Теорема об экстремальных значениях

Эта статья о концепции исчисления. О статистической концепции см. теорему Фишера-Типпета-Гнеденко .

Непрерывная функция $f(x)$ на закрытом интервале $[a,b]$ показаны абсолютный максимум (красный) и абсолютный минимум (синий).

В исчислении теорема об экстремальных значениях гласит, что если вещественная функция $f$ непрерывен ​ на замкнутом и ограниченном интервале $[a,b]$, затем $f$ должен достичь максимума и минимума , каждый хотя бы один раз. То есть существуют числа $c$ и $d$ в $[a,b]$ такой, что: $$f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]$$

Теорема об крайних значениях более конкретна, чем связанная с ней теорема об ограниченности , которая просто утверждает, что непрерывная функция $f$ на закрытом интервале $[a,b]$ ограничен ; на этом интервале то есть существуют действительные числа $m$ и $M$ такой, что: $$m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].$$

Это не говорит о том, что $M$ и $m$ обязательно являются максимальным и минимальным значениями $f$ на интервале $[a,b],$ что, как утверждает теорема об экстремальных значениях, также должно иметь место.

Теорема об крайних значениях используется для доказательства теоремы Ролля . В формулировке Карла Вейерштрасса эта теорема утверждает, что непрерывная функция от непустого компакта до подмножества действительных чисел достигает максимума и минимума.

История

Теорема о крайних значениях была первоначально доказана Бернаром Больцано в 1830-х годах в работе «Теория функций», но эта работа оставалась неопубликованной до 1930 года. Доказательство Больцано состояло в том, чтобы показать, что непрерывная функция на замкнутом интервале ограничена, а затем показать, что функция достигает максимальное и минимальное значение. Оба доказательства включали то, что сегодня известно как теорема Больцано-Вейерштрасса .

Функции, к которым теорема неприменима

Следующие примеры показывают, почему область определения функции должна быть замкнутой и ограниченной, чтобы теорема могла применяться. Каждый из них не может достичь максимума на данном интервале.

1. $f(x)=x$ определено более $[0,\infty )$ не ограничено сверху.
2. $f(x)={\frac {x}{1+x}}$ определено более $[0,\infty )$ ограничено, но не достигает своей наименьшей верхней границы $1$.
3. $f(x)={\frac {1}{x}}$ определено более $(0,1]$ не ограничено сверху.
4. $f(x)=1-x$ определено более $(0,1]$ ограничен, но никогда не достигает своей наименьшей верхней границы $1$.

Определение $f(0)=0$ в последних двух примерах показывает, что обе теоремы требуют непрерывности на $[a,b]$.

Обобщение на метрические и топологические пространства.

При переходе от реальной линии $\mathbb {R}$ для метрических пространств и общих топологических пространств подходящим обобщением замкнутого ограниченного интервала является компакт . Набор $K$ называется компактным, если оно обладает следующим свойством: из любого набора открытых множеств $U_{\alpha }$ такой, что ${\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K}$, конечная подколлекция $U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}$можно выбрать так, что ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K}$. Обычно это кратко формулируется как «каждая открытая крышка $K$ имеет конечное подпокрытие». Теорема Гейне-Бореля утверждает, что подмножество действительной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно одновременно замкнуто и ограничено. Соответственно, метрическое пространство обладает свойством Гейне-Бореля , если каждое замкнутое и ограниченное множество еще и компактный.

Понятие непрерывной функции также можно обобщить. Учитывая топологические пространства $V,\ W$, функция $f:V\to W$ называется непрерывным, если для любого открытого множества $U\subset W$, $f^{-1}(U)\subset V$ также открыт. Учитывая эти определения, можно показать, что непрерывные функции сохраняют компактность:

Теорема. Если $V,\ W$ являются топологическими пространствами, $f:V\to W$ является непрерывной функцией, и $K\subset V$ компактен, то $f(K)\subset W$ также компактен.

В частности, если $W=\mathbb {R}$, то из этой теоремы следует, что $f(K)$ замкнуто и ограничено для любого компакта $K$, что, в свою очередь, означает, что $f$ достигает верхней и нижней граней на любом (непустом) компакте $K$. Таким образом, мы имеем следующее обобщение теоремы о крайних значениях:

Теорема. Если $K$ представляет собой компактный набор и $f:K\to \mathbb {R}$ является непрерывной функцией, то $f$ ограничено и существуют $p,q\in K$ такой, что ${\textstyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)}$ и ${\textstyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}$.

В более общем смысле это справедливо и для полунепрерывной сверху функции. (см. компактное пространство#Функции и компактные пространства ).

Доказательство теорем

Мы рассмотрим доказательство верхней границы и максимума $f$. Применяя эти результаты к функции $-f$, существование нижней границы и результат для минимума $f$ следует. Также обратите внимание, что все в доказательстве делается в контексте действительных чисел .

