Подгруппа конгруэнтности

В математике подгруппа сравнения с матричной группы целочисленными элементами — это подгруппа, определяемая условиями сравнения элементов. Очень простой пример — подгруппа обратимых 2 × 2 целочисленных матриц размера с определителем 1, в которой недиагональные элементы четны . В более общем смысле понятие конгруэнтной подгруппы может быть определено для арифметических подгрупп алгебраических групп ; то есть те, для которых у нас есть понятие «интегральной структуры» и мы можем определить карты приведения по целому модулю.

Существование конгруэнтных подгрупп в арифметической группе дает ей множество подгрупп, в частности показывает, что группа аппроксимируемо конечна . Важным вопросом, касающимся алгебраической структуры арифметических групп, является проблема конгруэнтных подгрупп , которая спрашивает, являются ли все подгруппы конечного индекса по существу конгруэнтными подгруппами.

Конгруэнц-подгруппы матриц размера 2 × 2 — фундаментальные объекты классической теории модулярных форм ; современная теория автоморфных форм аналогичным образом использует подгруппы конгруэнции в более общих арифметических группах.

Конгруэнтные подгруппы модулярной группы

Самая простая интересная ситуация, в которой можно изучать конгруэнтные подгруппы, - это модулярная группа ⁠. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$⁠ .

Основные подгруппы конгруэнтности

Если $n\geqslant 1$ целое число, существует гомоморфизм $\pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ вызванное уменьшением по модулю $n$ морфизм ⁠ $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$⁠ . Основная конгруэнтная подгруппа уровня $n$ в $\Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ является ядром ⁠ $\pi _{n}$⁠ , и его обычно обозначают ⁠ $\Gamma (n)$⁠ . Явно это описывается следующим образом:

$\Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}$

Из этого определения сразу следует, что $\Gamma (n)$ — нормальная подгруппа конечного индекса в ⁠ $\Gamma$⁠ . Теорема сильной аппроксимации (в данном случае простое следствие китайской теоремы об остатках ) означает, что $\pi _{n}$ сюръективен, так что частное $\Gamma /\Gamma (n)$ изоморфен ⁠ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$⁠ . Вычисление порядка этой конечной группы дает следующую формулу для индекса:

$[\Gamma :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)$

где произведение берется по всем простым числам, делящим ⁠ $n$⁠ .

Если $n\geqslant 3$ тогда ограничение $\pi _{n}$ любой конечной подгруппе $\Gamma$ является инъективным. Это означает следующий результат:

Если $n\geqslant 3$ тогда главные конгруэнтные подгруппы $\Gamma (n)$ не имеют скручивания.

Группа $\Gamma (2)$ содержит $-\operatorname {Id}$ и не имеет кручения. С другой стороны, его изображение в $\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ не имеет кручения, а фактор гиперболической плоскости по этой подгруппе представляет собой сферу с тремя точками возврата.

Определение конгруэнтной подгруппы

Подгруппа $H$ в $\Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ называется конгруэнтной подгруппой, если существует $n\geqslant 1$ такой, что $H$ содержит главную конгруэнтную подгруппу ⁠ $\Gamma (n)$⁠ . Уровень ​ $l$ из $H$ тогда это наименьший такой ⁠ $n$⁠ .

Из этого определения следует, что:

• Конгруэнц-подгруппы имеют конечный индекс в ⁠ $\Gamma$⁠ ;
• Подгруппы конгруэнтности уровня $\ell$ находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами ⁠ $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )$⁠ .

Примеры

Подгруппа ⁠ $\Gamma _{0}(n)$⁠ , иногда называемая конгруэнтной подгруппой Гекке уровня ⁠ $n$⁠ определяется как прообраз по формуле $\pi _{n}$ группы верхнетреугольных матриц. То есть,

$\Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.$

Индекс определяется по формуле:

$[\Gamma :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)$

где произведение берется по всем простым числам, делящим ⁠ $n$⁠ . Если $p$ тогда простое число $\Gamma /\Gamma _{0}(p)$ находится в естественной биекции с проективной прямой над конечным полем ⁠ $\mathbb {F} _{p}$⁠ и явные представители (левых или правых) классов класса $\Gamma _{0}(p)$ в $\Gamma$ это следующие матрицы:

$\operatorname {Id} ,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Подгруппы $\Gamma _{0}(n)$ никогда не имеют кручения, поскольку всегда содержат матрицу ⁠ $-I$⁠ . Их бесконечно много $n$ такое, что образ $\Gamma _{0}(n)$ в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ также содержит торсионные элементы.

