Полиадическое пространство

В математике полиадическое пространство — это топологическое пространство , которое является образом непрерывной функции топологической степени александровской одноточечной компактификации дискретного пространства .

История

Полиадические пространства были впервые изучены С. Мрувкой в 1970 как обобщение диадических пространств . ^[1] Теория была развита далее Р.Х. Марти, Яношем Герлитсом и Мюрреем Г. Беллом. ^[2] последний из которых ввел понятие более общего центрированного пространства . ^[1]

Фон

Подмножество K топологического пространства X называется компактным если каждое открытое покрытие K , содержит конечное подпокрытие. Говорят, что оно локально компактно в точке x ∈ X , если x лежит внутри некоторого компактного подмножества X . X является локально компактным пространством , если оно локально компактно в каждой точке пространства. ^[3]

Собственное подмножество A ⊂ X называется плотным, если замыкание Ā = X . Пространство, множество которого имеет счетное плотное подмножество, называется сепарабельным пространством .

Для некомпактного локально компактного топологического пространства Хаусдорфа $(X,\tau _{X})$ , мы определяем одноточечную компактификацию Александрова как топологическое пространство с множеством $\left\{\omega \right\}\cup X$ , обозначенный $\omega X$ , где $\omega \notin X$ , с топологией $\tau _{\omega X}$ определяется следующим образом: ^[2]^[4]

$\tau _{X}\subseteq \tau _{\omega X}$
$X\setminus C\cup \left\{\omega \right\}\in \tau _{\omega X}$ , для каждого компактного подмножества $C\subseteq X$ .

Определение

Позволять $X$ — дискретное топологическое пространство, и пусть $\omega X$ — одноточечная компактификация Александрова $X$ . Хаусдорфово пространство $P$ является полиадическим, если для некоторого кардинального числа $\lambda$ , существует непрерывная сюръективная функция $f:\omega X^{\lambda }\rightarrow P$ , где $\omega X^{\lambda }$ - пространство продукта, полученное путем умножения $\omega X$ с самим собой $\lambda$ раз. ^[5]

Примеры

Возьмите набор натуральных чисел $\mathbb {Z} ^{+}$ с дискретной топологией. Его одноточечная компактификация по Александрову равна $\omega \mathbb {Z} ^{+}$ . Выбирать $\lambda =1$ и определим гомеоморфизм $h:\omega \mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \left[0,1\right]$ с отображением

h(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}

Из определения следует, что пространство образов $h[\omega \mathbb {Z} ]=\left\{0\right\}\cup \left\{1/n\,:\,n\in \mathbb {N} \right\}$ полиадична и компактна непосредственно по определению компактности, без использования Гейне-Бореля.

Каждое диадическое пространство (компакт, являющийся непрерывным образом канторова множества ^[6]) — полиадическое пространство. ^[7]

Пусть X — сепарабельный компакт. Если X — метризуемое пространство , то оно полиадично (верно и обратное). ^[2]

Характеристики

Клеточность $c(X)$ пространства $X$ является $c(X)=\sup \left\{\vert B\vert :B{\text{ is a disjoint collection of open sets of }}X\right\}$

Герметичность $t(X)$ пространства $X$ определяется следующим образом: пусть $A\subseteq X$ , и $p\in {\bar {A}}$ . Определять $a(p,A):=\min \left\{\vert B\vert :p\in \mathrm {cl} _{X}(B),B\subset A\right\}$ $t(p,X):=\sup \left\{a(p,A):A\subseteq X,p\in \mathrm {cl} _{X}(A)\right\}$ Затем $t(X):=\sup \left\{t(p,X):p\in X\right\}.$ ^[8]

Топологический вес $w(X)$ полиадического пространства $X$ удовлетворяет равенству $w(X)=c(X)\cdot t(X)$ . ^[9]

Позволять $X$ — полиадическое пространство, и пусть $A\subseteq X$ . Тогда существует полиадическое пространство $P\subseteq X$ такой, что $A\subseteq P$ и $c(P)\leq c(A)$ . ^[9]