Сначала мы докажем теорему об ограниченности, которая является шагом в доказательстве теоремы о крайних значениях. Основные этапы доказательства теоремы об экстремальных значениях следующие:

1. Докажите теорему ограниченности.
2. Найдите последовательность так, чтобы ее образ сходился к верхней границе $f$.
3. Покажите, что существует подпоследовательность , сходящаяся к точке области определения .
4. Используйте непрерывность, чтобы показать, что образ подпоследовательности сходится к супремуму.

Доказательство теоремы об ограниченности

Заявление Если $f(x)$ постоянно включен $[a,b]$ тогда оно ограничено $[a,b]$

Предположим, что функция $f$ не ограничено сверху на интервале $[a,b]$. Тогда для каждого натурального числа $n$, существует $x_{n}\in [a,b]$ такой, что $f(x_{n})>n$. Это определяет последовательность $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Потому что $[a,b]$ ограничена, то из теоремы Больцано–Вейерштрасса следует, что существует сходящаяся подпоследовательность $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ из $({x_{n}})$. Обозначим его предел через $x$. Как $[a,b]$ закрыт, он содержит $x$. Потому что $f$ является непрерывным в $x$, мы это знаем $f(x_{{n}_{k}})$ сходится к действительному числу $f(x)$ (как $f$ является последовательно непрерывным при $x$). Но $f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k$ для каждого $k$, что означает, что $f(x_{{n}_{k}})$ расходится к $+\infty$, противоречие. Поэтому, $f$ ограничено сверху на $[a,b]$.  $\Box$

Альтернативное доказательство

Заявление Если $f(x)$ постоянно включен $[a,b]$ тогда оно ограничено $[a,b]$

Доказательство. Рассмотрим множество $B$ очков $p$ в $[a,b]$ такой, что $f(x)$ ограничен $[a,p]$. Мы отмечаем, что $a$ является одним из таких моментов, поскольку $f(x)$ ограничен $[a,a]$ по значению $f(a)$. Если $e>a$ это другая точка, то все точки между $a$ и $e$ также принадлежат $B$. Другими словами $B$ – интервал, замкнутый на левом конце $a$.

Сейчас $f$ непрерывен справа в $a$, следовательно, существует $\delta >0$ такой, что $|f(x)-f(a)|<1$ для всех $x$ в $[a,a+\delta ]$. Таким образом $f$ ограничен $f(a)-1$ и $f(a)+1$ на интервале $[a,a+\delta ]$ так что все эти точки принадлежат $B$.

До сих пор мы знаем, что $B$ — интервал ненулевой длины, замкнутый на левом конце $a$.

Следующий, $B$ ограничено сверху $b$. Отсюда набор $B$ это из последнего $[a,b]$ ; давайте назовем это $s$. Из ненулевой длины $B$ мы можем это сделать $s>a$.

Предполагать $s<b$. Сейчас $f$ является непрерывным в $s$, следовательно, существует $\delta >0$ такой, что $|f(x)-f(s)|<1$ для всех $x$ в $[s-\delta ,s+\delta ]$ так что $f$ ограничено на этом интервале. Но это следует из превосходства $s$ что существует точка, принадлежащая $B$, $e$ скажем, что больше, чем $s-\delta /2$. Таким образом $f$ ограничен $[a,e]$ который перекрывается $[s-\delta ,s+\delta ]$ так что $f$ ограничен $[a,s+\delta ]$. Однако это противоречит верховенству $s$.

Поэтому мы должны иметь $s=b$. Сейчас $f$ непрерывен слева в $s$, следовательно, существует $\delta >0$ такой, что $|f(x)-f(s)|<1$ для всех $x$ в $[s-\delta ,s]$ так что $f$ ограничено на этом интервале. Но это следует из превосходства $s$ что существует точка, принадлежащая $B$, $e$ скажем, что больше, чем $s-\delta /2$. Таким образом $f$ ограничен $[a,e]$ который перекрывается $[s-\delta ,s]$ так что $f$ ограничен $[a,s]$.   ∎

Доказательство теоремы о крайних значениях

По теореме об ограниченности f ограничена сверху, следовательно, в силу дедекиндовой полноты действительных чисел наименьшая верхняя граница (супремум) M функции f существует . Необходимо найти точку d в [ a , b ] такую, что M = f ( d ). Пусть n — натуральное число. Поскольку M является наименьшей верхней границей, M – 1/ n не является верхней границей для f . Следовательно, существует d _n в [ a , b ] такой, что M – 1/ n < f ( d _n ). Это определяет последовательность { d _n }. Поскольку M является верхней границей f , мы имеем M – 1/ n < f ( dn ₎ ≤ M для всех n . Следовательно, последовательность { f ( d _n )} сходится к M .

