Суперкомпактное пространство

В математике , в области топологии , топологическое пространство называется сверхкомпактным , если существует подбазис такой, что каждое открытое покрытие топологического пространства из элементов подбазиса имеет подпокрытие не более чем с двумя элементами подбазиса. Сверхкомпактность и связанное с ней понятие сверхрасширения были введены Ж. де Гроотом в 1967.

Примеры

По теореме Александера о суббазе каждое суперкомпактное пространство компактно . И наоборот, многие (но не все) компакты сверхкомпактны. Ниже приведены примеры суперкомпактных пространств:

• Компактные линейно упорядоченные пространства с порядковой топологией и все непрерывные образы таких пространств.
• Компактные метризуемые пространства (первоначально принадлежит Strok & Szymański (1975) , см. также Mills (1979) )
• Произведение суперкомпактных пространств суперкомпактно (как и аналогичное утверждение о компактности, теорема Тихонова , оно эквивалентно аксиоме выбора ).

Характеристики

Некоторые компакты Хаусдорфа не являются суперкомпактными; таким примером является Стоуна – Чеха (с дискретной топологией). компактификация натуральных чисел

Непрерывный образ суперкомпактного пространства не обязательно должен быть сверхкомпактным.

В суперкомпактном пространстве (или любом его непрерывном образе) точка кластера любого счетного подмножества является пределом нетривиальной сходящейся последовательности.

Ссылки

• Банашевски, Б. (1993), «Сверхкомпактность, продукты и аксиома выбора», Kyungpook Math Journal , 33 (1): 111–114.
• Белл, Мюррей Г. (1978), «Не все компакты Хаусдорфа суперкомпактны», Общая топология и ее приложения , 8 (2): 151–155, doi : 10.1016/0016-660X(78)90046-6
• Була, В.; Никиэль, Дж.; Тункали, HM; Тымчатин, Э.Д. (1992), «Непрерывные образы упорядоченных компактов являются регулярными суперкомпактами», Топология и ее приложения , 45 (3): 203–221, doi : 10.1016/0166-8641(92)90005-K
• де Гроот, Дж. (1969), «Сверхкомпактность и сверхрасширения», у Флаксмайера, Дж.; Поппе, Х.; Терпе, Ф. (ред.), Вклад в теорию расширения топологических структур. Материалы симпозиума, состоявшегося в Берлине 14-19 августа 1967 г. , Берлин: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.
• Энгелькинг, Р. (1977), Общая топология , Тейлор и Фрэнсис, ISBN  978-0-8002-0209-5
• Малыхин, В.И.; Пономарев, В.И. (1977), «Общая топология (теоретико-множественный тренд)», Журнал математических наук , 7 (4), Нью-Йорк: Springer: 587–629, doi : 10.1007/BF01084982 , S2CID   120365836
• Миллс, Чарльз Ф. (1979), «Простое доказательство того, что компактные метрические пространства суперкомпактны», Труды Американского математического общества , 73 (3), Американское математическое общество, Vol. 73, № 3: 388–390, номер документа : 10.2307/2042369 , JSTOR   2042369 , MR   0518526.
• Миллс, Чарльз Ф.; Ван Милл, январь (1979), «Несверхкомпактное непрерывное изображение сверхкомпактного пространства», Houston Journal of Mathematics , 5 (2): 241–247.
• Майсиор, Адам (1992), «Универсальные компактные T ₁ -пространства», Canadian Mathematical Bulletin , 35 (2), Canadian Mathematical Society: 261–266, doi : 10.4153/CMB-1992-037-1
• Строк, М.; Шиманский, А. (1975), «Компактные метрические пространства имеют бинарные базы» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 89 (1): 81–91, doi : 10.4064/fm-89-1-81-91
• Ван Милл, Дж. (1977), Суперкомпактность и пространства Уоллмана (Трактаты Математического центра, № 85) , Амстердам: Математический центр, ISBN  90-6196-151-3
• Вербек, А. (1972), Суперрасширения топологических пространств (трактаты Математического центра, № 41) , Амстердам: Mathematich Centrum
• Ян, Чжун Цян (1994), «Все точки кластера счетных множеств в суперкомпактных пространствах являются пределами нетривиальных последовательностей», Труды Американского математического общества , 122 (2), Американское математическое общество, Vol. 122, № 2: 591–595, номер документа : 10.2307/2161053 , JSTOR   2161053.