Полиадические пространства — это наименьший класс топологических пространств, которые содержат метрические компакты и замкнуты относительно произведений и непрерывных образов. ^[10] Каждое полиадическое пространство $X$ веса $\leq 2^{\omega }$ представляет собой непрерывное изображение $\mathbb {Z} ^{+}$ . ^[10]

Топологическое пространство $X$ обладает свойством Суслина , если не существует несчетного семейства попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств $X$ . ^[11] Предположим, что $X$ обладает свойством Суслина и полиадична. Затем $X$ является диадическим. ^[12]

Позволять $dis(X)$ быть наименьшим количеством дискретных множеств, необходимых для покрытия $X$ , и пусть $\Delta (X)$ обозначают наименьшую мощность непустого открытого множества в $X$ . Если $X$ является полиадическим пространством, то $dis(X)\geq \Delta (X)$ . ^[9]

Теорема Рамсея

Существует аналог теоремы Рамсея из комбинаторики для полиадических пространств. Для этого мы опишем связь между булевыми пространствами и полиадическими пространствами. Позволять $CO(X)$ обозначают открыто-замкнутую алгебру всех открыто-замкнутых подмножеств $X$ . Мы определяем булево пространство как компактное хаусдорфово пространство, базой которого является $CO(X)$ . Элемент $G\in CO(X)'$ такой, что $\langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)$ называется генераторной установкой для $CO(X)$ . Мы говорим $G$ это $(\tau ,\kappa )$ -непересекающаяся коллекция, если $G$ это объединение максимум $\tau$ подколлекции $G_{\alpha }$ , где для каждого $\alpha$ , $G_{\alpha }$ представляет собой непересекающуюся совокупность мощностей не более $\kappa$ Петр Симон доказал, что $X$ — логическое пространство с порождающим набором $G$ из $CO(X)$ существование $(\tau ,\kappa )$ -непересекающиеся тогда и только тогда, когда $X$ гомеоморфно замкнутому подпространству $\alpha \kappa ^{\tau }$ . ^[8] Свойство, подобное Рамсею, для полиадических пространств, сформулированное Мюрреем Беллом для булевых пространств, тогда заключается в следующем: каждая несчетная открыто-замкнутая коллекция содержит несчетную подколлекцию, которая либо связана, либо не пересекается. ^[13]

Компактность

Определим число компактности пространства $X$ , обозначенный $\operatorname {cmpn} \,X$ , чтобы быть наименьшим числом $n$ такой, что $X$ имеет n-арную замкнутую подбазу . Мы можем построить полиадические пространства с произвольным числом компактности. Мы продемонстрируем это, используя две теоремы, доказанные Мюрреем Беллом в 1985 году. Пусть ${\mathcal {S}}$ быть коллекцией множеств и пусть $S$ быть набором. Обозначим множество $\{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\}$ к ${\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}$ ; все подмножества $S$ размера $n$ к $[S]^{n}$ ; и все подмножества размера не более $n$ к $[S]^{<=n}$ . Если $2\leq n<\omega$ и $\bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset$ для всех ${\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}$ , тогда мы говорим, что ${\mathcal {S}}$ является n-связанным. Если каждое n-связанное подмножество ${\mathcal {S}}$ имеет непустое пересечение, то мы говорим, что ${\mathcal {S}}$ является n-арным. Обратите внимание, что если ${\mathcal {S}}$ является n-арным, то также ${\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}$ , и, следовательно, каждое пространство $X$ с $\operatorname {cmpn} \,X\leq n$ имеет закрытую n-арную подбазу ${\mathcal {S}}$ с ${\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}$ . Обратите внимание, что коллекция ${\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}$ замкнутых подмножеств компакта $X$ является закрытой подбазой тогда и только тогда, когда для каждой замкнутой подбазы $K$ в открытом наборе $U$ , существует конечное ${\mathcal {F}}$ такой, что ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}$ и $K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U$ . ^[14]

Позволять $S$ бесконечное множество и пусть $n$ таким числом, что $1\leq n<\omega$ . Определим топологию продукта на $[S]^{\leq n}$ следующим образом: для $s\in S$ , позволять $s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}$ , и пусть $s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}$ . Позволять ${\mathcal {S}}$ быть коллекцией ${\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}$ . Мы берем ${\mathcal {S}}$ как открытая подбаза для нашей топологии на $[S]^{\leq n}$ . Эта топология компактна и хаусдорфова. Для $k$ и $n$ такой, что $0\leq k\leq n$ , у нас это есть $[S]^{k}$ является дискретным подпространством $[S]^{\leq n}$ , и, следовательно, это $[S]^{\leq n}$ представляет собой союз $n+1$ дискретные подпространства. ^[14]

Теорема (Верхняя оценка $\operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}$ ): За каждый общий заказ $<$ на $S$ , есть $n+1$ -арная закрытая подоснова ${\mathcal {R}}$ из $[S]^{\leq 2n}$ .

Доказательство : Для $s\in S$ , определять $L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}$ и $R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}$ . Набор ${\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}$ . Для $A$ , $B$ и $C$ такой, что $A\cup B\cup C\neq \emptyset$ , позволять ${\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}$ такой, что ${\mathcal {F}}$ это $n+1$ -связанное подмножество ${\mathcal {R}}$ . Покажи это $A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}$ . $\blacksquare$

Для топологического пространства $X$ и подпространство $A\in X$ , мы говорим, что непрерывная функция $r:X\rightarrow A$ является отказом , если $r|_{A}$ это карта идентичности на $A$ . Мы говорим, что $A$ является отказом от $X$ . Если существует открытое множество $U$ такой, что $A\subset U\subset X$ , и $A$ является отказом от $U$ , тогда мы говорим, что $A$ является ретрактом окрестности $X$ .

Теорема (нижняя оценка $\operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}$ ) Позволять $n$ быть таким, что $2\leq n<\omega$ . Затем $[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}$ не может быть встроен в качестве ретракта соседства в какое-либо пространство $K$ с $\operatorname {cmpn} \,K\leq n$ .

Из двух приведенных выше теорем можно вывести, что для $n$ такой, что $1\leq n<\omega$ , у нас это есть $\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1=\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n}$ .

Позволять $A$ — одноточечная компактификация Александрова дискретного пространства $S$ , так что $A=S\cup \{\infty \}$ . Определим непрерывную сюръекцию $g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}$ к $g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S$ . Отсюда следует, что $[S]^{\leq n}$ является полиадическим пространством. Следовательно $[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}$ — полиадическое пространство с числом компактности $\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1$ . ^[14]

Обобщения

Центрированные пространства, AD-компактные пространства ^[15] и ξ-адические пространства ^[16] являются обобщениями полиадических пространств.

Центрированное пространство

Позволять ${\mathcal {S}}$ быть набором наборов. Мы говорим, что ${\mathcal {S}}$ центрировано, если $\bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset$ для всех конечных подмножеств ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}$ . ^[17] Определите логическое пространство $Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}$ , с топологией подпространства из $2^{\mathcal {S}}$ . Мы говорим, что пространство $X$ является центрированным пространством, если существует коллекция ${\mathcal {S}}$ такой, что $X$ представляет собой непрерывное изображение $Cen({\mathcal {S}})$ . ^[18]

Центрированные пространства были предложены Мюрреем Беллом в 2004 году.

AD-компактное пространство

Позволять $X$ непустое множество, и рассмотрим семейство его подмножеств ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ . Мы говорим, что ${\mathcal {A}}$ является полноценной семьей, если:

$A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}$
данный $A\subseteq X$ , если каждое конечное подмножество $A$ находится в ${\mathcal {A}}$ , затем $A\in {\mathcal {A}}$ .

Мы можем лечить ${\mathcal {A}}$ как топологическое пространство, считая его подмножеством канторового куба $D^{X}$ , и в данном случае мы обозначаем его $K({\mathcal {A}})$ .

Позволять $K$ быть компактным пространством. Если существует набор $X$ и адекватная семья ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ , такой, что $K$ представляет собой непрерывное изображение $K({\mathcal {A}})$ , тогда мы говорим, что $K$ является AD-компактом.

