Гипотеза Рамануджана-Петерссона
В математике , гипотеза Рамануджана принадлежащая Шринивасе Рамануджану ( 1916 , стр. 176), утверждает, что тау-функция Рамануджана, заданная коэффициентами Фурье τ ( n ) формы возврата Δ( z ) веса 12
где , удовлетворяет
когда p — простое число . Обобщенная гипотеза Рамануджана или гипотеза Рамануджана-Петерссона , введенная Петерссоном ( 1930 ), является обобщением на другие модульные формы или автоморфные формы.
L-функция Рамануджана [ править ]
Дзета -функция Римана и L-функция Дирихле произведению Эйлера удовлетворяют
( 1 ) |
и в силу их вполне мультипликативного свойства
( 2 ) |
Существуют ли L-функции, кроме дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, удовлетворяющие указанным выше соотношениям? Действительно, L-функции автоморфных форм удовлетворяют произведению Эйлера (1), но не удовлетворяют (2), поскольку не обладают вполне мультипликативным свойством. Однако Рамануджан обнаружил, что L-функция модульного дискриминанта удовлетворяет модифицированному соотношению
( 3 ) |
где τ ( p ) — тау-функция Рамануджана . Термин
рассматривается как отличие от полностью мультипликативного свойства. Вышеуказанная L-функция называется L-функцией Рамануджана .
Гипотеза Рамануджана [ править ]
Рамануджан предположил следующее:
- τ мультипликативен ,
- τ не является полностью мультипликативным, но для простых p и j из N имеем: τ ( p й +1 ) знак равно τ ( п ) τ ( п дж ) − п 11 т ( р j −1 ) , и
- | τ ( п )| ≤ 2 п 11/2 .
Рамануджан заметил, что квадратное уравнение u = p − с в знаменателе правой части (3) ,
всегда имело бы мнимые корни из многих примеров. Связь между корнями и коэффициентами квадратных уравнений приводит к третьему соотношению, называемому гипотезой Рамануджана . Более того, для тау-функции Рамануджана пусть корни приведенного выше квадратного уравнения равны α и β , тогда
что похоже на гипотезу Римана . Отсюда следует оценка, которая лишь немного слабее для всех τ ( n ) , а именно для любого ε > 0 :
В 1917 году Л. Морделл доказал первые два соотношения, используя методы комплексного анализа, в частности то, что сейчас известно как операторы Гекке . Третье утверждение вытекало из доказательства гипотезы Вейля Делинь (1974) . Формулировки, необходимые для того, чтобы показать, что это было следствием, были деликатными и совсем не очевидными. Это была работа Мичио Куги с участием также Микио Сато , Горо Шимуры и Ясутаки Ихара , за которым последовал Делинь (1971) . Существование связи вдохновило на некоторые глубокие работы в конце 1960-х годов, когда этальных когомологий разрабатывались следствия теории .
-Петерссона для модульных форм Гипотеза Рамануджана
В 1937 году Эрих Хекке использовал операторы Гекке для обобщения метода доказательства Морделла первых двух гипотез на автоморфную L-функцию дискретных подгрупп Γ группы SL(2, Z ) . Для любой модульной формы
можно составить ряд Дирихле
Для модулярной формы f ( z ) веса k ≥ 2 для Γ , φ ( s ) абсолютно сходится в Re( s ) > k , поскольку a n = O( n к −1+ е ) . Поскольку f является модулярной формой веса k , ( s − k ) φ ( s ) оказывается целым и R ( s ) = (2 π ) − с Γ( s ) φ ( s ) удовлетворяет функциональному уравнению :
это было доказано Уилтоном в 1929 году. Это соответствие между f и φ взаимно однозначно ( a 0 = (−1) к /2 Res s знак равно k р ( s ) ). Пусть g ( x ) = f ( ix ) − a 0 для x > 0 , тогда g ( x ) связано с R ( s ) через преобразование Меллина
Это соответствие связывает ряд Дирихле, удовлетворяющий приведенному выше функциональному уравнению, с автоморфной формой дискретной подгруппы SL(2, Z ) .
В случае k ≥ 3 Ханс Петерссон ввел метрику в пространстве модулярных форм, названную метрикой Петерссона (см. также метрику Вейля – Петерссона ). Эта гипотеза была названа в его честь. В рамках метрики Петерссона показано, что мы можем определить ортогональность в пространстве модульных форм как пространство параболических форм и его ортогональное пространство, и они имеют конечные размерности. Более того, мы можем конкретно вычислить размерность пространства голоморфных модулярных форм, используя теорему Римана – Роха (см. Размерности модулярных форм ).
