Изоморфизм Эйхлера – Шимуры

В математике когомологии Эйхлера (также называемые параболическими когомологиями или каспидальными когомологиями ) — теория когомологий для фуксовых групп , введенная Эйхлером ( 1957 ), то есть вариация групповых когомологий, аналогичная образу когомологий с компактным носителем в обычных когомологиях. группа. Изоморфизм Эйхлера -Шимуры , введенный Эйхлером для комплексных когомологий и Шимурой ( 1959 ) для вещественных когомологий, представляет собой изоморфизм между группой когомологий Эйхлера и пространством параболических форм. Существует несколько вариантов изоморфизма Эйхлера-Шимуры, поскольку можно использовать как вещественные, так и комплексные коэффициенты, а также можно использовать либо когомологии Эйхлера, либо обычные групповые когомологии, как в ( Gunning 1961 ). Существует также вариант изоморфизмов Эйхлера – Шимуры с использованием l -адических когомологий вместо действительных когомологий, который связывает коэффициенты параболических форм с собственными значениями Фробениуса , действующими на этих группах. Делинь (1971) использовал это, чтобы свести гипотезу Рамануджана к гипотезе Вейля. что он позже и доказал.

Когомологии Эйхлера

Если G — фуксова группа и M — ее представление, то группа когомологий Эйхлера H ¹
_P ( G , M ) определяется как ядро отображения из H ¹
( Г , М ) чтобы П _с Н ¹
( Gc _c , M ), где произведение находится над точками возврата фундаментальной области G , а Gc _{возврата} — подгруппа, фиксирующая точку c .

Изоморфизм Эйхлера–Шимуры — это изоморфизм между пространством параболических форм на G веса n + 2 и первыми когомологиями Эйхлера группы G с коэффициентами из G -модуля $X_{n}$ , где ранг $X_{n}$ зависит от n (Шимура, «Введение в арифметическую теорию автоморфных функций», теорема 8.4)

Ссылки

Делинь, Пьер (1971), «Модульные формы и l-адические представления», Семинар Бурбаки, том. 1968/69 Лекции 347–363 , Конспекты лекций по математике, том. 179, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058801 , ISBN. 978-3-540-05356-9
Эйхлер, Мартин (1957), «Обобщение абелевых интегралов», Mathematical Journal , 67 : 267–298, doi : 10.1007/BF01258863 , ISSN 0025-5874 , MR 0089928
Ганнинг, Роберт К. (1961), «Когомологические группы Эйхлера и автоморфные формы», Труды Американского математического общества , 100 : 44–62, doi : 10.2307/1993353 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993353 , MR 0140126
Кнопп, М.И. (2001) [1994], «Когомологии Эйхлера» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Шимура, Горо (1959), «Об интегралах, присоединенных к автоморфным формам», Журнал Математического общества Японии , 11 : 291–311, doi : 10.2969/jmsj/01140291 , ISSN 0025-5645 , MR 0120372