AD-компакты были введены Гжегожем Плебанеком. Он доказал, что они замкнуты относительно произвольных произведений и компактификаций Александрова непересекающихся объединений . Отсюда следует, что всякое полиадическое пространство является AD-компактным пространством. Обратное неверно, поскольку существуют AD-компакты, которые не являются полиадическими. ^[15]

ξ-т.е. пространство

Позволять $\kappa$ и $\tau$ будьте кардиналами, и пусть $X$ быть Хаусдорфовым пространством. Если существует непрерывная сюръекция из $(\kappa +1)^{\tau }$ к $X$ , затем $X$ называется ξ-адическим пространством. ^[16]

ξ-адические пространства были предложены С. Мровкой, а следующие результаты о них дал Янош Герлитс (они применимы и к полиадическим пространствам, поскольку являются частным случаем ξ-адических пространств). ^[19]

Позволять ${\mathfrak {n}}$ бесконечный кардинал, и пусть $X$ быть топологическим пространством. Мы говорим, что $X$ имеет собственность $\mathbf {B} ({\mathfrak {n}})$ если для любой семьи $\{G_{\alpha }:\alpha \in A\}$ непустых открытых подмножеств $X$ , где $|A|={\mathfrak {n}}$ , мы можем найти набор $B\subset A$ и точка $p\in X$ такой, что $|B|={\mathfrak {n}}$ и для каждого района $N$ из $p$ , у нас это есть $|\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}$ .

Если $X$ является ξ-адическим пространством, то $X$ имеет собственность $\mathbf {B} ({\mathfrak {n}})$ для каждого бесконечного кардинала ${\mathfrak {n}}$ . Из этого результата следует, что никакое бесконечное ξ-адическое хаусдорфово пространство не может быть экстремально несвязным пространством . ^[19]

Гиадическое пространство

Гиадические пространства были введены Эриком ван Даувеном . ^[20] Они определяются следующим образом.

Позволять $X$ быть Хаусдорфовым пространством. Обозначим через $H(X)$ гиперпространство $X$ . Определим подпространство $J_{2}(X)$ из $H(X)$ к $\{F\in H(X):|F|\leq 2\}$ . База $H(X)$ является семейством всех множеств вида $\langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}$ , где $n$ любое целое число, и $U_{i}$ открыты в $X$ . Если $X$ компактно, то мы говорим, что пространство Хаусдорфа $Y$ является гиадическим, если существует непрерывная сюръекция из $H(X)$ к $Y$ . ^[21]

