Модульная кривая

В теории чисел и алгебраической геометрии модулярная кривая Y (Γ) — это риманова поверхность или соответствующая алгебраическая кривая , построенная как комплексной верхней полуплоскости H действием Γ конгруэнтной подгруппы модулярной группы фактор 2×2 целочисленные матрицы SL(2, Z ). Термин модульная кривая также может использоваться для обозначения компактифицированных модульных кривых X (Γ), которые представляют собой компактификации, полученные добавлением конечного числа точек (называемых точками возврата Γ ) к этому фактору (посредством действия на расширенной комплексной верхней полуплоскости ). Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизма эллиптических кривых вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы Γ. Такая интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых, без ссылки на комплексные числа , и, более того, доказать, что модулярные кривые определяются либо над полем рациональных чисел Q , либо над круговым полем Q (ζ _n ). Последний факт и его обобщения имеют фундаментальное значение в теории чисел.

Аналитическое определение

Модульная группа SL(2, Z ) действует в верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями . Аналитическое определение модулярной кривой включает в себя выбор конгруэнтной подгруппы Γ группы SL(2, Z ), т.е. подгруппы, содержащей главную конгруэнтную подгруппу уровня N для некоторого положительного целого числа N , которая определяется как

$\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ and }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.$

Минимальное такое N называется уровнем Γ . , комплексную структуру можно приписать К фактору Г\ Н чтобы получить некомпактную риманову поверхность, называемую модулярной кривой и обычно обозначаемую Y (Г).

Компактифицированные модульные кривые

Общая компактификация Y (Γ) получается добавлением конечного числа точек, называемых точками возврата Γ. В частности, это делается путем рассмотрения действия Γ на расширенной комплексной верхней полуплоскости H * = H ∪ Q ∪ {∞ }. Введем топологию на H *, взяв за основу:

• любое открытое подмножество H ,
• для всех r > 0 множество $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}$
• для всех взаимно простых целых чисел a , c и всех r > 0 образ $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}$ под действием

${\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}$

где m , n — целые числа такие, что an + cm = 1.

Это превращает H * в топологическое пространство, которое является подмножеством сферы Римана P ¹ ( С ). Группа Γ действует на подмножестве Q ∪ {∞ }, разбивая его на конечное число орбит, называемых точками возврата Γ . Если Γ действует транзитивно на Q ∪ {∞ }, пространство Γ\ H * становится александровой компактификацией Γ\ H . * можно придать комплексную структуру, И снова фактору Г\ Н превратив его в риманову поверхность, обозначаемую X (Г), которая теперь является компактной . Это пространство является компактификацией Y (Γ).

Примеры

Наиболее распространенными примерами являются кривые X ( N ), X ₀ ( N ) и X ₁ ( N ), связанные с подгруппами Γ ( N ), Γ ₀ ( N ) и Γ ₁ ( N ).

Модулярная кривая X (5) имеет род 0: это сфера Римана с 12 точками возврата, расположенными в вершинах правильного икосаэдра . Накрытие X (5) → X (1) реализуется действием группы икосаэдра на сферу Римана. Эта группа представляет собой простую группу порядка 60, изоморфную A ₅ и PSL(2, 5).

Модульная кривая X (7) представляет собой квартику Клейна рода 3 с 24 точками возврата. Его можно интерпретировать как поверхность с тремя ручками, выложенными 24 семиугольниками, с выступом в центре каждой грани. Эти мозаики можно понять с помощью рисунков детей и функций Белого : точки возврата — это точки, лежащие над ∞ (красные точки), а вершины и центры ребер (черные и белые точки) — это точки, лежащие над 0 и 1. Группа Галуа накрытия X (7) → X (1) — простая группа порядка 168, изоморфная PSL(2, 7) .

