Jump to content

Теорема Пикара

(Перенаправлено из теоремы Литтла Пикара )

В комплексном анализе большая теорема Пикара и малая теорема Пикара являются связанными теоремами о диапазоне аналитической функции . Они названы в честь Эмиля Пикара .

График раскраски области функции exp( 1 z ), с центром в существенной особенности в точке z = 0. Оттенок точки z представляет собой аргумент exp( 1 z ), яркость представляет собой абсолютное значение. Этот график показывает, что сколь угодно близко к сингулярности достигаются все ненулевые значения.

Теорема Маленького Пикара: если функция является полным и непостоянным, то набор значений, который Предполагается, что это либо вся комплексная плоскость, либо плоскость минус одна точка.

Эскиз доказательства: оригинальное доказательство Пикара было основано на свойствах модульной лямбда-функции , обычно обозначаемой , и который осуществляет, используя современную терминологию, голоморфное универсальное покрытие плоскости дважды проколотой единичным диском. Эта функция явно строится в теории эллиптических функций . Если опускает два значения, то композиция с обратной модульной функцией отображает плоскость вединичный диск, что означает, что постоянна по теореме Лиувилля.

Эта теорема является существенным усилением теоремы Лиувилля, которая утверждает, что образ всей непостоянной функции должен быть неограниченным . Позже было найдено множество различных доказательств теоремы Пикара, и теорема Шоттки является ее количественной версией. В случае, когда значения отсутствует одна точка, эта точка называется лакунарным значением функции.

Теорема Великого Пикара: если аналитическая функция имеет существенную особенность в точке , то на любой окрестности проколотой принимает все возможные комплексные значения, не более чем за одним исключением, бесконечно часто.

Это существенное усиление теоремы Казорати–Вейерштрасса , которая лишь гарантирует, что диапазон значений плотно . в комплексной плоскости Результатом Великой теоремы Пикара является то, что любая целая неполиномиальная функция бесконечно часто, не более чем с одним исключением, принимает все возможные комплексные значения.

«Единственное исключение» необходимо в обеих теоремах, как показано здесь:

  • и С это целая непостоянная функция, которая никогда не равна 0,
  • имеет существенную особенность в 0, но все же никогда не достигает 0 как значение.

Доказательство

[ редактировать ]

Теорема Маленького Пикара

[ редактировать ]

Предполагать это целая функция, которая опускает два значения и . рассматривая мы можем без ограничения общности предположить, что и .

Потому что просто связен , и диапазон опускает , f имеет голоморфный логарифм . Позволять быть целой функцией такой, что . Тогда диапазон опускает все целые числа. По аналогичному рассуждению с использованием квадратичной формулы существует целая функция такой, что . Тогда диапазон опускает все комплексные числа вида , где является целым числом и является неотрицательным целым числом.

По теореме Ландау , если , то для всех , диапазон содержит диск радиуса . Но, как указано выше, любой достаточно большой диск содержит хотя бы одно число, которое отсутствует в диапазоне h . Поэтому для всех . По основной теореме исчисления , является постоянным, поэтому является постоянным.

Великая теорема Пикара

[ редактировать ]
Доказательство Великой теоремы Пикара

Suppose f is an analytic function on the punctured disk of radius r around the point w, and that f omits two values z0 and z1. By considering (f(p + rz) − z0)/(z1z0) we may assume without loss of generality that z0 = 0, z1 = 1, w = 0, and r = 1.

The function F(z) = f(ez) is analytic in the right half-plane Re(z) > 0. Because the right half-plane is simply connected, similar to the proof of the Little Picard Theorem, there are analytic functions G and H defined on the right half-plane such that F(z) = eiG(z) and G(z) = cos(H(z)). For any w in the right half-plane, the open disk with radius Re(w) around w is contained in the domain of H. By Landau's theorem and the observation about the range of H in the proof of the Little Picard Theorem, there is a constant C > 0 such that |H′(w)| ≤ C / Re(w). Thus, for all real numbers x ≥ 2 and 0 ≤ y ≤ 2π,

where A > 0 is a constant. So |G(x + iy)| ≤ xA.

