Дайте им высохнуть

Функции exsecant и versine заменяют выражения exsec x = sec x - 1 и vers x = 1 - sec x , которые часто встречаются в некоторых приложениях.

Названия экссеканс, версина, хорда и т. д. также могут применяться к отрезкам линий, связанным с дугой окружности. Длина каждого сегмента равна произведению радиуса на соответствующую тригонометрическую функцию угла.

Внешняя секущая функция ( exsecant , обозначаемая exsec ) — это тригонометрическая функция , определенная в терминах секущей функции:

$$\operatorname {exsec} \theta =\sec \theta -1={\frac {1}{\cos \theta }}-1.$$

Она была введена в 1855 году американским инженером-строителем Чарльзом Хаслеттом , который использовал ее в сочетании с существующей функцией версины , $\operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta ,$ для проектирования и измерения кольцевых участков железнодорожного пути. Он был принят геодезистами и инженерами-строителями в Соединенных Штатах для проектирования железных и автомобильных дорог , а с начала 20 века иногда кратко упоминался в американских учебниках по тригонометрии и инженерных руководствах общего назначения. Для полноты картины в нескольких книгах также определена соэкссекансная или экскосекансная функция (обозначаемая как coexsec или excsc ), $\operatorname {coexsec} \theta ={}$$\csc \theta -1,$ экссеканс дополнительного угла , хотя на практике он не использовался. Хотя эксекант иногда находил и другие применения, сегодня он малоизвестен и представляет в основном исторический интерес.

Как отрезок , внешняя секущая окружности имеет одну конечную точку на окружности , а затем простирается радиально наружу. Длина этого сегмента равна радиусу окружности, умноженному на тригонометрический экссеканс центрального угла между внутренней конечной точкой сегмента и точкой касания линии, проходящей через внешнюю конечную точку и касательной к окружности.

Этимология

Слово секанс происходит от латинского слова «разрезать», а общая секущая линия «разрезает» круг, пересекая его дважды; эта концепция восходит к древности и может быть найдена в Книге 3 « » Евклида Начал , как она используется, например, в теореме о пересекающихся секущих . Источники XVIII века на латыни называли любой некасательный внешним отрезок, внешний по отношению к кругу, с одной конечной точкой на окружности, секансом .

Тригонометрический секанс , названный Томасом Финке (1583), более конкретно основан на отрезке прямой с одной конечной точкой в ​​центре круга, а другой конечной точкой вне круга; окружность делит этот отрезок на радиус и внешнюю секущую. Внешний секущий отрезок использовался Галилео Галилеем (1632) под названием секущий .

История и приложения

В 19 веке большинство железнодорожных путей были построены в виде дуг окружностей , называемых простыми кривыми . Геодезистам и инженерам-строителям , работающим на железной дороге, приходилось выполнять множество повторяющихся тригонометрических расчетов для измерения и планирования круговых участков пути. В геодезии и вообще в практической геометрии таблицы как «натуральных» тригонометрических функций, так и их обыкновенных логарифмов использовались , в зависимости от конкретного расчета. Использование логарифмов преобразует дорогостоящее умножение многозначных чисел в более дешевое сложение, а логарифмические версии тригонометрических таблиц дополнительно экономят трудозатраты за счет сокращения количества необходимых поисков в таблицах.

Внешняя секущая или внешнее расстояние криволинейного участка пути - это кратчайшее расстояние между путем и пересечением касательных линий от концов дуги, которое равно радиусу, умноженному на тригонометрический экссеканс половины центрального угла , образуемого дугой. $R\operatorname {exsec} {\tfrac {1}{2}}\Delta .$ Для сравнения: перевернутый синус изогнутого участка пути — это самое дальнее расстояние от длинной хорды (отрезка линии между конечными точками) до пути. – см. Стрела - равна произведению радиуса на тригонометрическую версину половины центрального угла, $R\operatorname {vers} {\tfrac {1}{2}}\Delta .$Это естественные величины, которые можно измерить или вычислить при съемке дуг окружности, которые впоследствии необходимо умножить или разделить на другие величины. Чарльз Хаслетт (1855) обнаружил, что прямой поиск логарифма экссеканса и версуса экономит значительные усилия и дает более точные результаты по сравнению с расчетом той же величины на основе значений, найденных в ранее доступных тригонометрических таблицах. Эту же идею переняли и другие авторы, например Сирлз (1880). К 1913 году подход Хаслетта был настолько широко принят в американской железнодорожной отрасли, что в этом контексте «таблицы внешних секущих и разнесенных синусов [были] более распространены, чем [были] таблицы секущих».

