Граф смежности Шрайера
 |
В области математики , называемой комбинаторной теорией групп , граф смежных классов Шрайера — это граф, с группой G , порождающим набором S= { s i : i in I } группы G и подгруппой H ≤ G. связанный Граф Шрайера кодирует абстрактную структуру группы по модулю отношения эквивалентности, образованного смежным классом .
График назван в честь Отто Шрайера , который использовал термин «Nebengruppenbild». [1] Эквивалентное определение было дано в ранней статье Тодда и Коксетера. [2]
Описание
[ редактировать ]Граф Шрайера группы G, подгруппы H и порождающего множества S⊆G обозначается Sch(G,H,S) или Sch(H\G,S) . Его вершины являются правыми смежными классами Hg = { hg : h в H } для g в G , а его имеют вид ( Hg , Hgs ) для g в G и s в S. ребра
В более общем смысле, если X является G-множеством , граф Шрайера действия G на X (относительно S⊆G) обозначается Sch(G,X,S) или Sch(X,S). Его вершины являются элементами X, а его ребра имеют форму (x,xs) для x в X и s в S. Это включает в себя исходное определение графа смежных классов Шрайера, поскольку H\G является естественным G-множеством с относительно умножения справа. С алгебро-топологической точки зрения граф Sch(X,S) не имеет выделенной вершины, тогда как Sch(G,H,S) имеет выделенную вершину H и, таким образом, является точечным графом .
Граф Кэли самой группы G является графом смежных классов Шрайера для H = {1 G } ( Gross & Tucker 1987 , стр. 73).
Опорное дерево смежного графа Шрайера соответствует трансверсали Шрайера, как в лемме Шрайера о подгруппах ( Conder 2003 ).
Перечисленная ниже книга «Категории и группоиды» относит это к теории накрывающих морфизмов группоидов . Подгруппа H группы G определяет накрывающий морфизм группоидов и если S является порождающим набором для G , то его прообраз относительно p является графом Шрайера ( G , S ).
Приложения
[ редактировать ]График полезен для понимания перечисления смежных классов и алгоритма Тодда-Коксетера .
Графы смежных классов могут использоваться для формирования больших перестановками представлений групп и были использованы Грэмом Хигманом , чтобы показать, что чередующиеся группы достаточно большой степени являются группами Гурвица ( Conder 2003 ).
Столлингса Основные графики [3] являются ретрактами графов Шрайера свободных групп и важным инструментом для вычислений с подгруппами свободной группы.
Любой вершинно-транзитивный граф является смежным графом.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Шрайер, Отто (декабрь 1927 г.). «Подгруппы свободных групп». Трактаты математического семинара Гамбургского университета . 5 (1): 161–183. дои : 10.1007/BF02952517 .
- ^ Тодд, Дж.А.; Коксетер, HSM (октябрь 1936 г.). «Практический метод перечисления смежных классов конечной абстрактной группы» . Труды Эдинбургского математического общества . 5 (1): 26–34. дои : 10.1017/S0013091500008221 .
- ^ Джон Р. Столлингс. «Топология конечных графов». Inventiones Mathematicae , том. 71 (1983), вып. 3, стр. 551–565.
- Магнус, В.; Каррасс, А.; Солитар, Д. (1976), Комбинаторная теория групп , Дувр
- Кондер, Марстон (2003), «Групповые действия на графах, картах и поверхностях с максимальной симметрией», Группы Сент-Эндрюс, 2001 г. в Оксфорде. Том. Я , Лондонский математик. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 304, Cambridge University Press , стр. 63–91, MR 2051519.
- Гросс, Джонатан Л.; Такер, Томас В. (1987), Топологическая теория графов , Серия Wiley-Interscience по дискретной математике и оптимизации, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-04926-5 , МР 0898434
- Графики Шрайера группы «Базилика» Авторы: Даниэле Д'Анджели, Альфредо Донно, Мишель Маттер, Татьяна Нагнибеда
- Филип Дж. Хиггинс, Категории и группоиды, ван Ностранд, Нью-Йорк, конспекты лекций, 1971 г., переиздано как TAC Reprint, 2005 г.
 | Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |