Значительные цифры

Значащие цифры , также называемые значащими цифрами или значащими цифрами , представляют собой определенные цифры внутри числа, записанные в позиционной записи , которые несут как надежность, так и необходимость передачи определенного количества. только количество цифр в пределах разрешения . При представлении результатов измерения (например, длины, давления, объема или массы), если количество цифр превышает то, что может разрешить измерительный прибор, надежным и, следовательно, считается значимым .

Например, если измерение длины дает 114,8 мм с использованием линейки с наименьшим интервалом между отметками в 1 мм, первые три цифры (1, 1 и 4, обозначающие 114 мм) являются точными и представляют собой значащие цифры. Кроме того, в значащие цифры также включаются неопределенные, но значимые цифры. В этом примере последняя цифра (8, что составляет 0,8 мм) также считается значимой, несмотря на ее неопределенность. ^[1] Таким образом, это измерение содержит четыре значащие цифры.

Другой пример включает измерение объема 2,98 л с погрешностью ± 0,05 л. Фактический объем находится в диапазоне от 2,93 л до 3,03 л. Даже если некоторые цифры не известны полностью, они все равно имеют значение, если они имеют смысл, поскольку они указывают на фактический объем в пределах приемлемого диапазона неопределенности. В этом случае фактический объем может составлять 2,94 л или, возможно, 3,02 л, поэтому все три цифры считаются значащими. ^[1] Таким образом, в этом примере есть три значимые цифры.

Следующие типы цифр не считаются значимыми: ^[2]

Ведущие нули . Например, 013 кг имеет две значащие цифры — 1 и 3, а ведущий ноль не имеет значения, поскольку не влияет на указание массы; 013 кг эквивалентно 13 кг, поэтому ноль не нужен. Аналогично, в случае 0,056 м имеются два незначительных ведущих нуля, поскольку 0,056 м равно 56 мм, поэтому ведущие нули не влияют на указание длины.
Завершающие нули, когда они служат заполнителями. При измерении 1500 м, когда разрешение измерения составляет 100 м, конечные нули не имеют значения, поскольку они просто обозначают десятки и единицы. В данном случае 1500 м означает, что длина составляет примерно 1500 м, а не точное значение 1500 м.
Ложные цифры, возникающие в результате расчетов, приводящих к более высокой точности, чем исходные данные, или результаты измерений, сообщаемые с большей точностью, чем разрешение прибора.

Ноль после десятичной дроби (например, 1,0) является значимым, поэтому следует соблюдать осторожность при добавлении такого десятичного нуля. Таким образом, в случае 1,0 имеются две значащие цифры, тогда как 1 (без десятичной дроби) имеет одну значащую цифру.

Среди значащих цифр числа наиболее значимой цифрой является цифра с наибольшим значением показателя степени (самая левая значащая цифра/цифра), а наименее значащей цифрой является цифра с наименьшим значением показателя степени (самая правая значащая цифра/цифра). Например, в числе «123» «1» — старшая цифра, обозначающая сотни (10). ²), а «3» — младшая значащая цифра, обозначающая единицы (10 ⁰).

Чтобы избежать введения в заблуждение уровня точности, числа часто округляются . Например, привело бы к ложной точности представление измерения как 12,34525 кг , если измерительный прибор обеспечивает точность только до ближайшего грамма (0,001 кг). В этом случае значащими цифрами являются первые пять цифр (1, 2, 3, 4 и 5) от крайней левой цифры, и число следует округлить до этих значащих цифр, в результате чего точным значением будет 12,345 кг. Ошибка округления (в этом примере 0,00025 кг = 0,25 г) приблизительно соответствует численному разрешению или точности. Числа также могут быть округлены для простоты, не обязательно для указания точности измерений, например, для удобства в новостных передачах.

Арифметика значимости включает в себя набор приблизительных правил для сохранения значимости посредством вычислений. Более продвинутые научные правила известны как распространение неопределенности .

система счисления В дальнейшем предполагается 10 (основание 10, десятичные числа). (См . последний раздел, посвященный распространению этих концепций на другие основы. )

Выявление значимых цифр

Правила выделения значащих цифр в числе

Цифры, выделенные голубым цветом, обозначают значащие цифры; те, что в черном, нет.