Подгруппа $\Gamma _{1}(n)$ является прообразом подгруппы унипотентных матриц:

$\Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.$

Их индексы определяются по формуле:

$[\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)$

Тета -подгруппа $\Lambda$ является конгруэнтной подгруппой $\Gamma$ определяется как прообраз циклической группы второго порядка, порожденной $\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$. Он имеет индекс 3 и явно описывается:

$\Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {2}},bd\equiv 0{\pmod {2}}\right\}.$

Эти подгруппы удовлетворяют следующим включениям: ⁠ $\Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)$⁠ , а также ⁠ $\Gamma (2)\subset \Lambda$⁠ .

Свойства конгруэнтных подгрупп

Конгруэнц-подгруппы модулярной группы и связанные с ними римановы поверхности отличаются некоторыми особенно хорошими геометрическими и топологическими свойствами. Вот образец:

• Существует лишь конечное число конгруэнтных накрытий модулярной поверхности, имеющих нулевой род;
• ( Теорема Сельберга 3/16 ) Если $f$ — непостоянная собственная функция оператора Лапласа-Бельтрами на конгруэнтном накрытии модулярной поверхности с собственным значением $\lambda$ тогда ⁠ $\lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}$⁠ .

Существует также набор выдающихся операторов, называемых операторами Гекке на гладких функциях на конгруэнтных покрытиях, которые коммутируют друг с другом и с оператором Лапласа–Бельтрами и диагонализуемы в каждом собственном пространстве последнего. Их общие собственные функции являются фундаментальным примером автоморфных форм . Другими автоморфными формами, связанными с этими конгруэнтными подгруппами, являются голоморфные модулярные формы, которые можно интерпретировать как классы когомологий на ассоциированных римановых поверхностях посредством изоморфизма Эйхлера-Шимуры .

Нормализаторы конгруэнтных подгрупп Гекке

Нормализатор ​ $\Gamma _{0}(p)^{+}$ из $\Gamma _{0}(p)$ в $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ было расследовано; Один результат 1970-х годов, полученный Жаном-Пьером Серром , Эндрю Оггом и Джоном Г. Томпсоном, заключается в том, что соответствующая модульная кривая ( риманова поверхность, полученная в результате факторизации гиперболической плоскости по ⁠ $\Gamma _{0}(p)^{+}$⁠ ) ​​имеет род нуль (т. е. модулярная кривая является сферой Римана) тогда и только тогда, когда ⁠ $p$⁠ — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда Огг позже услышал о группе монстров , он заметил, что это были именно основные факторы размера ⁠ $M$⁠ , он написал статью, предлагая бутылку виски Jack Daniel’s любому, кто сможет объяснить этот факт — это стало отправной точкой для теории чудовищного самогона , которая объясняет глубокие связи между теорией модульных функций и группой монстров.

В арифметических группах

Арифметические группы

Основная статья: Арифметическая группа

Понятие арифметической группы — это обширное обобщение, основанное на фундаментальном примере ⁠ $\mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )$⁠ . Вообще, чтобы дать определение, нужна полупростая алгебраическая группа $\mathbf {G}$ определено более $\mathbb {Q}$ и точное представление ⁠ $\rho$⁠ , также определенный над ⁠ $\mathbb {Q}$⁠ , из $\mathbf {G}$ в ⁠ $\mathrm {GL} _{d}$⁠ ; затем арифметическая группа в $\mathbf {G} (\mathbb {Q} )$ это какая-то группа $\Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )$ который имеет конечный индекс в стабилизаторе подрешетки конечного индекса в ⁠ $\mathbb {Z} ^{d}$⁠ .

Подгруппы конгруэнтности

Позволять $\Gamma$ — арифметическая группа: для простоты лучше предположить, что ⁠ $\Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$⁠ . Как и в случае $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ существуют редукционные морфизмы ⁠ $\pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$⁠ . Мы можем определить главную конгруэнтную подгруппу группы $\Gamma$ быть ядром $\pi _{n}$ (что априори может зависеть от представления ⁠ $\rho$⁠ ) ​​и конгруэнтная подгруппа $\Gamma$ быть любой подгруппой, которая содержит главную конгруэнтную подгруппу (понятие, не зависящее от представления). Это подгруппы конечного индекса, соответствующие подгруппам конечных групп ⁠ $\pi _{n}(\Gamma )$⁠ , и уровень определен.

Примеры

Главные конгруэнтные подгруппы $\mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )$ это подгруппы $\Gamma (n)$ предоставлено:

$\Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}$

конгруэнтные подгруппы тогда соответствуют подгруппам $\mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$.

