Модульная лямбда-функция

Модульная лямбда-функция в комплексной плоскости.

В математике модульная лямбда -функция λ(τ) — высокосимметричная голоморфная функция на комплексной верхней полуплоскости . Он инвариантен относительно дробно-линейного действия конгруэнц-группы Γ(2) и порождает функциональное поле соответствующего фактора, т. е. является гауптмодулем модулярной кривой X (2). Над любой точкой τ ее значение можно описать как перекрестное отношение точек ветвления разветвленного двойного покрытия проективной прямой эллиптической кривой $\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle$, где отображение определяется как фактор по инволюции [−1].

q-разложение, где $q=e^{\pi i\tau }$ это имя , задается:

$\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots$. ОЭИС : A115977

Симметризируя лямбда-функцию относительно канонического действия симметрической группы S ₃ на X (2) и затем соответствующим образом нормируя, можно получить функцию в верхней полуплоскости, инвариантную относительно полной модулярной группы $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ Клейна , и на самом деле это модульный j-инвариант .

График x → λ(ix)

Модульные свойства

Функция $\lambda (\tau )$ инвариантен относительно группы, порожденной

$\tau \mapsto \tau +2\ ;\ \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}\ .$

Генераторы модульной группы действуют по принципу

$\tau \mapsto \tau +1\ :\ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}\,;$

$\tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\ :\ \lambda \mapsto 1-\lambda \ .$

Следовательно, действие модулярной группы на $\lambda (\tau )$ это ангармоническая группа , дающая шесть значений перекрестного отношения :

$\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .$

Отношения с другими функциями

Это квадрат эллиптического модуля, то есть, $\lambda (\tau )=k^{2}(\tau )$. В терминах эта-функции Дедекинда $\eta (\tau )$ и тэта-функции ,

$\lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}$

и,

${\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}$

где

$\theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}$

$\theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}$

$\theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}$

В терминах полупериодов эллиптических функций Вейерштрасса пусть $[\omega _{1},\omega _{2}]$ быть фундаментальной парой периодов с $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$.

$e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)$

у нас есть

$\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.$

Поскольку три значения полупериода различны, это показывает, что $\lambda$ не принимает значение 0 или 1.

Связь с j-инвариантом такова:

$j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .$

который является j -инвариантом эллиптической кривой лежандровой формы $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

Данный $m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$, позволять

$\tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}$

где $K$ – полный эллиптический интеграл первого рода с параметром $m=k^{2}$.Затем

$\lambda (\tau )=m.$

Модульные уравнения

Модульное уравнение степени $p$ (где $p$ — простое число) — алгебраическое уравнение в $\lambda (p\tau )$ и $\lambda (\tau )$. Если $\lambda (p\tau )=u^{8}$ и $\lambda (\tau )=v^{8}$, модульные уравнения степеней $p=2,3,5,7$ являются, соответственно,

$(1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,$

$u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,$

$u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,$

$(1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.$

Количество $v$ (и, следовательно, $u$) можно рассматривать как голоморфную функцию в верхней полуплоскости $\operatorname {Im} \tau >0$:

${\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$

С $\lambda (i)=1/2$модульные уравнения можно использовать для получения алгебраических значений $\lambda (pi)$ для любого простого числа $p$. Алгебраические значения $\lambda (ni)$ также даны

$\lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})$

$\lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})$

где $\operatorname {sl}$ лемнискатный синус и $\varpi$ — константа лемнискаты .

Лямбда-звезда

Определение и вычисление лямбда-звезды

Функция $\lambda ^{*}(x)$ (где $x\in \mathbb {R} ^{+}$) дает значение эллиптического модуля $k$, для которого полный эллиптический интеграл первого рода $K(k)$ и его дополнительный аналог $K({\sqrt {1-k^{2}}})$ связаны следующим выражением:

${\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}$

Значения $\lambda ^{*}(x)$ можно вычислить следующим образом:

$\lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}$

$\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}$

$\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}$

Функции $\lambda ^{*}$ и $\lambda$ связаны между собой следующим образом:

$\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}$

Свойства лямбда-звезды

Каждый $\lambda ^{*}$ значение положительного рационального числа является положительным алгебраическим числом :

$\lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}.$

$K(\lambda ^{*}(x))$ и $E(\lambda ^{*}(x))$ ( полный эллиптический интеграл второго рода ) может быть выражен в замкнутой форме через гамма-функцию для любого $x\in \mathbb {Q} ^{+}$, как Сельберг и Чоула доказали в 1949 году.

