Многомерная гамма-функция

В математике многомерная гамма-функция Γ _p является обобщением гамма-функции . Это полезно в многомерной статистике , появляющейся в функции плотности вероятности и распределения Уишарта обратного распределения Уишарта , а также в матричной переменной бета-распределении .

Он имеет два эквивалентных определения. Один из них задается в виде следующего интеграла по $p\times p$ положительно определенные вещественные матрицы:

$\Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\exp \left(-{\rm {tr}}(S)\right)\,\left|S\right|^{a-{\frac {p+1}{2}}}dS,$

где $|S|$ обозначает определитель $S$. Другой, более полезный для получения числового результата:

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2).$

В обоих определениях $a$ комплексное число, действительная часть которого удовлетворяет $\Re (a)>(p-1)/2$. Обратите внимание, что $\Gamma _{1}(a)$ сводится к обычной гамма-функции. Второе из приведенных выше определений позволяет напрямую получить рекурсивные соотношения для $p\geq 2$:

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma (a+(1-p)/2).$

Таким образом

• $\Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)$
• $\Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)$

и так далее.

Это также можно распространить на нецелые значения $p$ с выражением:

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}{\frac {G(a+{\frac {1}{2}})G(a+1)}{G(a+{\frac {1-p}{2}})G(a+1-{\frac {p}{2}})}}$

Где G — G-функция Барнса , неопределенное произведение гамма -функции .

Функция получена Андерсоном от первых принципов, который также цитирует более ранние работы Уишарта , Махаланобиса и других.

Существует также версия многомерной гамма-функции, которая вместо одного комплексного числа принимает $p$-мерный вектор комплексных чисел в качестве аргумента. Он обобщает определенную выше многомерную гамма-функцию, поскольку последняя получается путем конкретного выбора многомерного аргумента первой.

Производные

Мы можем определить многомерную дигамму-функцию как

$\psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),$

и общая полигамма-функция как

$\psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).$

Этапы расчета

• С

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right),$

отсюда следует, что

${\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right).$

• По определению дигамма-функции ψ,

${\frac {\partial \Gamma (a+(1-i)/2)}{\partial a}}=\psi (a+(i-1)/2)\Gamma (a+(i-1)/2)$

отсюда следует, что

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}&=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2)\\[4pt]&=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2).\end{aligned}}$

Ссылки

• 1. Джеймс, А. (1964). «Распределение матричных переменных и скрытых корней, полученных из нормальных выборок» . Анналы математической статистики . 35 (2): 475–501. дои : 10.1214/aoms/1177703550 . МР   0181057 . Збл   0121.36605 .
• 2. А. К. Гупта и Д. К. Нагар 1999. «Распределения матричных переменных». Чепмен и Холл.