Jump to content

Гипотеза Рамануджана-Петерссона

(Перенаправлено из гипотезы Рамануджана )

В математике , гипотеза Рамануджана принадлежащая Шринивасе Рамануджану ( 1916 , стр. 176), утверждает, что тау-функция Рамануджана, заданная коэффициентами Фурье τ ( n ) формы возврата Δ( z ) веса 12

где , удовлетворяет

когда p простое число . Обобщенная гипотеза Рамануджана или гипотеза Рамануджана-Петерссона , введенная Петерссоном ( 1930 ), является обобщением на другие модульные формы или автоморфные формы.

L-функция Рамануджана [ править ]

Дзета -функция Римана и L-функция Дирихле произведению Эйлера удовлетворяют

( 1 )

и в силу их вполне мультипликативного свойства

( 2 )

Существуют ли L-функции, кроме дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, удовлетворяющие указанным выше соотношениям? Действительно, L-функции автоморфных форм удовлетворяют произведению Эйлера (1), но не удовлетворяют (2), поскольку не обладают вполне мультипликативным свойством. Однако Рамануджан обнаружил, что L-функция модульного дискриминанта удовлетворяет модифицированному соотношению

( 3 )

где τ ( p ) тау-функция Рамануджана . Термин

рассматривается как отличие от полностью мультипликативного свойства. Вышеуказанная L-функция называется L-функцией Рамануджана .

Гипотеза Рамануджана [ править ]

Рамануджан предположил следующее:

  1. τ мультипликативен ,
  2. τ не является полностью мультипликативным, но для простых p и j из N имеем: τ ( p й +1 ) знак равно τ ( п ) τ ( п дж ) − п 11 т ( р j −1 ) , и
  3. | τ ( п )| ≤ 2 п 11/2 .

Рамануджан заметил, что квадратное уравнение u = p с в знаменателе правой части (3) ,

всегда имело бы мнимые корни из многих примеров. Связь между корнями и коэффициентами квадратных уравнений приводит к третьему соотношению, называемому гипотезой Рамануджана . Более того, для тау-функции Рамануджана пусть корни приведенного выше квадратного уравнения равны α и β , тогда

что похоже на гипотезу Римана . Отсюда следует оценка, которая лишь немного слабее для всех τ ( n ) , а именно для любого ε > 0 :

В 1917 году Л. Морделл доказал первые два соотношения, используя методы комплексного анализа, в частности то, что сейчас известно как операторы Гекке . Третье утверждение вытекало из доказательства гипотезы Вейля Делинь (1974) . Формулировки, необходимые для того, чтобы показать, что это было следствием, были деликатными и совсем не очевидными. Это была работа Мичио Куги с участием также Микио Сато , Горо Шимуры и Ясутаки Ихара , за которым последовал Делинь (1971) . Существование связи вдохновило на некоторые глубокие работы в конце 1960-х годов, когда этальных когомологий разрабатывались следствия теории .

-Петерссона для модульных форм Гипотеза Рамануджана

В 1937 году Эрих Хекке использовал операторы Гекке для обобщения метода доказательства Морделла первых двух гипотез на автоморфную L-функцию дискретных подгрупп Γ группы SL(2, Z ) . Для любой модульной формы

можно составить ряд Дирихле

Для модулярной формы f ( z ) веса k ≥ 2 для Γ , φ ( s ) абсолютно сходится в Re( s ) > k , поскольку a n = O( n к −1+ е ) . Поскольку f является модулярной формой веса k , ( s k ) φ ( s ) оказывается целым и R ( s ) = (2 π ) с Γ( s ) φ ( s ) удовлетворяет функциональному уравнению :

это было доказано Уилтоном в 1929 году. Это соответствие между f и φ взаимно однозначно ( a 0 = (−1) к /2 Res s знак равно k р ( s ) ). Пусть g ( x ) = f ( ix ) − a 0 для x > 0 , тогда g ( x ) связано с R ( s ) через преобразование Меллина

Это соответствие связывает ряд Дирихле, удовлетворяющий приведенному выше функциональному уравнению, с автоморфной формой дискретной подгруппы SL(2, Z ) .

В случае k ≥ 3 Ханс Петерссон ввел метрику в пространстве модулярных форм, названную метрикой Петерссона (см. также метрику Вейля – Петерссона ). Эта гипотеза была названа в его честь. В рамках метрики Петерссона показано, что мы можем определить ортогональность в пространстве модульных форм как пространство параболических форм и его ортогональное пространство, и они имеют конечные размерности. Более того, мы можем конкретно вычислить размерность пространства голоморфных модулярных форм, используя теорему Римана – Роха (см. Размерности модулярных форм ).

Делинь (1971) использовал изоморфизм Эйхлера – Шимуры , чтобы свести гипотезу Рамануджана к гипотезам Вейля , которые он позже доказал. Более общая гипотеза Рамануджана-Петерсона для голоморфных параболических форм в теории эллиптических модулярных форм для конгруэнтных подгрупп имеет аналогичную формулировку с показателем ( k - 1)/2 , где k - вес формы. Эти результаты также следуют из гипотез Вейля , за исключением случая k = 1 , где это результат Делиня и Серра (1974) .