Делинь (1971) использовал изоморфизм Эйхлера – Шимуры , чтобы свести гипотезу Рамануджана к гипотезам Вейля , которые он позже доказал. Более общая гипотеза Рамануджана-Петерсона для голоморфных параболических форм в теории эллиптических модулярных форм для конгруэнтных подгрупп имеет аналогичную формулировку с показателем ( k - 1)/2 , где k - вес формы. Эти результаты также следуют из гипотез Вейля , за исключением случая k = 1 , где это результат Делиня и Серра (1974) .
Гипотеза Рамануяна-Петерссона для форм Мааса все еще открыта (по состоянию на 2022 год), поскольку метод Делиня, который хорошо работает в голоморфном случае, не работает в реальном аналитическом случае.
Рамануджана-Петерссона для автоморфных Гипотеза форм
Сатаке (1966) переформулировал гипотезу Рамануджана-Петерссона в терминах автоморфных представлений для GL(2), заявив, что локальные компоненты автоморфных представлений лежат в главной серии, и предложил это условие как обобщение гипотезы Рамануджана-Петерссона на автоморфный случай. формы на другие группы. Другими словами, локальные компоненты форм возврата должны быть смягчены. Однако несколько авторов нашли контрпримеры для анизотропных групп , в которых компонент на бесконечности не был смягчен. Курокава (1978) и Хоу и Пятецкий-Шапиро (1979) показали, что эта гипотеза также неверна даже для некоторых квазирасщепленных и расщепляемых групп, построив автоморфные формы для унитарной группы U(2, 1) и симплектической группы Sp( 4), которые почти всюду не темперированы, связанные с представлением θ 10 .
После того, как контрпримеры были найдены, Пятецкий-Шапиро (1979) предположил, что переформулировка гипотезы все еще должна оставаться в силе. Текущая формулировка обобщенной гипотезы Рамануджана предназначена для глобально общего каспидального автоморфного представления связной редуктивной группы , где общее предположение означает, что представление допускает модель Уиттекера . В нем говорится, что каждый локальный компонент такого представления должен быть смягчен. заметил, Ленглендс что установление функториальности симметричных степеней автоморфных представлений GL( n ) даст доказательство гипотезы Рамануджана-Петерссона.
Связано с Рамануджаном через числовые поля [ править ]
Получение наилучших возможных оценок обобщенной гипотезы Рамануджана в случае числовых полей привлекло внимание многих математиков. Каждое улучшение считается важной вехой в мире современной теории чисел . Чтобы понять границы Рамануджана для GL( n ) , рассмотрим унитарное каспидальное автоморфное представление :
Классификация Бернштейна – Зелевинского говорит нам, что каждый p-адик π v может быть получен с помощью унитарной параболической индукции из представления
Здесь каждый является представлением GL( n i ) над местом v в форме
с закаленный. При n ≥ 2 граница Рамануджана — это число δ ≥ 0 такое, что
Классификацию Ленглендса можно использовать для архимедовых мест . Обобщенная гипотеза Рамануджана эквивалентна оценке δ = 0 .
Жаке, Пятецкий-Шапиро и Шалика (1983) получили первую оценку δ ≤ 1/2 для общей линейной группы GL( n ) , известную как тривиальная оценка. Важный прорыв был сделан Луо, Рудником и Сарнаком (1999) , которые в настоящее время придерживаются наилучшей общей оценки δ ≡ 1/2 − ( n 2 +1) −1 для произвольного n и любого числового поля . В случае GL(2) Ким и Сарнак установили границу прорыва δ = 7/64 , когда числовое поле является полем рациональных чисел , что получается как следствие результата функториальности Кима (2002) на симметричная кварта, полученная методом Ленглендса – Шахиди . Обобщение границ Кима-Сарнака на произвольное числовое поле возможно благодаря результатам Бломера и Брамли (2011) .
Для редуктивных групп, отличных от GL( n ) , обобщенная гипотеза Рамануджана будет следовать из принципа функториальности Ленглендса . Важным примером являются классические группы , где наилучшие оценки были получены Cogdell et al. (2004) как следствие их функториального подъема Ленглендса .
Рамануджана-Петерссона о полях функций Гипотеза глобальных
Доказательство Дринфельда глобального соответствия Ленглендса для GL(2) над полем глобальных функций ведет к доказательству гипотезы Рамануджана-Петерссона. Лафорг (2002) успешно распространил технику штуки Дринфельда на случай GL( n ) с положительной характеристикой. Используя другой метод, который расширяет метод Ленглендса-Шахиди , включив в него глобальные функциональные поля, Ломели (2009) доказывает гипотезу Рамануджана для классических групп .
Приложения [ править ]
Применением гипотезы Рамануджана является явное построение Рамануджана Любоцким Филлипсом , Сарнаком и . графов Действительно, название «граф Рамануджана» произошло от этой связи. Другое приложение состоит в том, что из гипотезы Рамануяна-Петерссона для общей линейной группы GL( n ) следует гипотеза Сельберга о собственных значениях лапласиана для некоторых дискретных групп.
