Ограниченная функция

В математике функция $f$ определено на некотором множестве $X$ с действительными или комплексными значениями, называется ограниченным, если множество его значений ограничено . Другими словами, существует действительное число $M$ такой, что

|f(x)|\leq M

для всех $x$ в $X$ . ^[1] Функция, которая не ограничена, называется неограниченной . ^{[ нужна ссылка ]}

Если $f$ имеет реальную ценность и $f(x)\leq A$ для всех $x$ в $X$ , то говорят, что функция ограничена (сверху) равенством $A$ . Если $f(x)\geq B$ для всех $x$ в $X$ , то говорят, что функция ограничена (снизу) равенством $B$ . Действительная функция ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена сверху и снизу. ^[1]^{[ необходимы дополнительные ссылки ]}

Важным частным случаем является ограниченная последовательность , где $X$ принимается за множество $\mathbb {N}$ натуральных чисел . Таким образом, последовательность $f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ ограничен, если существует действительное число $M$ такой, что

|a_{n}|\leq M

для каждого натурального числа $n$ . Множество всех ограниченных последовательностей образует пространство последовательностей. $l^{\infty }$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Определение ограниченности можно обобщить на функции $f:X\rightarrow Y$ принятие значений в более общем пространстве $Y$ требуя, чтобы изображение $f(X)$ является ограниченным множеством в $Y$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Связанные понятия

Слабее ограниченности является локальная ограниченность . Семейство ограниченных функций может быть равномерно ограниченным .

Ограниченный оператор $T:X\rightarrow Y$ не является ограниченной функцией в смысле определения на этой странице (если только $T=0$ ), но обладает более слабым свойством сохранения ограниченности ; ограниченные множества $M\subseteq X$ отображаются в ограниченные множества $T(M)\subseteq Y$ . Это определение можно распространить на любую функцию $f:X\rightarrow Y$ если $X$ и $Y$ допускают понятие ограниченного множества. Ограниченность также можно определить, посмотрев на график. ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры

Синусоидальная функция $\sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ограничен, поскольку $|\sin(x)|\leq 1$ для всех $x\in \mathbb {R}$ . ^[1]^[2]
Функция $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ , определенный для всех реальных $x$ за исключением −1 и 1, неограничен. Как $x$ приближается к −1 или 1, значения этой функции становятся больше по величине. Эту функцию можно сделать ограниченной, если ограничить ее область определения, например, $[2,\infty )$ или $(-\infty ,-2]$ . ^{[ нужна ссылка ]}
Функция ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ , определенный для всех реальных $x$ , ограничено , поскольку ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ для всех $x$ . ^{[ нужна ссылка ]}
Обратная тригонометрическая функция арктангенс определяется как: $y=\arctan(x)$ или $x=\tan(y)$ увеличивается для всех действительных чисел $x$ и ограничено $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$ радианы ^[3]
По теореме об ограниченности каждая непрерывная функция на отрезке, такая как $f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ , ограничено. ^[4] В более общем смысле, любая непрерывная функция из компакта в метрическое пространство ограничена. ^{[ нужна ссылка ]}
Все комплексные функции $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ которые являются целыми , либо неограничены, либо постоянны, как следствие теоремы Лиувилля . ^[5] В частности, комплекс $\sin :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ должно быть неограниченным, поскольку оно целое. ^{[ нужна ссылка ]}
Функция $f$ который принимает значение 0 для $x$ рациональное число и 1 для $x$ иррациональное число (ср. функция Дирихле ) ограничено . Таким образом, функция не обязательно должна быть «хорошей», чтобы быть ограниченной. Множество всех ограниченных функций, определенных на $[0,1]$ намного больше, чем множество непрерывных функций на этом интервале. ^{[ нужна ссылка ]} Более того, непрерывные функции не обязательно должны быть ограниченными; например, функции $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ и $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ определяется $g(x,y):=x+y$ и $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ оба непрерывны, но ни один из них не ограничен. ^[6] (Однако непрерывная функция должна быть ограниченной, если ее область определения одновременно замкнута и ограничена. ^[6])