Для идентификации значащих цифр в числе необходимо знать, какие цифры имеют значение, а для этого необходимо знать разрешение, с которым число измеряется, получается или обрабатывается. Например, если наименьшая измеримая масса равна 0,001 г, то при измерении, заданном как 0,00234 г, цифра «4» бесполезна и ее следует отбросить, тогда как «3» полезна и ее часто следует сохранять. ^[3]

Ненулевые цифры в пределах данного разрешения измерения или отчета являются значимыми .
- 91 имеет две значащие цифры (9 и 1), если они являются цифрами, разрешенными для измерения.
- 123,45 имеет пять значащих цифр (1, 2, 3, 4 и 5), если они находятся в пределах разрешения измерения. Если разрешение, скажем, 0,1, то цифра 5 показывает, что истинное значение для 4-значных цифр с равной вероятностью будет 123,4 или 123,5.
Нули между двумя значащими ненулевыми цифрами являются значащими ( значащие захваченные нули) .
- 101.12003 состоит из восьми значащих цифр, если разрешение равно 0,00001.
- 125,340006 имеет семь значащих цифр, если разрешение равно 0,0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0 и 0.
Нули слева от первой ненулевой цифры ( ведущие нули ) не имеют значения .
- Если измерение длины дает 0,052 км, то 0,052 км = 52 м, поэтому 5 и 2 имеют только значение; ведущие нули появляются или исчезают в зависимости от того, какая единица измерения используется, поэтому для обозначения шкалы измерения они не нужны.
- 0,00034 имеет две значащие цифры (3 и 4), если разрешение равно 0,00001.
Нули справа от последней ненулевой цифры ( конечные нули ) в числе с десятичной точкой являются значимыми, если они находятся в пределах разрешения измерения или отчета.
- 1,200 имеет четыре значащие цифры (1, 2, 0 и 0), если они разрешены разрешением измерения.
- 0,0980 имеет три значащие цифры (9, 8 и последний ноль), если они находятся в пределах разрешения измерения.
- 120.000 состоит из шести значащих цифр (1, 2 и четырех последующих нулей), если они, как и раньше, находятся в пределах разрешения измерения.
Конечные нули в целом числе могут иметь или не иметь значения , в зависимости от разрешения измерения или отчета.
- Число 45 600 имеет 3, 4 или 5 значащих цифр в зависимости от того, как используются последние нули. Например, если длина дороги указана как 45 600 м без информации о разрешении отчета или измерения, то неясно, точно ли измерена длина дороги как 45 600 м или это приблизительная оценка. Если это приблизительная оценка, то только первые три ненулевые цифры имеют значение, поскольку конечные нули не являются ни надежными, ни необходимыми; 45600 м можно выразить как 45,6 км или как 4,56×10. ⁴ m в экспоненциальной записи , и ни одно из выражений не требует конечных нулей.
Точное число имеет бесконечное количество значащих цифр.
- Если количество яблок в мешке 4 (точное число), то это число равно 4,0000... (с бесконечными конечными нулями справа от десятичной точки). В результате число 4 не влияет на количество значащих цифр или цифр в результатах вычислений с ним.
Математическая или физическая константа имеет значащие цифры помимо известных цифр.
- π — конкретное действительное число с несколькими эквивалентными определениями. Все цифры в точном десятичном представлении 3,14159265358979323... значимы. Хотя многие свойства этих цифр известны — например, они не повторяются, поскольку π иррационально, — известны не все цифры. По состоянию на март 2024 года более 102 триллионов цифр ^[4] были рассчитаны. Приближение, состоящее из 102 триллионов цифр, имеет 102 триллиона значащих цифр. В практических приложениях используется гораздо меньше цифр. Бытовое приближение 3.14 имеет три значащие цифры и семь правильных двоичных цифр. Приближение 22/7 имеет те же три правильных десятичных цифры, но содержит 10 правильных двоичных цифр. Большинство калькуляторов и компьютерных программ могут обрабатывать 16-значное расширение 3.141592653589793, которого достаточно для расчетов межпланетной навигации. ^[5]
- Планка Постоянная $h=6.62607015\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s}$ и определяется как точное значение, поэтому его правильнее определить как $h=6.62607015(0)\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s}$ . ^[6]

Способы обозначения значащих цифр в целом числе с конечными нулями

Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (просто случайно оно оказывается кратным сотне) или оно показано только с точностью до сотен из-за округления или неопределенности. Существует множество конвенций для решения этой проблемы. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:

, надстрочная черта иногда также называемая перечеркнутой чертой или, менее точно, винкулумом ; Над последней значащей цифрой может быть помещена любые конечные нули после этого не имеют значения. Например, 13 0 0 состоит из трех значащих цифр (и, следовательно, указывает, что число указано с точностью до десяти).

последняя значащая цифра числа Реже, используя тесно связанное соглашение, может быть подчеркнута ; например, «1 3 00» имеет две значащие цифры.