Другим примером арифметической группы являются группы $\mathrm {SL} _{2}(O)$ где $O$ — кольцо целых чисел в числовом поле , например ⁠ $O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$⁠ . Тогда, если ${\mathfrak {p}}$ — простой идеал, делящий рациональное простое число $p$ подгруппы $\Gamma ({\mathfrak {p}})$ это ядро ​​мода на карту сокращения ${\mathfrak {p}}$ является конгруэнтной подгруппой, поскольку она содержит главную конгруэнтную подгруппу, определенную редукцией по модулю ⁠ $p$⁠ .

Еще одна арифметическая группа — это модулярные группы Зигеля ⁠ $\mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$⁠ , определяемый:

$\mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.$

Обратите внимание, что если $g=1$ тогда ⁠ $\mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$⁠ . Тета -подгруппа $\Gamma _{\vartheta }^{(n)}$ из $\mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ это совокупность всех $\left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ такой, что оба $AB^{\top }$ и $CD^{\top }$ иметь четные диагональные входы.

Свойство (τ)

Семейство конгруэнтных подгрупп в данной арифметической группе $\Gamma$ всегда обладает свойством (τ) Любоцкого–Циммера. Это можно понимать так, что константа Чигера семейства их графов смежных классов Шрайера (относительно фиксированного порождающего набора для ⁠ $\Gamma$⁠ ) ​​равномерно отделен от нуля, другими словами, они представляют собой семейство графов-расширителей . Существует также теоретико-представительная интерпретация: если $\Gamma$ является решеткой в ​​группе Ли ⁠ $G$⁠ то свойство (τ) эквивалентно нетривиальным унитарным представлениям ⁠ $G$⁠ происходящие в пространствах $L^{2}(G/\Gamma )$ будучи отделенным от тривиального представления (в топологии Фелла на унитарном двойственном представлении ⁠ $G$⁠ ). Свойство (τ) является ослаблением свойства Каждана (T) , из которого следует, что семейство всех подгрупп конечного индекса обладает свойством (τ).

В S -арифметических группах

Если $\mathbf {G}$ это $\mathbb {Q}$-группа и $S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}$ — конечное множество простых чисел, $S$-арифметическая подгруппа $\mathbf {G} (\mathbb {Q} )$ определяется как арифметическая подгруппа, но с использованием $\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])$ вместо ⁠ $\mathbb {Z}$⁠ . Фундаментальный пример: ⁠ $\operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])$⁠ .

Позволять $\Gamma _{S}$ быть $S$-арифметическая группа в алгебраической группе ⁠ $\mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}$⁠ . Если $n$ целое число, не делящееся ни на одно простое число из ⁠ $S$⁠ , то все простые числа $p_{i}$ обратимы по модулю $n$ и отсюда следует, что существует морфизм ⁠ $\pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$⁠ . Таким образом, можно определить конгруэнтные подгруппы в ⁠ $\Gamma _{S}$⁠ , уровень которого всегда взаимно прост со всеми простыми числами в ⁠ $S$⁠ .

Проблема конгруэнтной подгруппы

Подгруппы конечного индекса в SL ₂ (Z)

Подгруппы конгруэнтности в $\Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ являются подгруппами конечного индекса: естественно спросить, учитывают ли они все подгруппы конечного индекса в ⁠ $\Gamma$⁠ . Ответ – громкое «нет». Этот факт был уже известен Феликсу Кляйну , и существует множество способов продемонстрировать множество неконгруэнтных подгрупп конечного индекса. Например:

1. Простая группа в композиционном ряду частного ⁠ $\Gamma /\Gamma '$⁠ , где $\Gamma '$ является нормальной конгруэнцной подгруппой, должна быть простой группой лиева типа (или циклической), фактически одной из групп $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})$ для простого ⁠ $p$⁠ . Но для каждого $m$ существуют подгруппы конечного индекса $\Gamma '\subset \Gamma$ такой, что $\Gamma /\Gamma '$ изоморфна знакопеременной группе $A_{m}$ (например $\Gamma (2)$ сюръекты на любой группе с двумя образующими, в частности на всех знакопеременных группах, и ядра этих морфизмов дают пример). Таким образом, эти группы должны быть неконгруэнтными.
2. Есть сюръекция ⁠ $\Gamma (2)\to \mathbb {Z}$⁠ ; для $m$ достаточно большое ядро $\Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ должно быть неконгруэнтным (один из способов убедиться в этом состоит в том, что константа Чигера графа Шрайера стремится к 0; существует также простое алгебраическое доказательство в духе предыдущего пункта).
3. Число $c_{N}$ конгруэнтных подгрупп в $\Gamma$ индекса $N$ удовлетворяет ⁠ $\log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)$⁠ . С другой стороны, число $a_{N}$ подгрупп конечного индекса индекса $N$ в $\Gamma$ удовлетворяет ⁠ $N\log N=O(\log a_{N})$⁠ , поэтому большинство подгрупп конечного индекса должны быть неконгруэнтными.