Next, we observe that F(z + 2πi) = F(z) in the right half-plane, which implies that G(z + 2πi) − G(z) is always an integer. Because G is continuous and its domain is connected, the difference G(z + 2πi) − G(z) = k is a constant. In other words, the function G(z) − kz / (2πi) has period 2πi. Thus, there is an analytic function g defined in the punctured disk with radius e−2 around 0 such that G(z) − kz / (2πi) = g(ez).

Using the bound on G above, for all real numbers x ≥ 2 and 0 ≤ y ≤ 2π,

holds, where A′ > A and C′ > 0 are constants. Because of the periodicity, this bound actually holds for all y. Thus, we have a bound |g(z)| ≤ C′(−log|z|)A for 0 < |z| < e−2. By Riemann's theorem on removable singularities, g extends to an analytic function in the open disk of radius e−2 around 0.

Hence, G(z) − kz / (2πi) is bounded on the half-plane Re(z) ≥ 3. So F(z)ekz is bounded on the half-plane Re(z) ≥ 3, andf(z)zk is bounded in the punctured disk of radius e−3 around 0. By Riemann's theorem on removable singularities, f(z)zk extends to an analytic function in the open disk of radius e−3 around 0. Therefore, f does not have an essential singularity at 0.

Therefore, if the function f has an essential singularity at 0, the range of f in any open disk around 0 omits at most one value. If f takes a value only finitely often, then in a sufficiently small open disk around 0, f omits that value. So f(z) takes all possible complex values, except at most one, infinitely often.

Обобщение и текущие исследования

[ редактировать ]

Теорема Великого Пикара верна в несколько более общей форме, которая применима и к мероморфным функциям :

Великая теорема Пикара (мероморфная версия): если M риманова поверхность , w — точка на M , P 1 ( C ) = C ∪ {∞} обозначает сферу Римана и f : M \ { w } → P 1 ( C ) — голоморфная функция с существенной особенностью в точке w , то на любом открытом подмножестве M , содержащем w , функция f ( z кроме не более чем двух . ) достигает всех точек P, 1 ( C ) бесконечно часто.

Пример: функция f ( z ) = 1/(1 − e 1/ з ) мероморфен на C* = C — {0} — комплексной плоскости с удаленным началом координат. Он имеет существенную особенность при z = 0 и бесконечно часто достигает значения ∞ в любой окрестности 0; однако он не достигает значений 0 или 1.

Благодаря этому обобщению теорема Литтла Пикара следует из Великой теоремы Пикара, поскольку целая функция либо является полиномом, либо имеет существенную особенность на бесконечности. Как и в случае с малой теоремой, недостигнутые точки (не более двух) являются лакунарными значениями функции.

Следующая гипотеза связана с «Великой теоремой Пикара»: [1]

Гипотеза: Пусть { U 1 , ..., U n } — совокупность открытых связных подмножеств C , покрывающих проколотый единичный круг D \ {0}. Предположим, что на каждом U j существует инъективная голоморфная функция f j такая, что d f j = d f k на каждом пересечении U j U k . дифференциалы склеиваются в мероморфную 1- форму на D. Тогда

Ясно, что дифференциалы склеиваются в голоморфную 1-форму g d z на D \ {0}. В частном случае, когда вычет g в точке 0 равен нулю, гипотеза следует из «Великой теоремы Пикара».

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Элснер, Б. (1999). «Гиперэллиптический интеграл действия» (PDF) . Анналы Института Фурье . 49 (1): 303–331. дои : 10.5802/aif.1675 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3796cda1cd198f8a728e442ba0e34439__1699445460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/37/39/3796cda1cd198f8a728e442ba0e34439.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Picard theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)