Дайте им высохнуть

Функции exsecant и versine заменяют выражения exsec x = sec x - 1 и vers x = 1 - sec x , которые часто встречаются в некоторых приложениях.

Названия экссеканс, версина, хорда и т. д. также могут применяться к отрезкам линий, связанным с дугой окружности. Длина каждого сегмента равна произведению радиуса на соответствующую тригонометрическую функцию угла.

Внешняя секущая функция ( exsecant , обозначенная exsec ) — это тригонометрическая функция , определенная в терминах секущей функции:

$$\operatorname {exsec} \theta =\sec \theta -1={\frac {1}{\cos \theta }}-1.$$

Она была введена в 1855 году американским инженером-строителем Чарльзом Хаслеттом , который использовал ее в сочетании с существующей функцией версины , $\operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta ,$ для проектирования и измерения кольцевых участков железнодорожного пути. Он был принят геодезистами и инженерами-строителями в США при проектировании железных и автомобильных дорог , а с начала 20 века иногда кратко упоминался в американских учебниках по тригонометрии и инженерных руководствах общего назначения. Для полноты картины в нескольких книгах также определена соэкссекансная или экскосекансная функция (обозначаемая как coexsec или excsc ), $\operatorname {coexsec} \theta ={}$$\csc \theta -1,$ экссеканс дополнительного угла , хотя на практике он не использовался. Хотя эксекант иногда находил и другие применения, сегодня он малоизвестен и представляет в основном исторический интерес.

Как отрезок , внешняя секущая окружности . имеет одну конечную точку на окружности, а затем простирается радиально наружу Длина этого сегмента равна радиусу окружности, умноженному на тригонометрический экссеканс центрального угла между внутренней конечной точкой сегмента и точкой касания линии, проходящей через внешнюю конечную точку и касательной к окружности.

Этимология

Слово секущая происходит от латинского слова «разрезать», а общая секущая линия «разрезает» круг, пересекая его дважды; эта концепция восходит к древности и может быть найдена в Книге 3 » Евклида «Начал , как она используется, например, в теореме о пересекающихся секущих . В источниках XVIII века на латыни внешним любой некасательный назывался отрезок, внешний по отношению к кругу, с одной конечной точкой на окружности, секансом .

Тригонометрический секанс , названный Томасом Финке (1583), более конкретно основан на отрезке прямой с одной конечной точкой в ​​центре круга, а другой конечной точкой вне круга; окружность делит этот отрезок на радиус и внешнюю секущую. Внешний секущий отрезок использовался Галилео Галилеем (1632) под названием секущий .

История и приложения

В 19 веке большинство железнодорожных путей были построены в виде дуг окружностей , называемых простыми кривыми . Геодезистам и инженерам-строителям, работающим на железной дороге, приходилось выполнять множество повторяющихся тригонометрических расчетов для измерения и планирования круговых участков пути. В геодезии и вообще в практической геометрии таблицы как «натуральных» тригонометрических функций, так и их обыкновенных логарифмов использовались , в зависимости от конкретного расчета. Использование логарифмов преобразует дорогостоящее умножение многозначных чисел в более дешевое сложение, а логарифмические версии тригонометрических таблиц дополнительно экономят трудозатраты за счет сокращения количества необходимых поисков в таблицах.

Внешняя секущая или внешнее расстояние изогнутого участка пути - это кратчайшее расстояние между путем и пересечением касательных линий от концов дуги, которое равно радиусу, умноженному на тригонометрический экссеканс половины центрального угла , образуемого дугой. $R\operatorname {exsec} {\tfrac {1}{2}}\Delta .$ Для сравнения: перевернутый синус изогнутого участка пути — это самое дальнее расстояние от длинной хорды (отрезка линии между конечными точками) до пути. – см. Стрелец – равна произведению радиуса на тригонометрическую версину половины центрального угла, $R\operatorname {vers} {\tfrac {1}{2}}\Delta .$ Обе эти величины являются естественными величинами для измерения или расчета при съемке дуг окружности, которые впоследствии необходимо умножить или разделить на другие величины. Чарльз Хаслетт (1855) обнаружил, что прямой поиск логарифма экссеканса и версуса экономит значительные усилия и дает более точные результаты по сравнению с расчетом той же величины на основе значений, найденных в ранее доступных тригонометрических таблицах. Эту же идею переняли и другие авторы, например Сирлз (1880). К 1913 году подход Хаслетта был настолько широко принят в американской железнодорожной отрасли, что в этом контексте «таблицы внешних секущих и разнесенных синусов [были] более распространены, чем [были] таблицы секущих».

