Масштабный анализ (математика)

Масштабный анализ (или анализ порядка величины ) — мощный инструмент, используемый в математических науках для упрощения уравнений со многими членами. Сначала определяется приблизительная величина отдельных членов в уравнениях. Тогда некоторыми пренебрежимо малыми членами можно пренебречь.

Пример: вертикальный импульс в метеорологии синоптического масштаба.

Рассмотрим, например, уравнение количества движения уравнений Навье – Стокса в вертикальном направлении координат атмосферы.

${\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}-{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}-g+2{\Omega u\cos \varphi }+\nu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right),$ ( А1 )

где R — Земли радиус , Ω — частота вращения Земли, g — ускорение свободного падения , φ — широта, ρ — плотность воздуха и ν — кинематическая вязкость воздуха (турбулентностью в свободной атмосфере можно пренебречь ).

В синоптическом масштабе мы можем ожидать горизонтальные скорости около U = 10. ¹ РС ⁻¹ и вертикальный около W = 10 ⁻² РС ⁻¹ . Горизонтальный масштаб L = 10. ⁶ м и вертикальный масштаб H = 10. ⁴ м. Типичный масштаб времени: T = L / U = 10. ⁵ с. Перепады давления в тропосфере составляют Δ P = 10. ⁴ Па и плотность воздуха ρ = 10 ⁰  kg⋅m ⁻³ . Другие физические свойства примерно таковы:

Р = 6,378 × 10 ⁶ м;

Ом = 7,292 × 10 ⁻⁵ rad⋅s ^−1;

п = 1,46 × 10 ⁻⁵ м ² ⋅s ^−1;

г = 9,81 м⋅с ^−2.

Оценки различных членов в уравнении ( A1 ) можно сделать, используя их масштабы:

${\begin{aligned}{\frac {\partial w}{\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}$

Теперь мы можем ввести эти масштабы и их значения в уравнение ( A1 ):

${\begin{aligned}&{}{\frac {10^{-2}}{10^{5}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10^{-2}{\frac {10^{-2}}{10^{4}}}-{\frac {10^{2}+10^{2}}{10^{6}}}\\[12pt]&{}=-{{\frac {1}{1}}{\frac {10^{4}}{10^{4}}}}-10+2\times 10^{-4}\times 10+10^{-5}\left({\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{8}}}\right).\end{aligned}}$ ( А2 )

Мы видим, что все члены — кроме первого и второго в правой части — пренебрежимо малы. Таким образом, мы можем упростить уравнение вертикального импульса до уравнения гидростатического равновесия :

${\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}=-g.$ ( А3 )

Правила масштабного анализа

Масштабный анализ является очень полезным и широко используемым инструментом для решения задач в области теплопередачи и гидромеханики, пристенной струи под давлением, разделения потоков за обратными ступеньками, струйного диффузионного пламени, исследования линейной и нелинейной динамики. Масштабный анализ — это эффективный способ получения приближенных решений уравнений, которые часто слишком сложны для точного решения. Целью масштабного анализа является использование основных принципов конвективной теплопередачи для получения оценок порядка величины интересующих величин. При правильном проведении масштабный анализ позволяет с точностью до единицы предвидеть дорогостоящие результаты, полученные при точном анализе. Правила масштабирования анализа следующие:

Правило 1. Первым шагом в масштабном анализе является определение области масштаба, в которой мы применяем масштабный анализ. Любой масштабный анализ области потока, который не определен однозначно, недействителен.

Правило 2. Одно уравнение представляет собой эквивалентность между масштабами двух доминирующих членов, входящих в уравнение. Например,

$\rho c_{P}{{\partial T} \over {\partial t}}=k{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}.$

В приведенном выше примере левая часть может иметь тот же порядок величины, что и правая часть.

