Теорема Шоттки

В математическом комплексном анализе теорема Шоттки , введенная Шоттки ( 1904 ), является количественной версией теоремы Пикара . Он утверждает, что для голоморфной функции f в открытом единичном круге, которая не принимает значения 0 или 1, значение | ж ( z )| может быть ограничено через z и f (0).

Исходная теорема Шоттки не давала явной оценки f . Островский ( 1931 , 1933 ) дал несколько слабых явных оценок. Альфорс (1938 , теорема B) дал сильную явную оценку, показав, что если f голоморфен в открытом единичном круге и не принимает значения 0 или 1, то

$\log |f(z)|\leq {\frac {1+|z|}{1-|z|}}(7+\max(0,\log |f(0)|))$.

Некоторые авторы, такие как Дженкинс (1955) , дали варианты границы Альфорса с лучшими константами: в частности, Хемпель (1980) дал некоторые границы, константы которых в некотором смысле являются наилучшими из возможных.

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1938), «Расширение леммы Шварца», Труды Американского математического общества , 43 (3): 359–364, doi : 10.2307/1990065 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1990065
• Хемпель, Иоахим А. (1980), «Точные оценки в теоремах Шоттки и Пикара», Журнал Лондонского математического общества , 21 (2): 279–286, doi : 10.1112/jlms/s2-21.2.279 , ISSN   0024-6107 , МР   0575385
• Дженкинс, Дж. А. (1955), «О явных границах в теореме Шоттки», Canadian Journal of Mathematics , 7 : 76–82, doi : 10.4153/CJM-1955-010-4 , ISSN   0008-414X , MR   0066460
• Островский, AM (1931), Исследования по теореме Шоттки , Базель, Б. Вепф и т. д.
• Островский, Александр (1933), «Асимптотическая оценка абсолютного значения функции, не принимающей значений 0 и 1», Commentarii Mathematici Helvetici , 5 : 55–87, doi : 10.1007/bf01297506 , ISSN   0010-2571 , S2CID   119852055
• Шоттки, Ф. (1904), «О теореме Пикара и неравенствах Бореля», труды Прусской академии наук в Берлине : 1244–1263.