Ядро конгруэнтности

Для любой арифметической группы можно задать тот же вопрос, что и для модульной группы:

Наивная проблема конгруэнции подгрупп: являются ли все ее подгруппы конечного индекса для данной арифметической группы конгруэнтными подгруппами?

Эта проблема может иметь положительное решение: ее начало лежит в работах Хаймана Басса , Жана-Пьера Серра и Джона Милнора , а также Йенса Меннике, которые доказали, что, в отличие от случая с $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, когда $n\geqslant 3$ все подгруппы конечного индекса в $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ являются конгруэнтными подгруппами. Решение Басса-Милнора-Серра включало аспект алгебраической теории чисел, связанный с K-теорией . С другой стороны, работы Серра по $\mathrm {SL} _{2}$ по числовым полям показывает, что в некоторых случаях ответ на наивный вопрос — «нет», тогда как небольшое смягчение проблемы приводит к положительному ответу.

Эту новую проблему лучше сформулировать в терминах некоторых компактных топологических групп, связанных с арифметической группой ⁠ $\Gamma$⁠ . Есть топология $\Gamma$ для которого базой окрестностей тривиальной подгруппы является множество подгрупп конечного индекса ( проконечная топология ); и существует другая топология, определенная таким же образом с использованием только конгруэнтных подгрупп. Проконечная топология порождает пополнение ⁠ ${\widehat {\Gamma }}$⁠ из ⁠ $\Gamma$⁠ , а топология «конгруэнтности» порождает другое пополнение ⁠ ${\overline {\Gamma }}$⁠ . Обе группы являются проконечными , и существует естественный сюръективный морфизм. ${\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}$ (интуитивно понятно, что в конгруэнтной топологии меньше условий, которым последовательность Коши, чем в проконечной топологии). должна соответствовать Ядро конгруэнтности $C(\Gamma )$ является ядром этого морфизма, и сформулированная выше проблема конгруэнтной подгруппы сводится к тому, является ли $C(\Gamma )$ тривиально. Ослабление заключения приводит тогда к следующей проблеме.

Проблема подгруппы конгруэнтности: является ли ядро ​​конгруэнтности $C(\Gamma )$ конечный?

Когда задача имеет положительное решение, говорят, что $\Gamma$ обладает свойством конгруэнтной подгруппы . Гипотеза, обычно приписываемая Серру, утверждает, что неприводимая арифметическая решетка в полупростой группе Ли $G$ обладает свойством конгруэнтной подгруппы тогда и только тогда, когда ранг действительный $G$ не менее 2; например, решетки в $\mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )$ всегда должен иметь свойство.

Отрицательные решения

Гипотеза Серра утверждает, что решетка в группе Ли ранга единица не должна обладать свойством конгруэнтной подгруппы. Существует три семейства таких групп: ортогональные группы ⁠ $\mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2$⁠ , унитарные группы $\mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2$ и группы $\mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2$ (группы изометрий полуторалинейной формы над кватернионами Гамильтона) плюс исключительная группа $F_{4}^{-20}$ (см. Список простых групп Ли ). Текущий статус проблемы конгруэнтной подгруппы следующий:

• Известно, что оно имеет отрицательное решение (подтверждающее гипотезу) для всех групп. $\mathrm {SO} (d,1)$ с ⁠ $d\neq 7$⁠ . Доказательство использует тот же аргумент, что и 2. в случае $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ гораздо сложнее : в общем случае построить сюръекцию к ⁠ $\mathbb {Z}$⁠ доказательство не является единым для всех случаев и не работает для некоторых решеток размерности 7 из-за явления тройственности . В размерностях 2 и 3, а также для некоторых решеток в более высоких размерностях также применимы аргументы 1 и 3.
• Известно множество решеток в $\mathrm {SU} (d,1)$, но не все (опять же используя обобщение аргумента 2).
• Во всех остальных случаях он полностью открыт.

Позитивные решения

Во многих ситуациях, когда ожидается, что проблема конгруэнтной подгруппы будет иметь положительное решение, было доказано, что это действительно так. Вот список алгебраических групп, для которых известно, что свойство конгруэнтной подгруппы сохраняется для ассоциированных арифметических решеток, в случае, если ранг ассоциированной группы Ли (или, в более общем смысле, сумма ранга вещественного числа и ⁠ $p$⁠ -адические факторы в случае ⁠ $S$⁠- арифметические группы) не менее 2:

• Любая неанизотропная группа (сюда входят случаи, рассмотренные Бассом–Милнором–Серром, а также $\mathrm {SO} (p,q)$ это ⁠ $\min(p,q)>1$⁠ и многие другие);
• Любая группа типа не $A_{n}$ (например, все анизотропные формы симплектических или ортогональных групп вещественного ранга ⁠ $\geqslant 2$⁠ );
• Унитарные группы эрмитовых форм.

Случаи внутренней и внешней формы типа $A_{n}$ все еще открыты. Алгебраические группы в случае внутренних форм типа $A_{n}$ — те, которые связаны с группами единиц в центральных простых алгебрах с делением; например, свойство конгруэнтной подгруппы неизвестно для решеток в $\mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )$ или $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ с компактным фактором.

Группы конгруэнтности и группы Адель

Кольцо Адель $\mathbb {A}$ является ограниченным произведением всех пополнений ⁠ $\mathbb {Q}$⁠ , т.е.

$\mathbb {A} =\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}$

где продукт превышает набор ${\mathcal {P}}$ из всех простых чисел, $\mathbb {Q} _{p}$ — поле p -адических чисел и элемент $(x,(x_{p})_{p\in {\mathcal {P}}})$ принадлежит ограниченному произведению тогда и только тогда, когда для почти всех простых чисел ⁠ $p$⁠ , $x_{p}$ принадлежит подкольцу $\mathbb {Z} _{p}$ - адических p целых чисел .

Учитывая любую алгебраическую группу $\mathbf {G}$ над $\mathbb {Q}$ адельная алгебраическая группа $\mathbf {G} (\mathbb {A} )$ четко определен. Его можно наделить канонической топологией, которая в случае $\mathbf {G}$ — линейная алгебраическая группа — топология как подмножество ⁠ $\mathbb {A} ^{m}$⁠ . Конечные адели $\mathbb {A} _{f}$ являются ограниченным произведением всех неархимедовых пополнений (всех p -адических полей).

Если $\Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )$ является арифметической группой, то ее конгруэнтные подгруппы характеризуются следующим свойством: $H\subset \Gamma$ является конгруэнтной подгруппой тогда и только тогда, когда ее замыкание ${\overline {H}}\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})$ — компактно-открытая подгруппа (компактность автоматическая) и ⁠ $H=\Gamma \cap {\overline {H}}$⁠ . В целом группа $\Gamma \cap {\overline {H}}$ равно конгруэнтному замыканию $H$ в ⁠ $\Gamma$⁠ и конгруэнтная топология на $\Gamma$ — индуцированная топология как подгруппа ⁠ $\mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})$⁠ , в частности конгруэнтное пополнение ${\overline {\Gamma }}$ это его закрытие в этой группе. Эти замечания справедливы и для ⁠ $S$⁠ -арифметические подгруппы, заменяющие кольцо конечных аделей ограниченным произведением по всем простым числам, не входящим в ⁠ $S$⁠ .

В более общем плане можно определить, что это означает для подгруппы. $\Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )$ быть конгруэнтной подгруппой без явной ссылки на фиксированную арифметическую подгруппу, требуя, чтобы она была равна ее конгруэнтному замыканию ⁠ ${\overline {\Gamma }}\cap \mathbf {G} (\mathbb {Q} )$⁠ . Таким образом, становится возможным изучить все конгруэнтные подгруппы сразу, рассматривая дискретную подгруппу ⁠ $\mathbf {G} (\mathbb {Q} )\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} )$⁠ . Это особенно удобно в теории автоморфных форм: например, все современные трактовки формулы следа Артура – ​​Сельберга выполняются в этой аделической обстановке.

Ссылки

• Любоцкий, Александр; Сигал, Дэн (2003). Рост подгруппы . Биркгаузер. ISBN  3-7643-6989-2 .
• Платонов Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 года Рэйчел Роуэн.) . Чистая и прикладная математика. Том. 139. Бостон, Массачусетс: ISBN Academic Press, Inc.  0-12-558180-7 . МР   1278263 .
• Сури, Б. (2003). Проблема конгруэнтных подгрупп . Книжное агентство «Хиндустан». ISBN  81-85931-38-0 .