Гипотеза Рамануяна-Петерссона для форм Мааса все еще открыта (по состоянию на 2022 год), поскольку метод Делиня, который хорошо работает в голоморфном случае, не работает в реальном аналитическом случае.

Рамануджана-Петерссона для автоморфных Гипотеза форм

Сатаке (1966) переформулировал гипотезу Рамануджана-Петерссона в терминах автоморфных представлений для GL(2), заявив, что локальные компоненты автоморфных представлений лежат в главной серии, и предложил это условие как обобщение гипотезы Рамануджана-Петерссона на автоморфный случай. формы на другие группы. Другими словами, локальные компоненты форм возврата должны быть смягчены. Однако несколько авторов нашли контрпримеры для анизотропных групп , в которых компонент на бесконечности не был смягчен. Курокава (1978) и Хоу и Пятецкий-Шапиро (1979) показали, что эта гипотеза также неверна даже для некоторых квазирасщепленных и расщепляемых групп, построив автоморфные формы для унитарной группы U(2, 1) и симплектической группы Sp( 4), которые почти всюду не темперированы, связанные с представлением θ 10 .

После того, как контрпримеры были найдены, Пятецкий-Шапиро (1979) предположил, что переформулировка гипотезы все еще должна оставаться в силе. Текущая формулировка обобщенной гипотезы Рамануджана предназначена для глобально общего каспидального автоморфного представления связной редуктивной группы , где общее предположение означает, что представление допускает модель Уиттекера . В нем говорится, что каждый локальный компонент такого представления должен быть смягчен. заметил, Ленглендс что установление функториальности симметричных степеней автоморфных представлений GL( n ) даст доказательство гипотезы Рамануджана-Петерссона.

Связано с Рамануджаном через числовые поля [ править ]

Получение наилучших возможных оценок обобщенной гипотезы Рамануджана в случае числовых полей привлекло внимание многих математиков. Каждое улучшение считается важной вехой в мире современной теории чисел . Чтобы понять границы Рамануджана для GL( n ) , рассмотрим унитарное каспидальное автоморфное представление :

Классификация Бернштейна – Зелевинского говорит нам, что каждый p-адик π v может быть получен с помощью унитарной параболической индукции из представления

Здесь каждый является представлением GL( n i ) над местом v в форме

с закаленный. При n ≥ 2 граница Рамануджана — это число δ ≥ 0 такое, что

Классификацию Ленглендса можно использовать для архимедовых мест . Обобщенная гипотеза Рамануджана эквивалентна оценке δ = 0 .

Жаке, Пятецкий-Шапиро и Шалика (1983) получили первую оценку δ ≤ 1/2 для общей линейной группы GL( n ) , известную как тривиальная оценка. Важный прорыв был сделан Луо, Рудником и Сарнаком (1999) , которые в настоящее время придерживаются наилучшей общей оценки δ ≡ 1/2 − ( n 2 +1) −1 для произвольного n и любого числового поля . В случае GL(2) Ким и Сарнак установили границу прорыва δ = 7/64 , когда числовое поле является полем рациональных чисел , что получается как следствие результата функториальности Кима (2002) на симметричная кварта, полученная методом Ленглендса – Шахиди . Обобщение границ Кима-Сарнака на произвольное числовое поле возможно благодаря результатам Бломера и Брамли (2011) .

Для редуктивных групп, отличных от GL( n ) , обобщенная гипотеза Рамануджана будет следовать из принципа функториальности Ленглендса . Важным примером являются классические группы , где наилучшие оценки были получены Cogdell et al. (2004) как следствие их функториального подъема Ленглендса .

Рамануджана-Петерссона о полях функций Гипотеза глобальных

Доказательство Дринфельда глобального соответствия Ленглендса для GL(2) над полем глобальных функций ведет к доказательству гипотезы Рамануджана-Петерссона. Лафорг (2002) успешно распространил технику штуки Дринфельда на случай GL( n ) с положительной характеристикой. Используя другой метод, который расширяет метод Ленглендса-Шахиди , включив в него глобальные функциональные поля, Ломели (2009) доказывает гипотезу Рамануджана для классических групп .

Приложения [ править ]

Применением гипотезы Рамануджана является явное построение Рамануджана Любоцким Филлипсом , Сарнаком и . графов Действительно, название «граф Рамануджана» произошло от этой связи. Другое приложение состоит в том, что из гипотезы Рамануяна-Петерссона для общей линейной группы GL( n ) следует гипотеза Сельберга о собственных значениях лапласиана для некоторых дискретных групп.

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 157b1b691630974a1b6b24af63406b45__1715677620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/15/45/157b1b691630974a1b6b24af63406b45.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Ramanujan–Petersson conjecture - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)