После числа может быть поставлена десятичная точка; например «1300». указывает, в частности, что конечные нули считаются значимыми. ^[7]

Поскольку приведенные выше соглашения не широко используются, доступны следующие более широко распространенные варианты для указания значения числа с конечными нулями:

Устраните неоднозначные или незначащие нули, изменив префикс единицы в числе измерения . Например, точность измерения, указанная как 1300 г, является неоднозначной, а если указана как 1,30 кг, то это не так. Аналогично 0,0123 л можно переписать как 12,3 мл.

Устраните неоднозначные или незначащие нули, используя экспоненциальную запись: например, 1300 с тремя значащими цифрами становится 1,30 × 10. ³. Аналогично 0,0123 можно переписать как 1,23 × 10. ⁻². Часть представления, содержащая значащие цифры (1,30 или 1,23), известна как мантисса или мантисса. Цифры в основании и показателе степени ( 10 ³ или 10 ⁻²) считаются точными числами, поэтому для этих цифр значащие цифры не имеют значения.

Явно укажите количество значащих цифр (иногда используется сокращение SF): Например, «от 20 000 до 2 SF» или «20 000 (2 SF)».

Укажите ожидаемую изменчивость (точность) явно со знаком плюс-минус , например, 20 000 ± 1%. Это также позволяет указать диапазон точности между степенями десяти.

Округление до значащих цифр

Округление до значащих цифр является более универсальным методом, чем округление до n цифр, поскольку оно одинаково обрабатывает числа разных масштабов. Например, население города может быть известно только с точностью до тысячи и указано как 52 000, тогда как население страны может быть известно только с точностью до миллиона и указано как 52 000 000. Первый может ошибаться на сотни, а второй на сотни тысяч, но оба имеют две значащие цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки в обоих случаях одинакова в зависимости от величины измеряемой величины.

Чтобы округлить число до n значащих цифр: ^[8]^[9]

Если цифра n + 1 больше 5 или равна 5, за которой следуют другие ненулевые цифры, прибавьте 1 к цифре n . Например, если мы хотим округлить 1,2459 до 3 значащих цифр, то результат этого шага составит 1,25.
Если цифра n + 1 равна 5, за которой не следуют другие цифры или за ней следуют только нули, то для округления требуется правило разрешения конфликтов . Например, чтобы округлить 1,25 до 2 значащих цифр:
- Круглая половина от нуля (также известная как «5/4») ^{[ нужна ссылка ]} округляет до 1,3. Это метод округления по умолчанию, используемый во многих дисциплинах. ^{[ нужна ссылка ]} если не указан необходимый метод округления.
- Округлите половину до четного , что приведет к округлению до ближайшего четного числа. При использовании этого метода 1,25 округляется до 1,2. Если этот метод применим к 1,35, то он округляется до 1,4. Это метод, который предпочитают многие научные дисциплины, потому что, например, он позволяет избежать смещения среднего значения длинного списка значений вверх.
Для целого числа при округлении замените цифры после цифры n нулями. Например, если 1254 округляется до 2 значащих цифр, то 5 и 4 заменяются на 0, и получается 1300. Для числа с десятичной точкой при округлении удалите цифры после цифры n . Например, если 14,895 округлить до 3 значащих цифр, то цифры после 8 удаляются, и получится 14,9.

В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков. Например, до двух знаков после десятичного разделителя для многих мировых валют. Это делается потому, что большая точность не имеет значения, и обычно невозможно погасить долг стоимостью менее наименьшей денежной единицы.

В налоговых декларациях Великобритании доход округляется до ближайшего фунта, а уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.

В качестве иллюстрации десятичная величина 12,345 может быть выражена различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если точность недостаточна, то число округляется каким-либо образом, чтобы соответствовать доступной точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности при двух способах округления (Н/Д означает «Неприменимо»).

Точность	Округлено до значительные цифры	Округлено до десятичные знаки
6	12.3450	12.345000
5	12.345	12.34500
4	12.34 или 12.35	12.3450
3	12.3	12.345
2	12	12.34 или 12.35
1	10	12.3
0	—	12

Другой пример для 0,012345 . (Помните, что ведущие нули не имеют значения.)

Точность	Округлено до значительные цифры	Округлено до десятичные знаки
7	0.01234500	0.0123450
6	0.0123450	0.012345
5	0.012345	0,01234 или 0,01235
4	0,01234 или 0,01235	0.0123
3	0.0123	0.012
2	0.012	0.01
1	0.01	0.0
0	—	0

Представление ненулевого числа x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, определяемое формулой: ^{[ нужна ссылка ]}

10^{n}\cdot \operatorname {round} \left({\frac {x}{10^{n}}}\right)

где

n=\lfloor \log _{10}(|x|)\rfloor +1-p

который, возможно, потребуется записать со специальной маркировкой, как подробно описано выше, чтобы указать количество значащих конечных нулей.