Следующее выражение справедливо для всех $n\in \mathbb {N}$:

${\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]$

где $\operatorname {dn}$ — эллиптическая функция Якоби delta amplitudinis с модулем $k$.

Зная один $\lambda ^{*}$ значение, эту формулу можно использовать для расчета связанных $\lambda ^{*}$ ценности:

$\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}$

где $n\in \mathbb {N}$ и $\operatorname {sn}$ — эллиптическая функция Якоби sinus amplitudinis с модулем $k$.

Дальнейшие отношения:

$\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1$

$[\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2$

$\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}$

$\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}$

$${\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}$$

показывать Особые значения

Lambda-star values of integer numbers of 4n-3-type: $\lambda ^{*}(1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ $\lambda ^{*}(5)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\sqrt {5}}-2\right)\right]$ $\lambda ^{*}(9)={\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})$ $\lambda ^{*}(13)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18)\right]$ $\lambda ^{*}(17)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(5+{\sqrt {17}}-{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}}\right)^{3}\right]\right\}$ $\lambda ^{*}(21)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(8-3{\sqrt {7}})(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})]\right\}$ $\lambda ^{*}(25)={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})$ $\lambda ^{*}(33)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(10-3{\sqrt {11}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}$ $\lambda ^{*}(37)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[({\sqrt {37}}-6)^{3}]\right\}$ $\lambda ^{*}(45)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(4-{\sqrt {15}})^{2}({\sqrt {5}}-2)^{3}]\right\}$ $\lambda ^{*}(49)={\frac {1}{4}}(8+3{\sqrt {7}})(5-{\sqrt {7}}-{\sqrt[{4}]{28}})\left({\sqrt {14}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}}}\right)$ $\lambda ^{*}(57)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(170-39{\sqrt {19}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}$ $\lambda ^{*}(73)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(45+5{\sqrt {73}}-3{\sqrt {50{\sqrt {73}}+426}}\right)^{3}\right]\right\}$ Lambda-star values of integer numbers of 4n-2-type: $\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1$ $\lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})$ $\lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}$ $\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}$ $\lambda ^{*}(18)=({\sqrt {2}}-1)^{3}(2-{\sqrt {3}})^{2}$ $\lambda ^{*}(22)=(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})$ $\lambda ^{*}(30)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\right\}$ $\lambda ^{*}(34)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{9}}({\sqrt {17}}-4)^{2}\right]\right\}$ $\lambda ^{*}(42)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\right\}$ $\lambda ^{*}(46)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{64}}\left(3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {6{\sqrt {2}}+7}}\right)^{6}\right]\right\}$ $\lambda ^{*}(58)=(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}$ $\lambda ^{*}(70)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\right\}$ $\lambda ^{*}(78)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[(5{\sqrt {13}}-18)^{2}({\sqrt {26}}-5)^{2}]\right\}$ $\lambda ^{*}(82)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{4761}}(8{\sqrt {41}}-51)^{2}\right]\right\}$ Lambda-star values of integer numbers of 4n-1-type: $\lambda ^{*}(3)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}-1)$ $\lambda ^{*}(7)={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}(3-{\sqrt {7}})$ $\lambda ^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)\left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}$ $\lambda ^{*}(15)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})$ $\lambda ^{*}(19)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3{\sqrt {19}}+13)\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})\right]^{4}$ $\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}+{\frac {2}{3}}\right]^{4}$ $\lambda ^{*}(27)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}-1)^{3}\left[{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{2}}+1)-{\sqrt[{3}]{2}}+1\right]^{4}$ $\lambda ^{*}(39)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{16}}\left(6-{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6{\sqrt {13}}-21}}\right)\right]\right\}$ $\lambda ^{*}(55)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{512}}\left(3{\sqrt {5}}-3-{\sqrt {6{\sqrt {5}}-2}}\right)^{3}\right]\right\}$ Lambda-star values of integer numbers of 4n-type: $\lambda ^{*}(4)=({\sqrt {2}}-1)^{2}$ $\lambda ^{*}(8)=\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}$ $\lambda ^{*}(12)=({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}$ $\lambda ^{*}(16)=({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}$ $\lambda ^{*}(20)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}$ $\lambda ^{*}(24)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]\right\}^{2}$ $\lambda ^{*}(28)=(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{4}$ $\lambda ^{*}(32)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\right]\right\}^{2}$ Lambda-star values of rational fractions: $\lambda ^{*}\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}$ $\lambda ^{*}\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}+1)$ $\lambda ^{*}\left({\frac {2}{3}}\right)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})$ $\lambda ^{*}\left({\frac {1}{4}}\right)=2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)$ $\lambda ^{*}\left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1){\sqrt {({\sqrt {3}}-1)^{3}}}$ $\lambda ^{*}\left({\frac {1}{5}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left({\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}+{\sqrt {5}}-1\right)$ $\lambda ^{*}\left({\frac {2}{5}}\right)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}$ $\lambda ^{*}\left({\frac {3}{5}}\right)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2+{\sqrt {3}})$ $\lambda ^{*}\left({\frac {4}{5}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}$

