Равномерная ограниченность

В математике равномерно ограниченное семейство функций , которые все могут — это семейство ограниченных функций быть ограничены одной и той же константой. Эта константа больше или равна абсолютному значению любого значения любой функции в семействе.

Определение

Реальная линия и сложная плоскость

Позволять

{\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}

быть семейством функций индексированных , $I$ , где $X$ является произвольным множеством и $K$ представляет собой набор действительных или комплексных чисел . Мы звоним ${\mathcal {F}}$ равномерно ограничен, если существует действительное число $M$ такой, что

|f_{i}(x)|\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.

Метрическое пространство

В общем, пусть $Y$ быть метрическим пространством с метрикой $d$ , то набор

{\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}

называется равномерно ограниченным, если существует элемент $a$ от $Y$ и реальное число $M$ такой, что

d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.

Примеры

Любая равномерно сходящаяся последовательность ограниченных функций равномерно ограничена.
Семейство функций $f_{n}(x)=\sin nx$ определено по -настоящему $x$ с $n$ путешествуя по целым числам , равномерно ограничено единицей.
Семейство производных указанного выше семейства, $f'_{n}(x)=n\,\cos nx,$ является не равномерно ограниченным. Каждый $f'_{n}$ ограничен $|n|,$ но реального числа нет $M$ такой, что $|n|\leq M$ для всех целых чисел $n.$

Ссылки

Ма, Цой-Во (2002). Пространства Банаха–Гильберта, векторные меры, представления групп . Всемирная научная. п. 620 стр. ISBN 981-238-038-8 .