Написание неопределенности и подразумеваемой неопределенности

Значительные цифры в неопределенности написания

Рекомендуется, чтобы результат измерения включал в себя неопределенность измерения, например, $x_{best}\pm \sigma _{x}$ , где x _best и σ _x — лучшая оценка и неопределенность измерения соответственно. ^[10] x _best может быть средним значением измеренных значений, а σ _x может быть стандартным отклонением или кратным отклонению измерения. Правила написания $x_{best}\pm \sigma _{x}$ являются: ^[11]

σ _x обычно следует указывать только с одной или двумя значащими цифрами, поскольку большая точность вряд ли будет надежной или значимой:
- 1,79 ± 0,06 (верно), 1,79 ± 0,96 (правильно), 1,79 ± 1,96 (неверно).
Позиции последних значащих цифр в x _best и σ _x одинаковы, в противном случае согласованность теряется. Например, «1,79 ± 0,067» неверно, поскольку нет смысла иметь более точную неопределенность, чем наилучшая оценка.
- 1,79 ± 0,06 (верно), 1,79 ± 0,96 (правильно), 1,79 ± 0,067 (неверно).

Подразумеваемая неопределенность

Неопределенность может подразумеваться последней значащей цифрой, если она не выражена явно. ^[1] Подразумеваемая неопределенность составляет ± половину минимального масштаба в позиции последней значащей цифры. Например, если масса объекта указана как 3,78 кг без упоминания неопределенности, то может подразумеваться погрешность измерения ± 0,005 кг. Если масса объекта оценивается как 3,78 ± 0,07 кг, то есть фактическая масса, вероятно, находится где-то в диапазоне от 3,71 до 3,85 кг, и желательно указать ее одним числом, то лучшим числом для сообщения будет 3,8 кг. поскольку подразумеваемая погрешность ± 0,05 кг дает диапазон массы от 3,75 до 3,85 кг, что близко к диапазону измерения. Если неопределенность немного больше, например 3,78 ± 0,09 кг, то 3,8 кг по-прежнему является лучшим единственным числом для указания, поскольку если бы было указано «4 кг», то большая часть информации была бы потеряна.

Если есть необходимость записать подразумеваемую неопределенность числа, то ее можно записать как $x\pm \sigma _{x}$ с указанием ее как подразумеваемой неопределенности (чтобы читатели не могли распознать ее как неопределенность измерения), где x и σ _x - это число с дополнительной нулевой цифрой (чтобы следовать правилам записи неопределенности, приведенным выше) и ее подразумеваемая неопределенность соответственно . Например, 6 кг с подразумеваемой неопределенностью ± 0,5 кг можно указать как 6,0 ± 0,5 кг.

Арифметика

Поскольку существуют правила для определения значащих цифр в непосредственно измеренных величинах, существуют также рекомендации (не правила) для определения значащих цифр в количествах, рассчитанных на основе этих измеренных величин.

Значимые цифры измеряемых величин имеют наибольшее значение при определении значащих цифр расчетных величин с их помощью . Математическая или физическая константа (например, $π$ в формуле площади круга радиуса $r$ как $π r 2$ ) не оказывает влияния на определение значащих цифр в результате расчета с его помощью, если его известные разряды равны или больше значащих цифр в измеряемых величинах, используемых при расчете. Точное число, например $½,$ в формуле для кинетической энергии массы $m$ со скоростью $v$ как $½ мв. 2$ не имеет никакого отношения к значащим цифрам в расчетной кинетической энергии, поскольку число значащих цифр бесконечно (0,500000...).

Описанные ниже рекомендации предназначены для того, чтобы избежать более точных результатов вычислений, чем измеренные величины, но они не гарантируют, что полученная подразумеваемая неопределенность будет достаточно близка к измеренным неопределенностям. Эту проблему можно увидеть при преобразовании единиц измерения. Если руководящие принципы дают подразумеваемую неопределенность, слишком далекую от измеренной, тогда может потребоваться определить значащие цифры, которые дают сопоставимую неопределенность.

Умножение и деление

Для величин, созданных из измеренных величин путем умножения и деления , вычисленный результат должен иметь столько значащих цифр, сколько наименьшее количество значащих цифр среди измеренных величин, используемых в расчете. ^[12] Например,

1.234 × 2 = 2 .468 ≈ 2
1.234 × 2.0 = 2. 4 68 ≈ 2.5
0.01234 × 2 = 0.0 2 468 ≈ 0.02

с одной , двумя и одной значащей цифрой соответственно. (Здесь предполагается, что 2 — не точное число.) В первом примере первый коэффициент умножения имеет четыре значащие цифры, а второй — одну значащую цифру. Фактор с наименьшим или наименее значащим числом является вторым с одной значащей цифрой, поэтому окончательный рассчитанный результат также должен иметь одну значащую цифру.