Полиадические пространства гиадичны. ^[22]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Харт, Клаас Питер ; Нагата, Джун-ити ; Воан, Джерри Э. (2003). «Диадическая компакта». Энциклопедия общей топологии . Эльзевир Наука . п. 193 . ISBN 978-0444503558 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Аль-Махруки, Шарифа (2013). Компактные топологические пространства, вдохновленные комбинаторными конструкциями (Диссертация). Университет Восточной Англии . стр. 8–13.
^ Мёллер, Йеспер М. (2014). «Топологические пространства и непрерывные отображения». Общая топология . п. 58. ИСБН 9781502795878 .
^ Ткачук, Владимир В. (2011). «Основные понятия топологии и функциональных пространств». Сборник задач по Cp-теории: топологические и функциональные пространства . Springer Science+Business Media . п. 35 . ISBN 9781441974426 .
^ Туржанский, Мариан (1996). Канторовы кубы: условия цепочки . Издательство Силезского университета . стр. 19. ISBN 978-8322607312 .
^ Нагата, Джун-Ити (15 ноября 1985 г.). «Темы, связанные с маппингами» . Современная общая топология . п. 298 . ISBN 978-0444876553 .
^ Дикранжан, Дикран; Сальсе, Луиджи (1998). Абелевы группы, теория модулей и топология . ЦРК Пресс . п. 339. ИСБН 9780824719371 .
^ Jump up to: ^а ^б Белл, Мюррей (2005). «Тесность в полиадических пространствах» (PDF) . Труды по топологии . 25 . Обернский университет : 2–74.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Спадаро, Санти (22 мая 2009 г.). «Заметка о дискретных множествах». Математические комментарии Университета Каролины . 50 (3): 463–475. arXiv : 0905.3588 .
^ Jump up to: ^а ^б Кошмидер, Петр (2012). «Универсальные объекты и связи между классами банаховых пространств и классами компактных пространств». arXiv : 1209.4294 [ math.FA ].
^ «Комплексный экзамен по топологии» (PDF) . Университет Огайо . 2005. Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2015 г. Проверено 14 февраля 2015 г.
^ Туржанский, Мариан (1989). «Об обобщениях диадических пространств» . Acta Universitatis Carolinae. Математика и физика . 30 (2): 154. ISSN 0001-7140 .
^ Белл, Мюррей (11 января 1996 г.). «Теорема Рамсея для полиадических пространств» . Университет Теннесси в Мартине . Проверено 14 февраля 2015 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Белл, Мюррей (1985). «Полиадические пространства произвольных чисел компактности» . Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae . 26 (2). Карлов университет в Праге : 353–361 . Проверено 27 февраля 2015 г.
^ Jump up to: ^а ^б Плебанек, Гжегож (25 августа 1995 г.). «Компактные пространства, возникающие из адекватных семейств множеств» . Топология и ее приложения . 65 (3). Эльзевир: 257–270. дои : 10.1016/0166-8641(95)00006-3 .
^ Jump up to: ^а ^б Белл, Мюррей (1998). «О характере и условиях цепи в изображениях продуктов» (PDF) . Фундамента Математика . 158 (1). Польская академия наук : 41–49.
^ Белл, Мюррей Г. (1985). «Обобщенные диадические пространства». Фундамента Математика . 125 (1): 47–58. дои : 10.4064/fm-125-1-47-58 . МР 0813988 .
^ Белл, Мюррей (2004). «Функциональные пространства на τ-корсоновских компактах и теснота полиадических пространств» . Чехословацкий математический журнал . 54 (4): 899–914. дои : 10.1007/s10587-004-6439-z . S2CID 123078792 .
^ Jump up to: ^а ^б Герлиц, Янош (1971). Новак, Йозеф (ред.). «О м-адических пространствах» . Общая топология и ее связь с современным анализом и алгеброй, Труды третьего Пражского топологического симпозиума . Прага : Издательство «Академия» Чехословацкой академии наук: 147–148.
^ Белл, Мюррей (1988). «G _k подпространства гиадических пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 104 (2). Американское математическое общество : 635–640. дои : 10.2307/2047025 . JSTOR 2047025 . S2CID 201914041 .
^ ван Даувен, Эрик К. (1990). «Отображения из гиперпространств и сходящиеся последовательности» . Топология и ее приложения . 34 (1). Эльзевир: 35–45. дои : 10.1016/0166-8641(90)90087-i .
^ Банах, Тарас (2003). «О кардинальных инвариантах и метризуемости топологических обратных полугрупп Клиффорда» . Топология и ее приложения . 128 (1). Elsevier: 38. doi : 10.1016/S0166-8641(02)00083-4 .

[Hart2003-1] Jump up to: ^а ^б Харт, Клаас Питер ; Нагата, Джун-ити ; Воан, Джерри Э. (2003). «Диадическая компакта». Энциклопедия общей топологии . Эльзевир Наука . п. 193 . ISBN 978-0444503558 .

[Mahrouqi2013-2] Jump up to: ^а ^б ^с Аль-Махруки, Шарифа (2013). Компактные топологические пространства, вдохновленные комбинаторными конструкциями (Диссертация). Университет Восточной Англии . стр. 8–13.

[Moller2014-3] Мёллер, Йеспер М. (2014). «Топологические пространства и непрерывные отображения». Общая топология . п. 58. ИСБН 9781502795878 .

[Tkachuk2011-4] Ткачук, Владимир В. (2011). «Основные понятия топологии и функциональных пространств». Сборник задач по Cp-теории: топологические и функциональные пространства . Springer Science+Business Media . п. 35 . ISBN 9781441974426 .

[Turzanski1996-5] Туржанский, Мариан (1996). Канторовы кубы: условия цепочки . Издательство Силезского университета . стр. 19. ISBN 978-8322607312 .