В конце 19-го и 20-го веков железные дороги начали использовать дуги спирали Эйлера в качестве кривой перехода путей между прямыми или круговыми участками различной кривизны. Эти спиральные кривые можно приблизительно рассчитать с помощью эксекансов и версинов.

Решение аналогичных задач требуется при обследовании кольцевых участков каналов. и дороги, а эксекант до сих пор использовался в книгах середины 20 века о съемке дорог.

Эксекант иногда использовался для других приложений, таких как теория пучков. и глубинное зондирование с помощью проволоки.

В последние годы появление калькуляторов и компьютеров устранило необходимость в тригонометрических таблицах со специальными функциями, подобных этой. Exsecant обычно не встроен непосредственно в калькуляторы или вычислительные среды (хотя иногда его включают в библиотеки программного обеспечения ). и расчеты в целом стали намного дешевле, чем раньше, и больше не требуют утомительного ручного труда.

Катастрофическое сокращение для малых углов

Наивная оценка выражений $1-\cos \theta$ (версия) и $\sec \theta -1$ (экссеканс) проблематичен для малых углов, где $\sec \theta \approx \cos \theta \approx 1.$ Вычисление разницы между двумя примерно равными величинами приводит к катастрофическому сокращению : поскольку большинство цифр каждой величины одинаковы, они сокращаются при вычитании, что дает результат с меньшей точностью.

Например, секанс 1° равен sec 1° ≈ 1,000 152 , при этом несколько ведущих цифр тратятся на нули, а десятичный логарифм экссеканса 1° равен log exsec 1° ≈ −3.817 220 , все цифры которого имеют смысл. Если логарифм эксеканса вычисляется путем поиска секущего в шестизначной тригонометрической таблице и последующего вычитания 1 , то разница sec 1° − 1 ≈ 0,000 152 имеет только 3 значащие цифры , и после вычисления логарифма правильными являются только три цифры, log(sec 1° − 1) ≈ −3.81 8 156 . Для еще меньших углов потеря точности еще хуже.

Если табличная или компьютерная реализация экссекансной функции недоступна, экссеканс можно точно вычислить как ${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\tan \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta {\vphantom {\Big |}},}$ или используя его версию, ${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\operatorname {vers} \theta \,\sec \theta ,}$ который сам по себе может быть вычислен как ${\textstyle \operatorname {vers} \theta =2{\bigl (}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}{\vphantom {\Big |}}={}}$ $\sin \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta \,{\vphantom {\Big |}}$; Хаслетт использовал эти тождества для вычисления своих эксекантных и стихотворных таблиц 1855 года.

Для достаточно малого угла дуга окружности имеет форму примерно параболы , а версуса и экссеканс примерно равны друг другу и пропорциональны квадрату длины дуги.

Математические тождества

Обратная функция

Обратная как экссекансная функция, которую можно обозначить arcexsec , корректно определено, если $y\geq 0$ или $y\leq -2$ и может быть выражен через другие обратные тригонометрические функции (с использованием радианов для угла):

$$\operatorname {arcexsec} y=\operatorname {arcsec}(y+1)={\begin{cases}{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{if}}\ \ y\geq 0,\\[6mu]{\text{undefined}}&{\text{if}}\ \ {-2}<y<0,\\[4mu]\pi -{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{if}}\ \ y\leq {-2};\\\end{cases}}_{\vphantom {.}}$$

выражение арктангенса хорошо работает для малых углов.

Исчисление

Хотя историческое использование экссеканса явно не включало исчисление , его производная и первообразная (для x в радианах):

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {exsec} x&=\tan x\,\sec x,\\[10mu]\int \operatorname {exsec} x\,\mathrm {d} x&=\ln {\bigl (}{\cos {\tfrac {1}{2}}x+\sin {\tfrac {1}{2}}x}{\bigr )}-\ln {\bigl (}{\cos {\tfrac {1}{2}}x-\sin {\tfrac {1}{2}}x}{\bigr )}-x+C.{\vphantom {\int _{|}}}\end{aligned}}$$

Идентичность двойного угла

Экссеканс удвоенного угла равен:

$$\operatorname {exsec} 2\theta ={\frac {2\sin ^{2}\theta }{1-2\sin ^{2}\theta }}.$$

См. также

• Хорда (геометрия) - отрезок прямой с конечными точками на окружности, исторически используемый в тригонометрии.
• Экспонента минус 1 – Функция $x\mapsto e^{x}-1,$ также используется для повышения точности при небольших входных данных