Исключение

При преобразовании единиц измерения подразумеваемая неопределенность результата может быть неудовлетворительно выше, чем в предыдущей единице измерения, если следовать этому правилу округления; Например, 8 дюймов имеют подразумеваемую неопределенность ± 0,5 дюйма = ± 1,27 см. Если преобразовать его в сантиметровую шкалу и следовать правилам округления при умножении и делении, то 2 0,32 см ≈ 20 см с подразумеваемой погрешностью ± 5 см. Если эта подразумеваемая неопределенность считается слишком завышенной, то более подходящими значащими цифрами в результате преобразования единиц измерения могут быть 2 0,32 см ≈ 20 см с подразумеваемой неопределенностью ± 0,5 см.

Еще одним исключением из применения приведенного выше правила округления является умножение числа на целое число, например 1,234 × 9. Если следовать приведенному выше правилу, результат округляется до 1,234 × 9,000.... = 11,1 0 6 ≈ 11,11. Однако это умножение по сути представляет собой прибавление 1,234 к самому себе 9 раз, например 1,234 + 1,234 +… + 1,234, поэтому рекомендации по округлению для сложения и вычитания, описанные ниже, являются более правильным подходом округления. ^[13] В результате окончательный ответ — 1,234 + 1,234 +… + 1,234 = 11,10 6 = 11,106 (увеличение на одну значащую цифру).

Сложение и вычитание

Для величин, созданных из измеренных величин путем сложения и вычитания , позиция последней значащей цифры (например, сотен, десятков, единиц, десятых, сотых долей и т. д.) в вычисленном результате должна совпадать с позицией самой левой или самой большой цифры среди последние значащие цифры измеряемых величин в расчете. Например,

1.234 + 2 = 3 .234 ≈ 3
1.234 + 2.0 = 3. 2 34 ≈ 3.2
0.01234 + 2 = 2 .01234 ≈ 2
12000 + 77 = 1 2 077 ≈ 12000

с последними значащими цифрами на месте единиц , десятых , единиц и тысяч соответственно. (Здесь предполагается, что 2 не является точным числом.) В первом примере последняя значащая цифра первого члена находится в тысячных долях, а последняя значащая цифра второго члена находится в единицах . Самая левая или самая большая цифра среди последних значащих цифр этих терминов является единицей, поэтому вычисленный результат также должен иметь последнюю значащую цифру на месте единиц.

Правило вычисления значащих цифр при умножении и делении отличается от правила сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из делителей при расчете; позиция последней значащей цифры в каждом факторе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только положение последней значащей цифры в каждом из слагаемых расчета; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения. ^{[ нужна ссылка ]} Однако большую точность часто можно получить, если в промежуточных результатах, которые используются в последующих расчетах, сохраняются некоторые незначительные цифры. ^{[ нужна ссылка ]}

Логарифм и антилогарифм

Логарифм -10 ( основанию по нормализованного числа т. е. a × 10 ^б с 1 ≤ a < 10 и b как целое число), округляется так, что его десятичная часть (называемая мантисса ) имеет столько же значащих цифр, сколько значащих цифр в нормализованном числе.

log ₁₀ (3.000 × 10 ⁴) = log ₁₀ (10 ⁴) + log ₁₀ (3,000) = 4,000000... (точное число, поэтому значащие цифры бесконечны) + 0,477 1 212547... = 4,477 1 212547 ≈ 4,4771.

При антилогарифме нормализованного числа результат округляется так, чтобы в нем было столько значащих цифр, сколько значащих цифр в десятичной части числа, подлежащего антилогарифму.

10 ^4.4771 = 299 9 8.5318119... = 30000 = 3.000 × 10 ⁴.

Трансцендентные функции

Если трансцендентная функция $f(x)$ (например, показательная функция , логарифм и тригонометрические функции ) дифференцируемы в своем элементе области определения x , а затем в количестве значащих цифр (обозначаемых как «значащие цифры $f(x)$ ") приблизительно связана с количеством значащих цифр х (обозначаемых как "значащие цифры х ") по формуле

${\rm {(significant~figures~of~f(x))}}\approx {\rm {(significant~figures~of~x)}}-\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \right)$ ,

где $\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert$ это номер условия .