[Nagata1985-6] Нагата, Джун-Ити (15 ноября 1985 г.). «Темы, связанные с маппингами» . Современная общая топология . п. 298 . ISBN 978-0444876553 .

[7] Дикранжан, Дикран; Сальсе, Луиджи (1998). Абелевы группы, теория модулей и топология . ЦРК Пресс . п. 339. ИСБН 9780824719371 .

[Bell2005-8] Jump up to: ^а ^б Белл, Мюррей (2005). «Тесность в полиадических пространствах» (PDF) . Труды по топологии . 25 . Обернский университет : 2–74.

[Spadaro2009-9] Jump up to: ^а ^б ^с Спадаро, Санти (22 мая 2009 г.). «Заметка о дискретных множествах». Математические комментарии Университета Каролины . 50 (3): 463–475. arXiv : 0905.3588 .

[Piotr2012-10] Jump up to: ^а ^б Кошмидер, Петр (2012). «Универсальные объекты и связи между классами банаховых пространств и классами компактных пространств». arXiv : 1209.4294 [ math.FA ].

[TopologyExam2005-11] «Комплексный экзамен по топологии» (PDF) . Университет Огайо . 2005. Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2015 г. Проверено 14 февраля 2015 г.

[Turzanski1989-12] Туржанский, Мариан (1989). «Об обобщениях диадических пространств» . Acta Universitatis Carolinae. Математика и физика . 30 (2): 154. ISSN 0001-7140 .

[Bell2006-13] Белл, Мюррей (11 января 1996 г.). «Теорема Рамсея для полиадических пространств» . Университет Теннесси в Мартине . Проверено 14 февраля 2015 г.

[Bell1985-14] Jump up to: ^а ^б ^с Белл, Мюррей (1985). «Полиадические пространства произвольных чисел компактности» . Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae . 26 (2). Карлов университет в Праге : 353–361 . Проверено 27 февраля 2015 г.

[Plebanek1995-15] Jump up to: ^а ^б Плебанек, Гжегож (25 августа 1995 г.). «Компактные пространства, возникающие из адекватных семейств множеств» . Топология и ее приложения . 65 (3). Эльзевир: 257–270. дои : 10.1016/0166-8641(95)00006-3 .

[Bell1998-16] Jump up to: ^а ^б Белл, Мюррей (1998). «О характере и условиях цепи в изображениях продуктов» (PDF) . Фундамента Математика . 158 (1). Польская академия наук : 41–49.

[Bell1985b-17] Белл, Мюррей Г. (1985). «Обобщенные диадические пространства». Фундамента Математика . 125 (1): 47–58. дои : 10.4064/fm-125-1-47-58 . МР 0813988 .

[Bell2004-18] Белл, Мюррей (2004). «Функциональные пространства на τ-корсоновских компактах и теснота полиадических пространств» . Чехословацкий математический журнал . 54 (4): 899–914. дои : 10.1007/s10587-004-6439-z . S2CID 123078792 .

[Gerlits1972-19] Jump up to: ^а ^б Герлиц, Янош (1971). Новак, Йозеф (ред.). «О м-адических пространствах» . Общая топология и ее связь с современным анализом и алгеброй, Труды третьего Пражского топологического симпозиума . Прага : Издательство «Академия» Чехословацкой академии наук: 147–148.

[Bell1988-20] Белл, Мюррей (1988). «G _k подпространства гиадических пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 104 (2). Американское математическое общество : 635–640. дои : 10.2307/2047025 . JSTOR 2047025 . S2CID 201914041 .

[VanDouwen1990-21] ван Даувен, Эрик К. (1990). «Отображения из гиперпространств и сходящиеся последовательности» . Топология и ее приложения . 34 (1). Эльзевир: 35–45. дои : 10.1016/0166-8641(90)90087-i .

[22] Банах, Тарас (2003). «О кардинальных инвариантах и метризуемости топологических обратных полугрупп Клиффорда» . Топология и ее приложения . 128 (1). Elsevier: 38. doi : 10.1016/S0166-8641(02)00083-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]