Теорема Лафорга

В математике , теорема Лафорга принадлежащая Лорану Лафоргу , завершает программу Ленглендса для общих линейных групп над полями алгебраических функций , давая соответствие между автоморфными формами на этих группах и представлениями групп Галуа .

Гипотезы Ленглендса были выдвинуты Ленглендсом ( 1967 , 1970 ) и описывают соответствие между представлениями группы Вейля поля алгебраических функций и представлениями алгебраических групп над полем функций, обобщая теорию полей классов функциональных полей от абелевых групп Галуа до неабелевых групп Галуа. -абелевы группы Галуа.

Гипотезы Ленглендса для GL ₁

Гипотезы Ленглендса для GL ₁ ( K (и по существу эквивалентны ей) ) следуют из теории полей классов . Точнее, отображение Артина отображает группу классов иделей в абелианизацию группы Вейля.

Автоморфные представления GL _n ( F )

Представления GL _n ( F ), входящие в соответствие Ленглендса, являются автоморфными представлениями.

Теорема Лафорга для GL _n ( F )

Здесь F — глобальное поле некоторой положительной характеристики p , а ℓ — некоторое простое число, не равное p .

Теорема Лафорга утверждает, что существует биекция σ между:

• Классы эквивалентности каспидальных представлений π группы GL _n ( F ) и
• Классы эквивалентности неприводимых ℓ-адических представлений σ(π) размерности n абсолютной группы Галуа группы F

сохраняющее L -функцию в каждой точке F .

Доказательство теоремы Лафорга предполагает построение представления σ(π) абсолютной группы Галуа для каждого каспидального представления π. Идея сделать это состоит в том, чтобы просмотреть ℓ-адические когомологии стека модулей штук ранга n , которые имеют совместимые уровня N структуры для всех N . Когомологии содержат подчастные вида

π⊗σ(π)⊗σ(π) ^∨

который можно использовать для построения σ(π) из π. Основная проблема заключается в том, что стек модулей не имеет конечного типа, а это означает, что существуют огромные технические трудности при изучении его когомологий.

Приложения

Из теоремы Лафорга следует гипотеза Рамануджана-Петерссона о том, что если автоморфная форма для GL _n ( F ) имеет центральный характер конечного порядка, то соответствующие собственные значения Гекке в каждом неразветвленном месте имеют абсолютное значение 1.

Из теоремы Лафорга следует гипотеза Делиня (1980 , 1.2.10) о том, что неприводимое конечномерное l -адическое представление абсолютной группы Галуа с детерминантным характером конечного порядка имеет чистый вес 0.

См. также

• Локальные гипотезы Ленглендса

Ссылки

• Борель, Арманд (1979), «Автоморфные L-функции» , в Борель, Арманд ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Университет штата Орегон, Корваллис, Орегон, 1977), Часть 2 , том. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 27–61, ISBN.  978-0-8218-1437-6 , МР   0546608
• Делинь, Пьер (1980), «Гипотеза Вейля. II» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 (52): 137–252, doi : 10.1007/BF02684780 , ISSN   1618-1913 , MR   0601520 , S2CID   18976946 9
• Гельфанд, ИМ; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1969) [1966], Теория представлений и автоморфные функции , Обобщенные функции, вып. 6, Филадельфия, Пенсильвания: WB Saunders Co., ISBN  978-0-12-279506-0 , МР   0220673
• Лафорг, Лоран (1998), «Chtoucas de Drinfeld et application» [Дринфельдские штуки и приложения], Documenta Mathematica (на французском языке), II : 563–570, ISSN   1431-0635 , MR   1648105
• Лафорг, Лоран (2002), «Ктукас де Дринфельд, формула следов Артура-Сельберга и переписки Ленглендса». (Штукас Дринфельда, формула следа Артура-Сельберга и переписка Ленглендса) Труды Международного конгресса математиков, Vol. I (Пекин, 2002), 383–400, Высшее изд. Пресс, Пекин, 2002.
• Жаке, Х.; Ленглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Конспекты лекций по математике, том. 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058988 , ISBN.  978-3-540-04903-6 , МР   0401654 , S2CID   122773458
• Ленглендс, Роберт (1967), Письмо профессору Вейлю
• Ленглендс, Р.П. (1970), «Проблемы теории автоморфных форм» , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Конспекты лекций по математике, том. 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN.  978-3-540-05284-5 , МР   0302614
• Жерар Ломон (2002), «Работа Лорана Лафорга» , Труды ICM, Пекин, 2002, том. 1, 91–97,
• Г. Лаумон (2000), «Соответствие Ленглендса над функциональными полями (по Лорану Лаффоргу)» , Семинар Бурбаки, 52-й год, 1999–2000, вып. 873.

Внешние ссылки

• Публикации Лафорга
• Работа Роберта Ленглендса
• Рапопорт (2002), Работа Лорана Лафорга (PDF) , arXiv : math/0212417 , Бибкод : 2002math.....12417L