Расширение Александроффа

В математической области топологии представляет расширение Александрова собой способ расширения некомпактного топологического пространства путем присоединения одной точки таким образом, чтобы полученное пространство было компактным . Он назван в честь русского математика Павла Александрова .Точнее, пусть X — топологическое пространство. Тогда расширение Александрова X — это некоторый компакт X * вместе с открытым вложением c : X → X * таким, что дополнение X в X * состоит из одной точки, обычно обозначаемой ∞. Отображение c является хаусдорфовой компактификацией тогда и только тогда, когда X — локально компактное некомпактное хаусдорфово пространство . Для таких пространств расширение Александрова называется одноточечной компактификацией или компактификацией Александрова . Преимущества компактификации Александрова заключаются в ее простой, часто геометрически значимой структуре и том факте, что она в точном смысле минимальна среди всех компактификаций; недостаток заключается в том, что он дает хаусдорфову компактификацию только на классе локально компактных некомпактных хаусдорфовых пространств, в отличие от Компактификация Стоуна-Чеха , существующая для любого топологического пространства (но обеспечивающая вложение именно для тихоновских пространств ).

Пример: обратная стереографическая проекция

Геометрически привлекательный пример одноточечной компактификации даёт обратная стереографическая проекция . Напомним, что стереографическая проекция S дает явный гомеоморфизм единичной сферы минус северный полюс (0,0,1) на евклидову плоскость. Обратная стереографическая проекция $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ — открытое плотное вложение в хаусдорфово пространство, полученное присоединением дополнительной точки $\infty =(0,0,1)$. По широтным кругам в стереографической проекции $z=c$ сопоставить с плоскими кругами ${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$. Отсюда следует, что удаленный базис окрестности $(0,0,1)$ за счет проколотых сферических колпачков $c\leq z<1$ соответствует дополнениям к замкнутым плоским дискам ${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$. Более качественно, базис соседства в $\infty$ обставлен комплектами $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ поскольку K пробегает компактные подмножества $\mathbb {R} ^{2}$. Этот пример уже содержит ключевые понятия общего случая.

Мотивация

Позволять $c:X\hookrightarrow Y$ — вложение топологического пространства X в компактное хаусдорфово топологическое пространство Y с плотным образом и одноточечным остатком $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$. Тогда c ( X ) открыто в компактном хаусдорфовом пространстве, поэтому локально компактно, следовательно, его гомеоморфный прообраз X также локально компактен. Более того, если бы X было компактным, то c ( X ) было бы замкнуто в Y и, следовательно, неплотно. Таким образом, пространство может допускать одноточечную хаусдорфову компактификацию только в том случае, если оно локально компактно, некомпактно и хаусдорфово. Более того, при такой одноточечной компактификации образ базиса окрестности для x в X дает базис окрестности для c ( x ) в c ( X ), и — поскольку подмножество компакта Хаусдорфа компактно тогда и только тогда, когда оно закрыто – открытые кварталы $\infty$ должны быть все множества, полученные присоединением $\infty$ к образу под c подмножества X с компактным дополнением .

Расширение Александрова

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Помещать $X^{*}=X\cup \{\infty \},$ и топологизировать $X^{*}$ взяв в качестве открытых множеств все открытые множества из X вместе со всеми множествами вида $V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}$ где C замкнуто и компактно X. в Здесь, $X\setminus C$ обозначает дополнение $C$ в $X.$ Обратите внимание, что $V$ это открытый район $\infty ,$ и, таким образом, любая открытая крышка $\{\infty \}$ будет содержать все, кроме компактного подмножества $C$ из $X^{*},$ подразумевая, что $X^{*}$ компактен ( Келли 1975 , стр. 150).

Пространство $X^{*}$ называется Александрова расширением X (Уиллард, 19А). Иногда то же имя используется для карты включения. $c:X\to X^{*}.$

Приведенные ниже свойства следуют из приведенного выше обсуждения:

• Карта c непрерывна и открыта: она вкладывает X как открытое подмножество $X^{*}$.
• Пространство $X^{*}$ компактен.
• Образ c ( X ) плотен в $X^{*}$, если X некомпактно.
• Пространство $X^{*}$ хаусдорфово X тогда и только тогда, когда хаусдорфово и локально компактно .
• Пространство $X^{*}$ является T ₁ тогда и только тогда, когда X есть T ₁ .

Одноточечная компактификация

В частности, расширение Александрова $c:X\rightarrow X^{*}$ является хаусдорфовой компактификацией X тогда и только тогда, когда X хаусдорфово, некомпактно и локально компактно. В этом случае она называется одноточечной компактификацией или компактификацией Александрова X .

Напомним из вышеизложенного, что любая хаусдорфова компактификация с одним остатком обязательно (изоморфна) александровской компактификации. В частности, если $X$ является компактным Хаусдорфовым пространством и $p$ является предельной точкой $X$ (т.е. не изолированная точка $X$), $X$ является компактификацией Александрова $X\setminus \{p\}$.

Пусть X — любое некомпактное тихоновское пространство . При естественном частичном упорядочении на множестве ${\mathcal {C}}(X)$ Из классов эквивалентности компактификаций любой минимальный элемент эквивалентен расширению Александрова (Энгелькинг, теорема 3.5.12). Отсюда следует, что некомпактное тихоновское пространство допускает минимальную компактификацию тогда и только тогда, когда оно локально компактно.

Нехаусдорфовые одноточечные компактификации

Позволять $(X,\tau )$ — произвольное некомпактное топологическое пространство. Может возникнуть желание определить все компактификации (не обязательно Хаусдорфа) $X$ также можно назвать одноточечной компактификацией получается добавлением одной точки, что в этом контексте . Итак, человек хочет определить все возможные способы дать $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ компактная топология такая, что $X$ плотно в нем и топология подпространства на $X$ вызванный из $X^{*}$ такая же, как исходная топология. Последнее условие совместимости топологии автоматически означает, что $X$ плотный в $X^{*}$, потому что $X$ некомпактно, поэтому его нельзя замкнуть в компактном пространстве.Кроме того, фактом является то, что карта включения $c:X\to X^{*}$ обязательно является открытым вложением, т. е. $X$ должен быть открыт в $X^{*}$ и топология на $X^{*}$ должен содержать каждого членаиз $\tau$. Итак, топология на $X^{*}$ определяется окрестностями $\infty$. Любой район г. $\infty$ обязательно является дополнением в $X^{*}$ замкнутого компактного подмножества $X$, как обсуждалось ранее.

Топологии на $X^{*}$ что делает его компактификацией $X$ следующие:

• Расширение Александрова $X$ определено выше. Здесь мы берем дополнения ко всем замкнутым компактным подмножествам $X$ как районы $\infty$. Это самая большая топология, которая делает $X^{*}$ одноточечная компактификация $X$.
• Топология открытого расширения . Здесь мы добавляем одну окрестность $\infty$, а именно все пространство $X^{*}$. Это наименьшая топология, которая делает $X^{*}$ одноточечная компактификация $X$.
• Любая топология, промежуточная между двумя топологиями, описанными выше. Для районов г. $\infty$ необходимо выбрать подходящее подсемейство дополнений ко всем замкнутым компактным подмножествам $X$; например, дополнения ко всем конечным замкнутым компактным подмножествам или дополнения ко всем счетным замкнутым компактным подмножествам.

Дальнейшие примеры

Компактификации дискретных пространств

• Одноточечная компактификация множества натуральных чисел гомеоморфна пространству , состоящему из K = {0} U {1/ n | n — целое положительное число} с топологией порядка.
• Последовательность $\{a_{n}\}$ в топологическом пространстве $X$ сходится к точке $a$ в $X$, тогда и только тогда, когда карта $f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X$ данный $f(n)=a_{n}$ для $n$ в $\mathbb {N}$ и $f(\infty )=a$ является непрерывным. Здесь $\mathbb {N}$ имеет дискретную топологию .
• Полиадические пространства определяются как топологические пространства, которые являются непрерывным образом мощности одноточечной компактификации дискретного локально компактного хаусдорфова пространства.