Округление только по окончательному результату расчета

При выполнении многоэтапных расчетов не округляйте результаты расчетов промежуточных этапов; сохраняйте столько цифр, сколько практически возможно (по крайней мере, на одну цифру больше, чем позволяет правило округления на каждом этапе) до конца всех вычислений, чтобы избежать накопленных ошибок округления при отслеживании или записи значащих цифр в каждом промежуточном результате. Затем округлите окончательный результат, например, до наименьшего количества значащих цифр (для умножения или деления) или до крайней левой позиции последней значащей цифры (для сложения или вычитания) среди входных данных для окончательного расчета. ^[14]

(2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.69 4 4 × 1.2 = 4. 4 3328 ≈ 4.4.
(2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.15 9 943 + 1.2 = 4. 3 59943 ≈ 4.4.

Оценка дополнительной цифры

При использовании линейки изначально используйте самую маленькую отметку в качестве первой предполагаемой цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а читается 4,5 см, то для наименьшего интервала отметки это будет 4,5 (±0,1 см) или 4,4–4,6 см. Однако на практике измерение обычно можно оценить на глаз ближе, чем интервал между наименьшей отметкой линейки, например, в приведенном выше случае его можно оценить как от 4,51 см до 4,53 см. ^[15]

Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной с точностью до наименьшей отметки, а отметки могут быть неравномерно расположены внутри каждой единицы. Однако, если предположить, что это обычная линейка хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между двумя ближайшими отметками, чтобы достичь дополнительного десятичного знака точности. ^[16] Если этого не сделать, ошибка в чтении линейки добавляется к любой ошибке в калибровке линейки.

Оценка в статистике

При оценке доли лиц, несущих какую-либо конкретную характеристику в популяции, по случайной выборке этой популяции, количество значимых цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.

Связь с точностью и прецизионностью измерений

Традиционно в различных областях техники «точность» означает близость данного измерения к его истинному значению; «Точность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. Таким образом, можно быть «точно неправым». В надежде отразить то, как термин «точность» на самом деле используется в научном сообществе, недавно был принят стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «правильность» как близость данного измерения. его истинное значение и использует термин «точность» как сочетание истинности и точности. (Подробное обсуждение см. в статье о точности и точности .) В любом случае количество значащих цифр примерно соответствует точности , а не точности или новой концепции истинности.

В вычислительной технике

Компьютерные представления чисел с плавающей запятой используют форму округления до значащих цифр (обычно не отслеживая их количество), как правило, с двоичными числами . Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительной ошибки (которая имеет то преимущество, что является более точной мерой точности и не зависит от системы счисления , также известной как основание используемой системы счисления).

Электронные калькуляторы , поддерживающие специальный режим отображения значащих цифр, встречаются сравнительно редко.

Среди калькуляторов с поддержкой подобных функций - Commodore M55 Mathematician (1976 г.). ^[17] и статистик S61 (1976), ^[18] которые поддерживают два режима отображения, где DISP+ n даст n значащих цифр, а всего DISP+ .+ n даст n десятичных знаков.

Семейства Texas Instruments TI-83 Plus (1999) и TI-84 Plus (2004) графических калькуляторов поддерживают режим Sig-Fi Calculator , в котором калькулятор оценивает количество значащих цифр введенных чисел и отображает их в квадратных скобках позади соответствующий номер. Результаты вычислений будут скорректированы так, чтобы отображались только значащие цифры. ^[19]

Для HP 20b / 30b, (2014) , разработанных сообществом калькуляторов WP 34S (2011) и WP 31S режимы отображения значащих цифр. SIG+ n и SIG0+ n (с нулевым заполнением) доступны как опция во время компиляции . ^[20]^[21] на базе SwissMicros , DM42 разработанные сообществом Калькуляторы WP 43C (2019 г.) ^[22] / C43 (2022) / C47 (2023) также поддерживают режим отображения значащих цифр.

См. также

Закон Бенфорда (закон первой цифры)
Инженерные обозначения
Панель ошибок
Ложная точность
Защитная цифра
IEEE 754 (стандарт IEEE с плавающей запятой)
Интервальная арифметика
Алгоритм суммирования Кахана
Точность (информатика)
Ошибка округления