Существует явная классическая модель X ₀ ( N ), классической модулярной кривой ; иногда это называют модульной кривой. Определение Γ( N ) можно переформулировать следующим образом: это подгруппа модулярной группы, которая является ядром редукции по модулю N . Тогда Γ ₀ ( N ) — это большая подгруппа матриц, которые являются верхнетреугольными по модулю N :

$\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},$

и Γ ₁ ( N ) — промежуточная группа, определяемая следующим образом:

$\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.$

Эти кривые имеют прямую интерпретацию как пространства модулей для эллиптических кривых со структурой уровней и по этой причине играют важную роль в арифметической геометрии . уровня N Модульная кривая X ( N ) представляет собой пространство модулей эллиптических кривых с базисом N - кручения . Для X ₀ ( N ) и X ₁ ( N ) структура уровней представляет собой соответственно циклическую подгруппу порядка N и точку порядка N . Эти кривые изучены очень подробно, и, в частности, известно, что N ₍ ) можно определить над Q. X0

Уравнения, определяющие модульные кривые, являются наиболее известными примерами модульных уравнений . «Лучшие модели» могут сильно отличаться от тех, которые взяты непосредственно из теории эллиптических функций . Операторы Гекке можно изучать геометрически как соответствия , соединяющие пары модулярных кривых.

факторы H Компактные встречаются для фуксовых групп Γ, отличных от подгрупп модулярной группы; класс их, построенный на основе алгебр кватернионов, также представляет интерес для теории чисел.

Род

Накрытие X ( N ) → X (1) является покрытием Галуа с группой Галуа SL(2, N )/{1, −1}, которая равна PSL(2, N ), если N простое. Применяя формулу Римана–Гурвица и теорему Гаусса–Бонне , можно вычислить род X ( N ). Для простого уровня p ≥ 5,

$-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,$

где χ = 2 − 2 g — эйлерова характеристика , | г | = ( p +1) p ( p −1)/2 — порядок группы PSL(2, p ), а D = π — π/2 — π/3 — π/ p — угловой дефект сферической (2,3, p ) треугольник. В результате получается формула

$g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).$

Таким образом, X (5) имеет род 0, X (7) имеет род 3, а X (11) имеет род 26. При p = 2 или 3 необходимо дополнительно учитывать ветвление, т. е. наличие порядка p элементы в PSL(2, Z ), а также тот факт, что PSL(2, 2) имеет порядок 6, а не 3. Существует более сложная формула для рода модулярной кривой X ( N ) любого уровня N , которая включает в себя делители N .

Род ноль

В общем, поле модулярной функции — это функциональное поле модулярной кривой (или, иногда, некоторого другого пространства модулей , которое оказывается неприводимым многообразием ). Нулевой род означает, что такое функциональное поле имеет одну трансцендентную функцию в качестве генератора: например, j-функция генерирует функциональное поле X (1) = PSL(2, Z )\ H *. Традиционное название такого генератора, уникальное с точностью до преобразования Мёбиуса и поддающееся соответствующей нормализации, — Hauptmodul ( основная или основная модульная функция , множественное число Hauptmoduln ).

Пространства X ₁ ( n ) имеют нулевой род при n = 1, ..., 10 и n = 12. Поскольку каждая из этих кривых определена над Q и имеет Q -рациональную точку, отсюда следует, что существует бесконечно много рациональных точек. точки на каждой такой кривой и, следовательно, бесконечное множество эллиптических кривых, определенных над Q с n -кручением для этих значений n . Обратное утверждение о том, что могут встречаться только эти значения n , является теоремой кручения Мазура .

X ₀ ( N ) рода один

Модульные кривые $\textstyle X_{0}(N)$ имеют род один тогда и только тогда, когда $\textstyle N$ равно одному из 12 значений, перечисленных в следующей таблице. Как эллиптические кривые над $\mathbb {Q}$, они имеют минимальные целые модели Вейерштрасса $y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$. Это, $\textstyle a_{j}\in \mathbb {Z}$ и абсолютное значение дискриминанта $\Delta$ минимальна среди всех интегральных моделей Вейерштрасса для одной и той же кривой. В следующей таблице приведены уникальные сокращенные , минимальные и целые модели Вейерштрасса, что означает $\textstyle a_{1},a_{3}\in \{0,1\}$ и $\textstyle a_{2}\in \{-1,0,1\}$. Последний столбец этой таблицы относится к домашней странице соответствующей эллиптической модульной кривой. $\textstyle X_{0}(N)$ о базе данных L-функций и модульных форм (LMFDB) .