Компактификации непрерывных пространств

• Одноточечная компактификация n -мерного евклидова пространства R ^н гомеоморфна n -сфере S ^н . Как и выше, карта может быть задана явно как n -мерная обратная стереографическая проекция.
• Одноточечная компактификация произведения $\kappa$ копии полуинтервала [0,1), то есть $[0,1)^{\kappa }$, (гомеоморфен) $[0,1]^{\kappa }$.
• Поскольку замыкание связного подмножества связно, связно расширение Александрова некомпактного связного пространства. Однако одноточечная компактификация может «соединить» несвязное пространство: например, одноточечная компактификация дизъюнктного объединения конечного числа. $n$ копий интервала (0,1) представляет собой клин $n$ круги .
• Одноточечная компактификация дизъюнктного объединения счетного числа копий интервала (0,1) — это гавайская серьга . Это отличается от клина из счетного числа кругов, который не является компактным.
• Данный $X$ компактный Хаусдорф и $C$ любое закрытое подмножество $X$, одноточечная компактификация $X\setminus C$ является $X/C$, где косая черта обозначает факторпространство .
• Если $X$ и $Y$ локально компактны по Хаусдорфу, то $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ где $\wedge$ это потрясающий продукт . Напомним, определение шлягерного продукта: $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ где $A\vee B$ — это клиновая сумма , и снова / обозначает фактор-пространство.

Как функтор

Расширение Александрова можно рассматривать как функтор из категории топологических пространств с собственными непрерывными отображениями как морфизмами в категорию, объектами которой являются непрерывные отображения. $c\colon X\rightarrow Y$ и для которого морфизмы из $c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}$ к $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ представляют собой пары непрерывных отображений $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ такой, что $f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}$. В частности, гомеоморфные пространства имеют изоморфные расширения Александрова.

См. также

• Компактификация Бора - компактная группа Хаусдорфа, связанная с топологической группой. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Компактное пространство - Тип математического пространства.
• Компактификация (математика) - вложение топологического пространства в компактное пространство как плотное подмножество.
• Конец (топология) – в топологии связанные компоненты «идеальной границы» пространства. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Расширенная строка действительных чисел — действительные числа с добавлением +∞ и −∞.
• Нормальное пространство - Тип топологического пространства.
• Остроконечное множество - основная концепция теории множеств.
• Сфера Римана - модель расширенной комплексной плоскости плюс бесконечная точка.
• Стереографическая проекция - особое отображение, при котором сфера проецируется на плоскость.
• Компактификация Стоуна – Чеха – универсальное отображение топологического пространства X в бикомпакт βX, такое, что любое отображение X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X — Тихонов, то X — плотное подпространство страниц βX, отображающее описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Компактификация Уоллмана - компактификация _{T 1.} топологических пространств

Ссылки

• Александрофф, Павел С. (1924), «О метризации малых компактных топологических пространств» , Mathematical Annals , 92 (3–4): 294–301, doi : 10.1007/BF01448011 , JFM   50.0128.04 , S2CID   121699713
• Браун, Рональд (1973), «Секвенциально правильные отображения и последовательная компактификация», Журнал Лондонского математического общества , серия 2, 7 (3): 515–522, doi : 10.1112/jlms/s2-7.3.515 , Zbl   0269.54015

• Энгелькинг, Рышард (1989), Общая топология , Helderman Verlag Berlin , ISBN  978-0-201-08707-9 , МР   1039321
• Федорчук, В.В. (2001) [1994], «Александровская компактификация» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Келли, Джон Л. (1975), Общая топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90125-1 , МР   0370454
• Манкрес, Джеймс (1999), Топология (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN  0-13-181629-2 , Збл   0951.54001
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Аддисон-Уэсли , ISBN  3-88538-006-4 , МР   0264581 , Збл   0205.26601