В конце 19-го и 20-го веков железные дороги начали использовать дуги спирали Эйлера в качестве кривой перехода путей между прямыми или круговыми участками различной кривизны. Эти спиральные кривые можно приблизительно рассчитать с помощью эксекансов и версинов.

Решение аналогичных задач требуется при обследовании кольцевых участков каналов. и дороги, а эксекант до сих пор использовался в книгах середины 20 века о съемке дорог.

Эксекант иногда использовался для других приложений, таких как теория пучков. и глубинное зондирование с помощью проволоки.

В последние годы появление калькуляторов и компьютеров устранило необходимость в тригонометрических таблицах со специальными функциями, подобных этой. Exsecant обычно не встроен непосредственно в калькуляторы или вычислительные среды (хотя иногда его включают в библиотеки программного обеспечения ). и расчеты в целом стали намного дешевле, чем раньше, и больше не требуют утомительного ручного труда.

Катастрофическое сокращение для малых углов

Наивная оценка выражений $1-\cos \theta$ (версия) и $\sec \theta -1$ (экссеканс) проблематичен для малых углов, где $\sec \theta \approx \cos \theta \approx 1.$ Вычисление разницы между двумя примерно равными величинами приводит к катастрофическому сокращению : поскольку большинство цифр каждой величины одинаковы, они сокращаются при вычитании, что дает результат с меньшей точностью.

Например, секанс 1° равен sec 1° ≈ 1,000 152 , при этом несколько ведущих цифр теряются на нули, а десятичный логарифм экссеканса 1° равен log exsec 1° ≈ −3.817 220 , все цифры которого имеют смысл. Если логарифм эксеканса вычисляется путем поиска секущего в шестизначной тригонометрической таблице и последующего вычитания 1 , то разница sec 1° − 1 ≈ 0,000 152 имеет только 3 значащие цифры , и после вычисления логарифма верны только три цифры, log(sec 1° − 1) ≈ −3.81 8 156 . Для еще меньших углов потеря точности еще хуже.

Если табличная или компьютерная реализация экссеканса недоступна, экссеканс можно точно вычислить как ${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\tan \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta {\vphantom {\Big |}},}$ или используя стих, ${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\operatorname {vers} \theta \,\sec \theta ,}$ который сам по себе может быть вычислен как ${\textstyle \operatorname {vers} \theta =2{\bigl (}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}{\vphantom {\Big |}}={}}$ $\sin \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta \,{\vphantom {\Big |}}$; Хаслетт использовал эти тождества для вычисления своих эксекантных и стихотворных таблиц 1855 года.

Для достаточно малого угла дуга окружности имеет форму приблизительно параболы , а версуса и экссеканс примерно равны друг другу и пропорциональны квадрату длины дуги.

Математические тождества

Обратная функция

Обратная как экссекансная функция, которую можно обозначить arcexsec , корректно определено, если $y\geq 0$ или $y\leq -2$ и может быть выражен через другие обратные тригонометрические функции (с использованием радианов для угла):

$$\operatorname {arcexsec} y=\operatorname {arcsec}(y+1)={\begin{cases}{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{if}}\ \ y\geq 0,\\[6mu]{\text{undefined}}&{\text{if}}\ \ {-2}<y<0,\\[4mu]\pi -{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{if}}\ \ y\leq {-2};\\\end{cases}}_{\vphantom {.}}$$

выражение арктангенса хорошо работает для малых углов.

Исчисление

Хотя историческое использование экссеканса явно не включало исчисление , его производная и первообразная (для x в радианах):

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {exsec} x&=\tan x\,\sec x,\\[10mu]\int \operatorname {exsec} x\,\mathrm {d} x&=\ln {\bigl (}{\cos {\tfrac {1}{2}}x+\sin {\tfrac {1}{2}}x}{\bigr )}-\ln {\bigl (}{\cos {\tfrac {1}{2}}x-\sin {\tfrac {1}{2}}x}{\bigr )}-x+C.{\vphantom {\int _{|}}}\end{aligned}}$$

Идентичность двойного угла

Экссеканс удвоенного угла равен:

$$\operatorname {exsec} 2\theta ={\frac {2\sin ^{2}\theta }{1-2\sin ^{2}\theta }}.$$

См. также

• Хорда (геометрия) - отрезок прямой с конечными точками на окружности, исторически используемый в тригонометрии.
• Экспонента минус 1 – Функция $x\mapsto e^{x}-1,$ также используется для повышения точности при небольших входных данных