Матричная переменная Распределение Дирихле

В статистике матричное распределение Дирихле является обобщением матричного бета-распределения и распределения Дирихле .

Предполагать $U_{1},\ldots ,U_{r}$ являются $p\times p$ положительно определенные матрицы с $I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}$ также положительно определенный, где $I_{p}$ это $p\times p$ идентификационная матрица . Тогда мы говорим, что $U_{i}$ иметь матричную переменную распределения Дирихле, $\left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r};a_{r+1}\right)$ , если их совместная функция плотности вероятности равна

\left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r},a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}\right)^{a_{r+1}-(p+1)/2}

где $a_{i}>(p-1)/2,i=1,\ldots ,r+1$ и $\beta _{p}\left(\cdots \right)$ – многомерная бета-функция .

Если мы напишем $U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}$ тогда PDF принимает более простую форму

\left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r+1}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2},

при том понимании, что $\sum _{i=1}^{r+1}U_{i}=I_{p}$ .

Теоремы

обобщение результата хи-квадрат-Дирихле

Предполагать $S_{i}\sim W_{p}\left(n_{i},\Sigma \right),i=1,\ldots ,r+1$ распространяются независимо $p\times p$ положительно определенные матрицы . Затем, определяя $U_{i}=S^{-1/2}S_{i}\left(S^{-1/2}\right)^{T}$ (где $S=\sum _{i=1}^{r+1}S_{i}$ представляет собой сумму матриц и $S^{1/2}\left(S^{-1/2}\right)^{T}$ любая разумная факторизация $S$ ), у нас есть

\left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(n_{1}/2,...,n_{r+1}/2\right).

Маргинальное распределение

Если $\left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)$ , и если $s\leq r$ , затем:

\left(U_{1},\ldots ,U_{s}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{s},\sum _{i=s+1}^{r+1}a_{i}\right)

Условное распределение

Кроме того, с теми же обозначениями, что и выше, плотность $\left(U_{s+1},\ldots ,U_{r}\right)\left|\left(U_{1},\ldots ,U_{s}\right)\right.$ дается

{\frac {\prod _{i=s+1}^{r+1}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2}}{\beta _{p}\left(a_{s+1},\ldots ,a_{r+1}\right)\det \left(I_{p}-\sum _{i=1}^{s}U_{i}\right)^{\sum _{i=s+1}^{r+1}a_{i}-(p+1)/2}}}

где мы пишем $U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}$ .

секционированное распределение

Предполагать $\left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)$ и предположим, что $S_{1},\ldots ,S_{t}$ является разделом $\left[r+1\right]=\left\{1,\ldots r+1\right\}$ (то есть, $\cup _{i=1}^{t}S_{i}=\left[r+1\right]$ и $S_{i}\cap S_{j}=\emptyset$ если $i\neq j$ ). Затем, написав $U_{(j)}=\sum _{i\in S_{j}}U_{i}$ и $a_{(j)}=\sum _{i\in S_{j}}a_{i}$ (с $U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{r}$ ), у нас есть:

\left(U_{(1)},\ldots U_{(t)}\right)\sim D_{p}\left(a_{(1)},\ldots ,a_{(t)}\right).

перегородки

Предполагать $\left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)$ . Определять

U_{i}=\left({\begin{array}{rr}U_{11(i)}&U_{12(i)}\\U_{21(i)}&U_{22(i)}\end{array}}\right)\qquad i=1,\ldots ,r

где $U_{11(i)}$ является $p_{1}\times p_{1}$ и $U_{22(i)}$ является $p_{2}\times p_{2}$ . Написание дополнения Шура $U_{22\cdot 1(i)}=U_{21(i)}U_{11(i)}^{-1}U_{12(i)}$ у нас есть