Парамодульная группа

В математике парамодулярная группа — это особый вид арифметической подгруппы группы симплектической . Это обобщение модулярной группы Зигеля и имеет такое же отношение к поляризованным абелевым многообразиям , как модулярная группа Зигеля к принципиально поляризованным абелевым многообразиям. Это группа автоморфизмов Z ^{2 н} сохраняющий невырожденную кососимметричную форму. Название «парамодульная группа» часто используется для обозначения одного из нескольких стандартных матричных представлений этой группы. Соответствующая группа над вещественными числами называется парасимплектической группой и сопряжена (вещественной) симплектической группе. Парамодулярная форма — это модулярная форма Зигеля для парамодулярной группы.

Парамодулярные группы были представлены Конфорто (1952) и названы Шимурой (1958 , раздел 8).

Явные матрицы для парамодульной группы

Существует два соглашения о записи парамодульной группы в виде матриц. В первом (более старом) соглашении элементы матрицы являются целыми числами, но группа не является подгруппой симплектической группы, а во втором соглашении парамодулярная группа является подгруппой обычной симплектической группы (над рациональными числами), но ее координаты не являются всегда целые числа. Эти две формы симплектической группы сопряжены в общей линейной группе.

Любая неособая кососимметрическая форма на Z ^{2 н} эквивалентно заданному матрицей

${\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}$

где F - диагональная матрица размера n на n , диагональные элементы которой F _ii являются положительными целыми числами, каждый из которых делит следующий.Таким образом, любая парамодулярная группа сопряжена с группой, сохраняющей указанную выше форму, иными словами, она состоит из матриц

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

GL _{2 n} ( Z ) такая, что

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}.$

Сопряжение парамодулярной группы матрицей

${\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}$

(где I — единичная матрица) лежит в симплектической группе Sp _{2 n} ( Q ),с

${\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}$

хотя его записи не являются целыми числами. Это сопряжение также часто называют парамодулярной группой.

Парамодулярная группа степени 2

Парамодулярная группа степени n = 2 является подгруппой GL ₄ ( Q ), поэтому ее можно представить в виде матриц 4 на 4. В литературе используются как минимум три способа сделать это.В этом разделе описывается, как представить его как подгруппу Sp ₄ ( Q ) с записями, которые не обязательно являются целыми числами.

Любая невырожденная кососимметрическая форма на Z ⁴ с точностью до изоморфизма и скалярных кратных, эквивалентных единице, заданной, как указано выше, матрицей

$F={\begin{pmatrix}1&0\\0&N\end{pmatrix}}$.

В этом случае одна форма парамодулярной группы состоит из симплектических матриц вида

${\begin{pmatrix}*&*&*&*/N\\{}*&*&*&*/N\\{}*&*&*&*/N\\N*&N*&N*&*\end{pmatrix}}$

где каждый * означает целое число.Тот факт, что эта матрица является симплектической, налагает некоторые дополнительные условия конгруэнтности, поэтому фактически парамодулярная группа состоит из симплектических матриц вида

${\begin{pmatrix}*&N*&*&*\\{}*&*&*&*/N\\{}*&N*&*&*\\N*&N*&N*&*\end{pmatrix}}$

Парамодулярная группа в этом случае порождается матрицами вида

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{}0&1&0&0\\{}x&Ny&1&0\\Ny&Nz&0&1\end{pmatrix}}$ и ${\begin{pmatrix}1&0&x&y\\{}0&1&y&z/N\\{}0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

для целых чисел x , y и z .

Некоторые авторы используют матрицу $F={\begin{pmatrix}N&0\\0&1\end{pmatrix}}$ вместо ${\begin{pmatrix}1&0\\0&N\end{pmatrix}}$ который дает аналогичные результаты, за исключением того, что строки и столбцы переставляются местами; например, парамодулярная группа тогда состоит из симплектических матриц вида

${\begin{pmatrix}*&*&*/N&*\\{}N*&*&*&*\\{}N*&N*&*&N*\\N*&*&*&*\end{pmatrix}}$

Ссылки

• Кристиан, Ульрих (1967), «Введение в теорию парамодулярных групп», Math. , 168 : 59–104, doi : 10.1007/BF01361545 , MR   0204373 , S2CID   119562779
• Конфорто, Фабио (1952), Модульные абелевы функции. Том 1. Предварительные занятия и групповая часть. Симплектическая геометрия. , Уроки, собранные Dr. Марио Розати. Edizioni Universitarie "Docet" (на итальянском языке), Рим, MR   0054035 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Шимура, Г. (1958), Модули поляризованных абелевых многообразий и модулярных функций , Семинар Анри Картана , 1957/58, том. 18–20

Внешние ссылки

• Шульце-Пилло, Райнер (2011), Парамодульная тета-серия (PDF) , слайды доклада