Ссылки [ править ]
- Бломер, В.; Брамли, Ф. (2011), «О гипотезе Рамануджана о числовых полях», Annals of Mathematics , 174 : 581–605, arXiv : 1003.0559 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.18 , MR 2811610 , S2CID 5468617 3
- Когделл, Дж.В.; Ким, ХХ; Пятецкий-Шапиро, II; Шахиди, Ф. (2004), «Функториальность классических групп» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 99 : 163–233, CiteSeerX 10.1.1.495.6662 , doi : 10.1007/s10240-004-0020-z , S2CID 773105 7
- Делинь, Пьер (1971), «Модульные формы и l-адические представления» , Семинар Бурбаки, том. 1968/69 Лекции 347–363 , Конспекты лекций по математике, том. 179, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058801 , ISBN. 978-3-540-05356-9
- Делинь, Пьер (1974), «Гипотеза Вейля. I». , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 : 273–307, doi : 10.1007/BF02684373 , ISSN 1618-1913 , MR 0340258 , S2CID 123139343
- Делинь, Пьер ; Серр, Жан-Пьер (1974), «Модульные формы веса 1», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 (4): 507–530, doi : 10.24033/asens.1277 , ISSN 0012-9593 , МР 0379379
- Хоу, Роджер ; Пятецкий-Шапиро, II (1979), «Контрпример к «обобщенной гипотезе Рамануджана» для (квази) расщепленных групп», в Borel, Armand ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Корваллис, Орегон, 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII, Провиденс, Род-Айленд, стр. 315–322, ISBN. 978-0-8218-1435-2 , МР 0546605
{{citation}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - Жаке, Х.; Пятецкий-Шапиро, II; Шалика, Дж. А. (1983), «Извилины Рэнкина-Сельберга», амер. Дж. Математика. , 105 (2): 367–464, doi : 10.2307/2374264 , JSTOR 2374264 , S2CID 124304599
- Ким, Х.Х. (2002), «Функториальность внешнего квадрата GL (4) и симметричной четверти GL (2)», Journal of the AMS , 16 : 139–183.
- Курокава, Нобусигэ (1978), «Примеры собственных значений операторов Гекке на параболических формах Зигеля второй степени», Inventiones Mathematicae , 49 (2): 149–165, Bibcode : 1978InMat..49..149K , doi : 10.1007/BF01403084 , ISSN 0020-9910 , MR 0511188 , S2CID 120041528
- Ленглендс, Р.П. (1970), «Проблемы теории автоморфных форм» , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Конспекты лекций по математике, том. 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN. 978-3-540-05284-5 , МР 0302614
- Ломели, Л. (2009), «Функториальность классических групп над функциональными полями» , Международные уведомления о математических исследованиях : 4271–4335, doi : 10.1093/imrn/rnp089 , MR 2552304 , заархивировано из оригинала 27 мая 2007 г.
- Луо, В.; Рудник З.; Сарнак, П. (1999), «Об обобщенной гипотезе Рамануджана для GL (n)», Proc. Симпозиумы. Чистая математика. , Труды симпозиумов по чистой математике, 66 : 301–310, doi : 10.1090/pspum/066.2/1703764 , ISBN 9780821810514
- Петерссон, Х. (1930), «Теория автоморфных форм произвольной вещественной размерности и их представление новым типом рядов Пуанкаре», Mathematical Annals (на немецком языке), 103 (1): 369–436, doi : 10.1007/ БФ01455702 , ISSN 0025-5831 , S2CID 122378161
- Пятецкий-Шапиро, II (1979), «Теоремы о кратности один», в Бореле, Армане ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Корваллис, Орегон, 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 209–212, ISBN. 978-0-8218-1435-2 МР 0546599
- Рамануджан, Шриниваса (1916), «О некоторых арифметических функциях», Труды Кембриджского философского общества , XXII (9): 159–184. Перепечатано в Рамануджан, Шриниваса (2000), «Документ 18» , Сборник статей Шринивасы Рамануджана , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, стр. 136–162, ISBN 978-0-8218-2076-6 , МР 2280843
- Сарнак, Питер (2005), «Заметки об обобщенных гипотезах Рамануджана» (PDF) , у Артура, Джеймса; Эллвуд, Дэвид; Котвитц, Роберт (ред.), Гармонический анализ, формула следа и разновидности Шимуры , Clay Math. Учеб., вып. 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 659–685, ISBN. 978-0-8218-3844-0 , МР 2192019
- Сатаке, Ичиро (1966), «Сферические функции и гипотеза Рамануджана», в Бореле, Арманде ; Мостоу, Джордж Д. (ред.), Алгебраические группы и разрывные подгруппы (Боулдер, Колорадо, 1965) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. IX, Провиденс, Род-Айленд, стр. 258–264, ISBN. 978-0-8218-3213-4 , МР 0211955
{{citation}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )