Верхнее полупространство Зигеля

В математике g верхнее полупространство Зигеля степени ( или рода g ) (также называемое верхней полуплоскостью Зигеля ) представляет собой набор размера g × g симметричных матриц над комплексными числами, которых мнимая часть определена положительно . Он был введен Сигелом ( 1939 ). Это симметрическое пространство , ассоциированное с симплектической группой $Sp(2g, R)$ .

Верхнее полупространство Зигеля обладает свойствами комплексного многообразия , обобщающими свойства верхней полуплоскости , которая является верхним полупространством Зигеля в частном случае g = 1. Группа автоморфизмов, сохраняющих комплексную структуру многообразия изоморфна симплектической группе $Sp(2g, R)$ . Точно так же, как двумерная гиперболическая метрика является единственной (с точностью до масштабирования) метрикой в верхней полуплоскости, группа изометрий которой является комплексной группой автоморфизмов $SL(2, R)$ = $Sp(2, R)$ , верхняя полуплоскость Зигеля пространство имеет только одну метрику с точностью до масштабирования, группа изометрии которой равна $Sp(2 g, R)$ . Записывая общую матрицу Z в верхнем полупространстве Зигеля в терминах ее вещественной и мнимой частей как Z = X + iY , все метрики с группой изометрии $Sp(2 g, R)$ пропорциональны

ds^{2}={\text{tr}}(Y^{-1}dZY^{-1}d{\bar {Z}}).

Верхнюю полуплоскость Зигеля можно отождествить с набором ручных почти комплексных структур, совместимых с симплектической структурой. $\omega$ , на основе $2n$ действительное векторное пространство $V$ , то есть набор $J\in Hom(V)$ такой, что $J^{2}=-1$ и $\omega (Jv,v)>0$ для всех векторов $v\neq 0$ . ^{[ 1 ]}

См. также

Модули абелевых многообразий
Парамодулярная группа , обобщение модулярной группы Зигеля.
Область Зигеля , обобщение верхнего полупространства Зигеля.
Модульная форма Зигеля , тип автоморфной формы, определенной в верхнем полупространстве Зигеля.
Модульное многообразие Зигеля , пространство модулей, построенное как фактор верхнего полупространства Зигеля.

Ссылки

^ Боуман

Боуман, Джошуа П. «Некоторые элементарные результаты о полуплоскости Зигеля» (PDF) . .

ван дер Гир, Джерард (2008), «Модульные формы Зигеля и их приложения», в Ранестад, Кристиан (редактор), 1-2-3 модульных форм , Universitext, Berlin: Springer-Verlag , стр. 181–245. , doi : 10.1007/978-3-540-74119-0 , ISBN 978-3-540-74117-6 , МР 2409679

Nielsen, Frank (2020), "The Siegel–Klein Disk: Hilbert Geometry of the Siegel Disk Domain" , Entropy , 22 (9): 1019, arXiv : 2004.08160 , doi : 10.3390/e22091019 , PMC 7597112 , PMID 33286788

Сигел, Карл Людвиг (1939), «Введение в теорию модулярных функций n-й степени», Mathematical Annals , 116 : 617–657, doi : 10.1007/BF01597381 , ISSN 0025-5831 , MR 0001251 , S2CID 124337559

Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Боуман

[ 1 ]