$X_{0}(N)$ рода 1

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$
$N$	$[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6}]$	$\Delta$	ЛМФДБ
11	[0, -1, 1, -10, -20]	$\textstyle -11^{5}$	связь
14	[1, 0, 1, 4, -6]	$\textstyle -2^{6}\cdot 7^{3}$	связь
15	[1, 1, 1, -10, -10]	$\textstyle 3^{4}\cdot 5^{4}$	связь
17	[1, -1, 1, -1, -14]	$\textstyle -17^{4}$	связь
19	[0, 1, 1, -9, -15]	$\textstyle -19^{3}$	связь
20	[0, 1, 0, 4, 4]	$\textstyle -2^{8}\cdot 5^{2}$	связь
21	[1, 0, 0, -4, -1]	$\textstyle 3^{4}\cdot 7^{2}$	связь
24	[0, -1, 0, -4, 4]	$\textstyle 2^{8}\cdot 3^{2}$	связь
27	[0, 0, 1, 0, -7]	$\textstyle -3^{9}$	связь
32	[0, 0, 0, 4, 0]	$\textstyle -2^{12}$	связь
36	[0, 0, 0, 0, 1]	$\textstyle -2^{4}\cdot 3^{3}$	связь
49	[1, -1, 0, -2, -1]	$\textstyle -7^{3}$	связь

Отношения с группой Monster

Модульные кривые рода 0, которые довольно редки, оказались очень важными в связи с чудовищными самогонными гипотезами. Первые несколько коэффициентов q -разложений их Hauptmoduln были вычислены еще в 19 веке, но стало шоком, что те же самые большие целые числа оказались размерностями представлений самой большой спорадической простой группы Monster.

Другая связь состоит в том, что модулярная кривая, соответствующая нормализатору Γ 0 ₍ p ) , ⁺ Γ p ₀ ( p ) в SL(2, R ) имеет нулевой род тогда и только тогда, когда равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71, и это именно основные факторы порядка группы монстров . Результат о Γ ₀ ( p ) ⁺ принадлежит Жану-Пьеру Серру , Эндрю Оггу и Джону Г. Томпсону в 1970-х годах, а последующее наблюдение, связывающее его с группой монстров, принадлежит Оггу, который написал статью, предлагающую бутылку виски Jack Daniel's каждому, кто мог объясните этот факт, послуживший отправной точкой для теории чудовищного самогона.

Эта связь очень глубока и, как продемонстрировал Ричард Борчердс , она также включает в себя обобщенные алгебры Каца – Муди . Работы в этой области подчеркнули важность мероморфных модулярных функций , которые могут иметь полюсы в точках возврата, в отличие от модулярных форм , которые голоморфны всюду, включая точки возврата, и были основными объектами изучения на протяжении большей части XIX века. 20 век.

См. также

• Теорема Манина–Дринфельда
• Стек модулей эллиптических кривых
• Теорема модульности
• Разнообразие Шимуры , обобщение модульных кривых на более высокие измерения.

Ссылки

• Стивен Д. Гэлбрейт - Уравнения для модульных кривых

• Шимура, Горо (1994) [1971], Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации Математического общества Японии, том. 11, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-08092-5 , MR   1291394 , Лекции Мемориала Кано, 1 {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Панчишкин А.А.; Паршин А.Н. , «Модулярная кривая» , Математическая энциклопедия , ISBN  1-4020-0609-8
• Огг, Эндрю П. (1974), «Автоморфизмы модулярных кривых» (PDF) , Семинар Деланжа-Пизо-Пуату. Теория чисел, том 16, вып. 1 (1974–1975), эксп. нет. 7 (на французском языке), МР   0417184