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Лоуэр, Стивен (31 марта 2021 г.). «Значимые цифры и округления» . Химия — LibreTexts .
^ Химия в сообществе ; Кендалл-Хант: Дубьюк, Айова, 1988 г.
^ Дать точное определение количества правильных значащих цифр непросто: см. Хайэм, Николас (2002). Точность и стабильность численных алгоритмов (PDF) (2-е изд.). СИАМ. стр. 3–5.
^ "Файл проверки y-cruncher"
^ «Сколько десятичных знаков числа Пи нам действительно нужно? - Edu News» . Обучение НАСА/Лаборатории реактивного движения . Проверено 25 октября 2021 г.
^ «Резолюции 26-й ГКМВ» (PDF) . БИПМ . 16.11.2018. Архивировано из оригинала (PDF) 19 ноября 2018 г. Проверено 20 ноября 2018 г.
^ Майерс, Р. Томас; Олдхэм, Кейт Б.; Точчи, Сальваторе (2000). Химия . Остин, Техас: Холт Райнхарт Уинстон. п. 59 . ISBN 0-03-052002-9 .
^ Энгельбрехт, Нэнси; и др. (1990). «Округление десятичных чисел до заданной точности» (PDF) . Вашингтон, округ Колумбия: Министерство образования США.
^ Численная математика и вычисления, Чейни и Кинкейд .
^ Луна, Эдуардо. «Неопределенности и важные цифры» (PDF) . Колледж ДеАнза .
^ «Важные цифры» . Университет Пердью — факультет физики и астрономии .
^ «Правила значимых фигур» . Пенсильванский государственный университет.
^ «Неопределенность измерений – важные цифры» . Химия — LibreTexts . 16.06.2017.
^ де Оливейра Саннибале, Вирджинио (2001). «Измерения и важные цифры (проект)» (PDF) . Лаборатория физики для первокурсников . Калифорнийский технологический институт, отделение физики, математики и астрономии. Архивировано из оригинала (PDF) 18 июня 2013 г.
^ «Измерения» . slc.umd.umich.edu . Мичиганский университет. Архивировано из оригинала 9 июля 2017 г. Проверено 3 июля 2017 г. Как правило, вам следует попытаться прочитать любую шкалу с точностью до одной десятой ее наименьшего деления путем визуальной интерполяции [пример опущен].
^ Экспериментальные электрические испытания . Ньюарк, Нью-Джерси: Weston Electrical Instruments Co., 1914. с. 9 . Проверено 14 января 2019 г. Экспериментальные электрические испытания..
^ Руководство пользователя Commodore M55 Mathematician (PDF) . Пало-Альто, Калифорния, США / Лутон, Великобритания: Commodore Business Machines Inc. / Mitchells Printers (Luton) Limited. 201318-01. Архивировано (PDF) из оригинала 30 сентября 2023 г. Проверено 30 сентября 2023 г. (1+151+1 стр.)
^ Commodore s61 Справочник владельца статистики . Пало-Альто, Калифорния, США: Commodore Business Machines Inc. Архивировано из оригинала 30 сентября 2023 г. Проверено 30 сентября 2023 г. (2+114 страниц)
^ «Решение 30190: использование калькулятора значащих чисел из приложения Science Tools на графических калькуляторах семейства TI-83 Plus и TI-84 Plus» . База знаний . Техасские инструменты . 2023. Архивировано из оригинала 16 сентября 2023 г. Проверено 30 сентября 2023 г.
^ Бит (15 ноября 2014 г.). «Патчи Bit WP 34S и 31S и пользовательские двоичные файлы (версия: r3802 20150805-1)» . MoHPC — Музей калькуляторов HP . Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Бит (07.02.2015). «[34S и 31S] Уникальный режим отображения: значащие цифры» . MoHPC — Музей калькуляторов HP . Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Мостерт, Жако «Хаймос» (11 февраля 2020 г.). «Изменения с WP43S на WP43C» (PDF) . v047. Архивировано (PDF) из оригинала 1 октября 2023 г. Проверено 1 октября 2023 г. (30 страниц)

Дальнейшее чтение

Делюри, Д.Б. (1958). «Расчеты с примерными цифрами». Учитель математики . 51 (7): 521–30. дои : 10.5951/MT.51.7.0521 . JSTOR 27955748 .
Бонд, Э.А. (1931). «Значащие цифры в вычислениях с приближенными числами». Учитель математики . 24 (4): 208–12. дои : 10.5951/MT.24.4.0208 . JSTOR 27951340 .
ASTM E29-06b, Стандартная практика использования значащих цифр в тестовых данных для определения соответствия спецификациям

Внешние ссылки

Видео «Важные цифры» от Академии Хана
Часто задаваемые вопросы по десятичной арифметике. Является ли десятичная арифметика «значительной» арифметикой?
Расширенные методы обработки неопределенности и некоторые объяснения недостатков арифметики значимости и значащих цифр.
Калькулятор значащих цифр — отображает число с желаемым количеством значащих цифр.
Измерения и неопределенности в сравнении со значащими цифрами или значащими цифрами . Правильные методы выражения неопределенности, включая подробное обсуждение проблем, связанных с любым понятием значащих цифр.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с Лоуэр, Стивен (31 марта 2021 г.). «Значимые цифры и округления» . Химия — LibreTexts .

