Матричное вариативное бета-распределение

В статистике матричная переменная бета-распределения является обобщением бета-распределения . Если $U$ это $p\times p$ положительно определенная матрица с бета-распределением переменной матрицы и $a,b>(p-1)/2$ — действительные параметры, пишем $U\sim B_{p}\left(a,b\right)$ (иногда $B_{p}^{I}\left(a,b\right)$). Функция плотности вероятности для $U$ является:

$\left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.$

Матричное вариативное бета-распределение

Обозначения	${\rm {B}}_{p}(a,b)$
Параметры	$a,b$
Поддерживать	$p\times p$ матрицы с обоими $U$ и $I_{p}-U$ положительно определенный
PDF	$\left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.$
CDF	${}_{1}F_{1}\left(a;a+b;iZ\right)$

Здесь $\beta _{p}\left(a,b\right)$ многомерная бета-функция :

$\beta _{p}\left(a,b\right)={\frac {\Gamma _{p}\left(a\right)\Gamma _{p}\left(b\right)}{\Gamma _{p}\left(a+b\right)}}$

где $\Gamma _{p}\left(a\right)$ многомерная гамма-функция, определяемая формулой

$\Gamma _{p}\left(a\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-(i-1)/2\right).$

Теоремы

Распределение обратной матрицы

Если $U\sim B_{p}(a,b)$ тогда плотность $X=U^{-1}$ дается

${\frac {1}{\beta _{p}\left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2}$

при условии, что $X>I_{p}$ и $a,b>(p-1)/2$.

Ортогональное преобразование

Если $U\sim B_{p}(a,b)$ и $H$ является константой $p\times p$ ортогональная матрица , то $HUH^{T}\sim B(a,b).$

Кроме того, если $H$ является случайным ортогональным $p\times p$ матрица, независимая от $U$, затем $HUH^{T}\sim B_{p}(a,b)$, распространяется независимо от $H$.

Если $A$ это какая-то константа $q\times p$, $q\leq p$ матрица рангов $q$, затем $AUA^{T}$ имеет обобщенное матричное бета-распределение , в частности $AUA^{T}\sim GB_{q}\left(a,b;AA^{T},0\right)$.

Результаты секционированной матрицы

Если $U\sim B_{p}\left(a,b\right)$ и мы разделим $U$ как

$U={\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}}$

где $U_{11}$ является $p_{1}\times p_{1}$ и $U_{22}$ является $p_{2}\times p_{2}$, затем определяя дополнение Шура $U_{22\cdot 1}$ как $U_{22}-U_{21}{U_{11}}^{-1}U_{12}$ дает следующие результаты:

• $U_{11}$ не зависит от $U_{22\cdot 1}$
• $U_{11}\sim B_{p_{1}}\left(a,b\right)$
• $U_{22\cdot 1}\sim B_{p_{2}}\left(a-p_{1}/2,b\right)$
• $U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}$ имеет инвертированную матрицу распределения t , в частности $U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}\sim IT_{p_{2},p_{1}}\left(2b-p+1,0,I_{p_{2}}-U_{22\cdot 1},U_{11}(I_{p_{1}}-U_{11})\right).$

Результаты желаний

Митра доказывает следующую теорему, которая иллюстрирует полезное свойство бета-распределения матричной переменной. Предполагать $S_{1},S_{2}$ независимы ​ $p\times p$ матрицы $S_{1}\sim W_{p}(n_{1},\Sigma ),S_{2}\sim W_{p}(n_{2},\Sigma )$. Предположим, что $\Sigma$ положительно определен и что $n_{1}+n_{2}\geq p$. Если

$U=S^{-1/2}S_{1}\left(S^{-1/2}\right)^{T},$

где $S=S_{1}+S_{2}$, затем $U$ имеет матричное бета-распределение $B_{p}(n_{1}/2,n_{2}/2)$. В частности, $U$ не зависит от $\Sigma$.

См. также

• Матричная переменная Распределение Дирихле

Ссылки

• Гупта, АК; Нагар, ДК (1999). Распределение матричных переменных . Чепмен и Холл. ISBN  1-58488-046-5 .
• Митра, СК (1970). «Безплотностный подход к бета-распределению матричных переменных». Индийский статистический журнал . Серия А (1961–2002). 32 (1): 81–88. JSTOR   25049638 .