Инварианты класса Рамануджана

Рамануджана Инварианты класса $G_{n}$ и $g_{n}$ определяются как

$G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),$

$g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),$

где $n\in \mathbb {Q} ^{+}$. Для таких $n$, инвариантами класса являются алгебраические числа. Например

$g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.$

Тождества с инвариантами класса включают

$G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.$

Инварианты классов очень тесно связаны с модулярными функциями Вебера. ${\mathfrak {f}}$ и ${\mathfrak {f}}_{1}$. Вот отношения между лямбда-звездой и инвариантами класса:

$G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]$

$g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}$

$\lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}$

Другие выступления

Теорема Маленького Пикара

Лямбда-функция используется в оригинальном доказательстве теоремы Литтла Пикара о том, что целая непостоянная функция на комплексной плоскости не может пропускать более одного значения. Эту теорему доказал Пикард в 1879 году. Предположим, если возможно, что f целая и не принимает значения 0 и 1. Поскольку λ голоморфна, она имеет локальную голоморфную обратную ω, определенную вне 0,1,∞. Рассмотрим функцию z → ω( f ( z )). По теореме монодромии он голоморфен и отображает комплексную плоскость C в верхнюю полуплоскость. Отсюда легко построить голоморфную функцию из C в единичный круг, которая по теореме Лиувилля должна быть постоянной.

Самогон

Функция $\tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8$ — нормированный хауптмодуль группы $\Gamma _{0}(4)$, и его q -разложение $q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots$, OEIS : A007248 где $q=e^{2\pi i\tau }$, — градуированный характер любого элемента класса сопряженности 4C группы монстров, действующего на вершинной алгебре монстров .

Ссылки

Другой

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-61272-0 , Збл   0543.33001
• Чандрасекхаран, К. (1985), Эллиптические функции , Основы математических наук, том. 281, Springer-Verlag , стр. 108–121, ISBN.  3-540-15295-4 , Збл   0575.33001
• Конвей, Джон Хортон ; Нортон, Саймон (1979), «Чудовищный самогон», Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308–339, doi : 10.1112/blms/11.3.308 , MR   0554399 , Zbl   0424.20010
• Рэнкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-21212-Х , Збл   0376.10020
• Рейнхардт, В.П.; Уокер, П.Л. (2010), «Эллиптическая модульная функция» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .

• Борвейн, Дж. М. и Борвейн, П. Б. Пи и годовое собрание: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений. Нью-Йорк: Wiley, стр. 139 и 298, 1987.

• Конвей, Дж. Х. и Нортон, С. П. «Чудовищный самогон». Бык. Лондонская математика. Соц. 11, 308–339, 1979.

• Сельберг А. и Чоула С. «О дзета-функции Эпштейна». Дж. Рейн Ангью. Математика. 227, 86–110, 1967.

Внешние ссылки

• Модульная лямбда-функция в Fungrim