[2] Химия в сообществе ; Кендалл-Хант: Дубьюк, Айова, 1988 г.

[3] Дать точное определение количества правильных значащих цифр непросто: см. Хайэм, Николас (2002). Точность и стабильность численных алгоритмов (PDF) (2-е изд.). СИАМ. стр. 3–5.

[4] "Файл проверки y-cruncher"

[NASA/JPL-5] «Сколько десятичных знаков числа Пи нам действительно нужно? - Edu News» . Обучение НАСА/Лаборатории реактивного движения . Проверено 25 октября 2021 г.

[6] «Резолюции 26-й ГКМВ» (PDF) . БИПМ . 16.11.2018. Архивировано из оригинала (PDF) 19 ноября 2018 г. Проверено 20 ноября 2018 г.

[Chemistry_Significant_Figures-7] Майерс, Р. Томас; Олдхэм, Кейт Б.; Точчи, Сальваторе (2000). Химия . Остин, Техас: Холт Райнхарт Уинстон. п. 59 . ISBN 0-03-052002-9 .

[8] Энгельбрехт, Нэнси; и др. (1990). «Округление десятичных чисел до заданной точности» (PDF) . Вашингтон, округ Колумбия: Министерство образования США.

[Numerical_Mathematics_and_Computing,_by_Cheney_and_Kincaid-9] Численная математика и вычисления, Чейни и Кинкейд .

[10] Луна, Эдуардо. «Неопределенности и важные цифры» (PDF) . Колледж ДеАнза .

[11] «Важные цифры» . Университет Пердью — факультет физики и астрономии .

[12] «Правила значимых фигур» . Пенсильванский государственный университет.

[13] «Неопределенность измерений – важные цифры» . Химия — LibreTexts . 16.06.2017.

[14] де Оливейра Саннибале, Вирджинио (2001). «Измерения и важные цифры (проект)» (PDF) . Лаборатория физики для первокурсников . Калифорнийский технологический институт, отделение физики, математики и астрономии. Архивировано из оригинала (PDF) 18 июня 2013 г.

[UMmeasurements-15] «Измерения» . slc.umd.umich.edu . Мичиганский университет. Архивировано из оригинала 9 июля 2017 г. Проверено 3 июля 2017 г. Как правило, вам следует попытаться прочитать любую шкалу с точностью до одной десятой ее наименьшего деления путем визуальной интерполяции [пример опущен].

[Weston-16] Экспериментальные электрические испытания . Ньюарк, Нью-Джерси: Weston Electrical Instruments Co., 1914. с. 9 . Проверено 14 января 2019 г. Экспериментальные электрические испытания..

[Commodore_M55-17] Руководство пользователя Commodore M55 Mathematician (PDF) . Пало-Альто, Калифорния, США / Лутон, Великобритания: Commodore Business Machines Inc. / Mitchells Printers (Luton) Limited. 201318-01. Архивировано (PDF) из оригинала 30 сентября 2023 г. Проверено 30 сентября 2023 г. (1+151+1 стр.)

[Commodore_S61-18] Commodore s61 Справочник владельца статистики . Пало-Альто, Калифорния, США: Commodore Business Machines Inc. Архивировано из оригинала 30 сентября 2023 г. Проверено 30 сентября 2023 г. (2+114 страниц)

[TI_2023-19] «Решение 30190: использование калькулятора значащих чисел из приложения Science Tools на графических калькуляторах семейства TI-83 Plus и TI-84 Plus» . База знаний . Техасские инструменты . 2023. Архивировано из оригинала 16 сентября 2023 г. Проверено 30 сентября 2023 г.

[Bit_2014-20] Бит (15 ноября 2014 г.). «Патчи Bit WP 34S и 31S и пользовательские двоичные файлы (версия: r3802 20150805-1)» . MoHPC — Музей калькуляторов HP . Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 24 сентября 2023 г.

[Bit_2015-21] Бит (07.02.2015). «[34S и 31S] Уникальный режим отображения: значащие цифры» . MoHPC — Музей калькуляторов HP . Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Проверено 24 сентября 2023 г.

[Mostert_2020-22] Мостерт, Жако «Хаймос» (11 февраля 2020 г.). «Изменения с WP43S на WP43C» (PDF) . v047. Архивировано (PDF) из оригинала 1 октября 2023 г. Проверено 1 октября 2023 г. (30 страниц)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]