Теорема Пикара
В комплексном анализе большая теорема Пикара и малая теорема Пикара являются связанными теоремами о диапазоне аналитической функции . Они названы в честь Эмиля Пикара .
Теоремы
[ редактировать ]Теорема Маленького Пикара: если функция является полным и непостоянным, то набор значений, который Предполагается, что это либо вся комплексная плоскость, либо плоскость минус одна точка.
Эскиз доказательства: оригинальное доказательство Пикара было основано на свойствах модульной лямбда-функции , обычно обозначаемой , и который осуществляет, используя современную терминологию, голоморфное универсальное покрытие плоскости дважды проколотой единичным диском. Эта функция явно строится в теории эллиптических функций . Если опускает два значения, то композиция с обратной модульной функцией отображает плоскость вединичный диск, что означает, что постоянна по теореме Лиувилля.
Эта теорема является существенным усилением теоремы Лиувилля, которая утверждает, что образ всей непостоянной функции должен быть неограниченным . Позже было найдено множество различных доказательств теоремы Пикара, и теорема Шоттки является ее количественной версией. В случае, когда значения отсутствует одна точка, эта точка называется лакунарным значением функции.
Теорема Великого Пикара: если аналитическая функция имеет существенную особенность в точке , то на любой окрестности проколотой принимает все возможные комплексные значения, не более чем за одним исключением, бесконечно часто.
Это существенное усиление теоремы Казорати–Вейерштрасса , которая лишь гарантирует, что диапазон значений плотно . в комплексной плоскости Результатом Великой теоремы Пикара является то, что любая целая неполиномиальная функция бесконечно часто, не более чем с одним исключением, принимает все возможные комплексные значения.
«Единственное исключение» необходимо в обеих теоремах, как показано здесь:
- и С это целая непостоянная функция, которая никогда не равна 0,
- имеет существенную особенность в 0, но все же никогда не достигает 0 как значение.
Доказательство
[ редактировать ]Теорема Маленького Пикара
[ редактировать ]Предполагать это целая функция, которая опускает два значения и . рассматривая мы можем без ограничения общности предположить, что и .
Потому что просто связен , и диапазон опускает , f имеет голоморфный логарифм . Позволять быть целой функцией такой, что . Тогда диапазон опускает все целые числа. По аналогичному рассуждению с использованием квадратичной формулы существует целая функция такой, что . Тогда диапазон опускает все комплексные числа вида , где является целым числом и является неотрицательным целым числом.
По теореме Ландау , если , то для всех , диапазон содержит диск радиуса . Но, как указано выше, любой достаточно большой диск содержит хотя бы одно число, которое отсутствует в диапазоне h . Поэтому для всех . По основной теореме исчисления , является постоянным, поэтому является постоянным.
Великая теорема Пикара
[ редактировать ]Доказательство Великой теоремы Пикара |
---|
Обобщение и текущие исследования
[ редактировать ]Теорема Великого Пикара верна в несколько более общей форме, которая применима и к мероморфным функциям :
Великая теорема Пикара (мероморфная версия): если M — риманова поверхность , w — точка на M , P 1 ( C ) = C ∪ {∞} обозначает сферу Римана и f : M \ { w } → P 1 ( C ) — голоморфная функция с существенной особенностью в точке w , то на любом открытом подмножестве M , содержащем w , функция f ( z кроме не более чем двух . ) достигает всех точек P, 1 ( C ) бесконечно часто.
Пример: функция f ( z ) = 1/(1 − e 1/ з ) мероморфен на C* = C — {0} — комплексной плоскости с удаленным началом координат. Он имеет существенную особенность при z = 0 и бесконечно часто достигает значения ∞ в любой окрестности 0; однако он не достигает значений 0 или 1.
Благодаря этому обобщению теорема Литтла Пикара следует из Великой теоремы Пикара, поскольку целая функция либо является полиномом, либо имеет существенную особенность на бесконечности. Как и в случае с малой теоремой, недостигнутые точки (не более двух) являются лакунарными значениями функции.
Следующая гипотеза связана с «Великой теоремой Пикара»: [1]
Гипотеза: Пусть { U 1 , ..., U n } — совокупность открытых связных подмножеств C , покрывающих проколотый единичный круг D \ {0}. Предположим, что на каждом U j существует инъективная голоморфная функция f j такая, что d f j = d f k на каждом пересечении U j ∩ U k . дифференциалы склеиваются в мероморфную 1- форму на D. Тогда
Ясно, что дифференциалы склеиваются в голоморфную 1-форму g d z на D \ {0}. В частном случае, когда вычет g в точке 0 равен нулю, гипотеза следует из «Великой теоремы Пикара».
Примечания
[ редактировать ]- ^ Элснер, Б. (1999). «Гиперэллиптический интеграл действия» (PDF) . Анналы Института Фурье . 49 (1): 303–331. дои : 10.5802/aif.1675 .
Ссылки
[ редактировать ]- Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-90328-3 .
- Шурман, Джерри. «Набросок теоремы Пикара» (PDF) . Проверено 18 мая 2010 г.