$ где $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$.
• $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$, где M _j ^* — наибольшая логвыпуклая последовательность, ограниченная сверху M _j .
• $\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

Для доказательства эквивалентности двух последних условий второму используется неравенство Карлемана .

Пример: Денжуа (1921) указал, что если M _n задано одной из последовательностей

$1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,$

то соответствующий класс квазианалитический. Первая последовательность дает аналитические функции.

Дополнительные свойства

Для логарифмически выпуклой последовательности $M$ имеют место следующие свойства соответствующего класса функций:

• $C^{M}$ содержит аналитические функции и равна ей тогда и только тогда, когда $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
• Если $N$ представляет собой еще одну логарифмически выпуклую последовательность, причем $M_{j}\leq C^{j}N_{j}$ для некоторой константы $C$, затем $C^{M}\subset C^{N}$.
• $C^{M}$ устойчив при дифференцировании тогда и только тогда, когда $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$.
• Для любой бесконечно дифференцируемой функции $f$ существуют квазианалитические кольца $C^{M}$ и $C^{N}$ и элементы $g\in C^{M}$, и $h\in C^{N}$, такой, что $f=g+h$.

Дивизия Вейерштрасса

Функция $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ говорят, что это регулярный порядок $d$ относительно $x_{n}$ если $g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}$ и $h(0)\neq 0$. Данный $g$ регулярный заказ $d$ относительно $x_{n}$, кольцо $A_{n}$ реальных или сложных функций $n$ Говорят, что переменные удовлетворяют разделению Вейерштрасса относительно $g$ если для каждого $f\in A_{n}$ есть $q\in A$, и $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ такой, что

$f=gq+h$ с $h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}$.

Хотя кольцо аналитических функций и кольцо формальных степенных рядов удовлетворяют свойству деления Вейерштрасса, это не относится к другим квазианалитическим классам.

Если $M$ логарифмически выпукла и $C^{M}$ не равно классу аналитической функции, то $C^{M}$ не удовлетворяет свойству деления Вейерштрасса относительно $g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}$.

Ссылки

• Карлеман, Т. (1926), Квазианалитические функции , Готье-Виллар
• Коэн, Пол Дж. (1968), «Простое доказательство теоремы Данжуа-Карлемана», The American Mathematical Monthly , 75 (1), Mathematical Association of America: 26–31, doi : 10.2307/2315100 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2315100 , МР   0225957
• Данжуа, А. (1921), “О квазианалитических функциях действительных переменных”, CR Acad. наук. Париж , 173 : 1329–1331 .
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Леонтьев, А. Ф. (2001) [1994], «Квазианалитический класс» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Теорема Карлемана» , Энциклопедия Математики , EMS Press