Суперфакториал

В математике , а точнее в теории чисел , суперфакториал положительного целого числа. $n$ является продуктом первого $n$ факториалы . Они являются частным случаем чисел Жордана–Пойа , которые являются произведениями произвольных наборов факториалов.

Определение

The $n$суперфакториал ${\mathit {sf}}(n)$ может быть определен как: $${\begin{aligned}{\mathit {sf}}(n)&=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=\prod _{i=1}^{n}i!=n!\cdot {\mathit {sf}}(n-1)\\&=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \cdots n=\prod _{i=1}^{n}i^{n+1-i}.\\\end{aligned}}$$Следуя обычному соглашению для пустого произведения , суперфакториал 0 равен 1. Последовательность суперфакториалов, начинающаяся с ${\mathit {sf}}(0)=1$, является:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, ... (последовательность A000178 в OEIS )

Характеристики

Точно так же, как факториалы могут непрерывно интерполироваться с помощью гамма-функции , суперфакториалы могут непрерывно интерполироваться с помощью G-функции Барнса .

Согласно аналогу теоремы Вильсона о поведении факториалов по модулю простых чисел, когда $p$ это нечетное простое число $${\mathit {sf}}(p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}},$$где $!!$ это обозначение двойного факториала .

Для каждого целого числа $k$, число ${\mathit {sf}}(4k)/(2k)!$ это квадратное число . Это можно выразить следующим образом: в формуле для ${\mathit {sf}}(4k)$ как произведение факториалов, опуская один из факториалов (средний, $(2k)!$) дает квадратное произведение. Кроме того, если таковые имеются $n+1$ даны целые числа, произведение их попарных разностей всегда кратно ${\mathit {sf}}(n)$и равен суперфакториалу, если данные числа являются последовательными.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Суперфакториал» , MathWorld