Правило 3. Если в сумме двух членов, заданных формулой

$c=a+b$

порядок величины одного слагаемого больше порядка величины другого слагаемого

$O(a)>O(b)$

тогда порядок суммы определяется доминирующим членом

$O(c)=O(a)$

Тот же вывод справедлив, если мы имеем разницу двух членов

$c=a-b$

Правило 4. В сумме двух слагаемых, если два слагаемых имеют одинаковый порядок величины,

$c=a+b$

$O(a)=O(b)$

тогда сумма также того же порядка:

$O(a)\thicksim O(b)\thicksim O(c)$

Правило 5. В случае произведения двух слагаемых

$p=ab$

порядок произведения равен произведению порядков двух множителей

$O(p)=O(a)O(b)$

для соотношений

$r={\frac {a}{b}}$

затем

$O(r)={\frac {O(a)}{O(b)}}$

здесь O(a) представляет собой порядок величины a.

~ представляет собой два термина одного порядка.

> представляет собой больше, чем в смысле порядка величины.

Развитие течения во входной зоне воздуховода с параллельными пластинами

Масштабный анализ полностью развитого потока

Рассмотрим установившееся ламинарное течение вязкой жидкости внутри круглой трубки. Пусть жидкость входит с равномерной скоростью по сечению потока. По мере движения жидкости по трубке на поверхности образуется и растет пограничный слой жидкости с низкой скоростью, поскольку жидкость, непосредственно прилегающая к поверхности, имеет нулевую скорость. Особой и упрощающей особенностью вязкого течения внутри цилиндрических труб является тот факт, что пограничный слой должен встретиться на центральной линии трубы, и тогда распределение скорости устанавливает фиксированную, инвариантную картину. Гидродинамическая входная длина — это та часть трубы, в которой импульсный пограничный слой растет и распределение скорости меняется с длиной. Фиксированное распределение скорости в полностью развитой области называется полностью развитым профилем скорости. Стационарная непрерывность и сохранение уравнений количества движения в двумерном виде:

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0,$ ( 1 )

$u{{\partial u} \over {\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),$ ( 2 )

$u{{\partial v} \over {\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial P}{\partial y}}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),$ ( 3 )

Эти уравнения можно упростить, используя масштабный анализ. В любой момент $x\sim L$ в полностью развитой зоне у нас есть $y\sim \delta$ и $u\sim U_{\infty }$. Теперь из уравнения ( 1 ) поперечная составляющая скорости в полностью развитой области упрощается с использованием масштабирования как

$v\sim {\frac {U_{\infty }\delta }{L}}$ ( 4 )

В полностью развитом регионе $L\gg \delta$, так что масштаб поперечной скорости из уравнения ( 4 ) пренебрежимо мал. Следовательно, в полностью развитом потоке уравнение неразрывности требует, чтобы

$v=0,{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$ ( 5 )

На основе уравнения ( 5 ) уравнение импульса y ( 3 ) сводится к

${\frac {\partial P}{\partial y}}=0$ ( 6 )

это означает, что P является функцией только x . Отсюда x уравнение импульса принимает вид

${\frac {dP}{dx}}=\mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\text{constant}}$ ( 7 )

Каждый член должен быть постоянным, поскольку левая часть является функцией только x , а правая — функцией y . Решение уравнения ( 7 ) с учетом граничного условия

$u=0,y=\pm {\frac {D}{2}}$ ( 8 )

в результате получается хорошо известное решение Хагена – Пуазейля для полностью развитого течения между параллельными пластинами.

$u={\frac {3}{2}}U\left[1-{\left({\frac {y}{D/2}}\right)}^{2}\right]$ ( 9 )

$U={\frac {D^{2}}{12\mu }}\left(-{\frac {dP}{dx}}\right)$ ( 10 )

где y измеряется от центра канала. Скорость должна быть параболической и пропорциональна давлению на единицу длины воздуховода в направлении потока.

См. также

• Приближение
• Размерный анализ

Ссылки

• Баренблатт, GI (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-43522-6 .
• Теннекес, Х. ; Ламли, Джон Л. (1972). Первый курс в турбулентности . MIT Press, Кембридж, Массачусетс. ISBN  0-262-20019-8 .
• Бежан, А. (2004). Конвекционная теплопередача . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-81-265-0934-8 .
• Кейс, В.М., Кроуфорд, М.Э. (2012). Конвективный тепло- и массоперенос . McGraw Hill Education (Индия). ISBN  978-1-25-902562-4 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Внешние ссылки

• Масштабный анализ и числа Рейнольдса. Архивировано 10 апреля 2006 г. в Wayback Machine.