Теорема Больцано –Вейерштрасса говорит нам, что существует подпоследовательность { $d_{n_{k}}$}, который сходится к некоторому d и, поскольку [ a , b ] замкнуто, d находится в [ a , b ]. Поскольку f непрерывна в точке d , последовательность { f ( $d_{n_{k}}$)} сходится к f ( d ). Но { f ( d _{n k} )} — это подпоследовательность { f ( d _n )}, которая сходится к M , поэтому M = f ( d ). Следовательно, f достигает своего максимума M в точке d . ∎

Альтернативное доказательство теоремы о крайних значениях

Множество { y ∈ R : y = f ( x ) для некоторого x ∈ [ a , b ]} является ограниченным множеством. Следовательно, его наименьшая верхняя граница существует в силу свойства наименьшей верхней границы действительных чисел. Пусть M = sup( f ( x )) на [ a , b ] . ] нет точки x Если на [ a , b такой, что f ( x ) = M , то ж ( Икс ) < M на [ а , б ]. Следовательно, 1/( M − f ( x )) непрерывен на [ a , b ].

Однако для каждого положительного числа ε всегда существует некоторый x в [ a , b ] такой, что M − f ( x ) < ε , потому что M — наименьшая верхняя граница. Следовательно, 1/( M − f ( x )) > 1/ ε , а это означает, что 1/( M − f ( x )) не ограничено. Поскольку каждая непрерывная функция на a [ a , b ] ограничена, это противоречит выводу о том, что 1/( M − f ( x )) была непрерывной на [ a , b ]. Следовательно, должна существовать точка x в [ a , b ] такая, что ( x ) = M. f ∎

Доказательство с использованием гиперреальности

В условиях нестандартного исчисления пусть N будет бесконечным гиперцелым числом . Интервал [0, 1] имеет естественное гипервещественное расширение. Рассмотрим его разбиение на N подинтервалов равной бесконечно малой длины 1/ N с точками разделения x _i = i / N когда i «бегет» от 0 до N. , Функция ƒ также естественным образом расширяется до функции ƒ *, определенной на гиперреалах между 0 и 1. Обратите внимание, что в стандартной настройке (когда N конечно) точку с максимальным значением ƒ всегда можно выбрать среди N + 1 точка x _i , по индукции. Следовательно, по принципу переноса существует гиперцелое число i ₀ такое, что 0 ⩽ i ₀ ⩽ N и $f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})$ для всех i = 0, ..., N . Рассмотрим реальную точку $$c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})$$где st — стандартная часть функции . Произвольная вещественная точка x лежит в подходящем подинтервале разбиения, а именно $x\in [x_{i},x_{i+1}]$, так что st ( x _i ) = x . Применяя st к неравенству $f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})$, мы получаем $\mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))$. По непрерывности ƒ имеем

$\mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)$.

Следовательно, ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ) для всех действительных x , доказывая, что c является максимумом ƒ .

Доказательство из первых принципов

Заявление Если $f(x)$ постоянно включен $[a,b]$ то он достигает своего максимума на $[a,b]$

Доказательство . По теореме об ограниченности $f(x)$ ограничено сверху на $[a,b]$ и по свойству полноты действительных чисел имеет верхнюю грань в $[a,b]$. Давайте назовем это $M$, или $M[a,b]$. Понятно, что ограничение $f$ на подинтервал $[a,x]$ где $x\leq b$ это из последнего $M[a,x]$ что меньше или равно $M$, и это $M[a,x]$ увеличивается с $f(a)$ к $M$ как $x$ увеличивается с $a$ к $b$.

Если $f(a)=M$ тогда мы закончили. Предположим поэтому, что $f(a)<M$ и пусть $d=M-f(a)$. Рассмотрим набор $L$ очков $x$ в $[a,b]$ такой, что $M[a,x]<M$.

Четко $a\in L$ ; более того, если $e>a$ это еще один момент $L$ тогда все точки между $a$ и $e$ также принадлежат $L$ потому что $M[a,x]$ монотонно возрастает. Следовательно $L$ – непустой интервал, замкнутый на левом конце $a$.

Сейчас $f$ непрерывен справа в $a$, следовательно, существует $\delta >0$ такой, что $|f(x)-f(a)|<d/2$ для всех $x$ в $[a,a+\delta ]$. Таким образом $f$ меньше, чем $M-d/2$ на интервале $[a,a+\delta ]$ так что все эти точки принадлежат $L$.

Следующий, $L$ ограничено сверху $b$ и поэтому имеет верхнюю грань в $[a,b]$: давайте назовем это $s$. Мы видим из вышесказанного, что $s>a$. Мы покажем это $s$ это точка, которую мы ищем, т.е. точка, где $f$ достигает своего максимума, или, другими словами, $f(s)=M$.

Предположим обратное, а именно. $f(s)<M$. Позволять $d=M-f(s)$ и рассмотрим следующие два случая:

1. $s<b$. Как $f$ является непрерывным в $s$, существует $\delta >0$ такой, что $|f(x)-f(s)|<d/2$ для всех $x$ в $[s-\delta ,s+\delta ]$. Это означает, что $f$ меньше, чем $M-d/2$ на интервале $[s-\delta ,s+\delta ]$. Но это следует из превосходства $s$ что существует точка, $e$ скажем, принадлежащий $L$ что больше, чем $s-\delta$. По определению $L$, $M[a,e]<M$. Позволять $d_{1}=M-M[a,e]$ тогда для всех $x$ в $[a,e]$, $f(x)\leq M-d_{1}$. принимая $d_{2}$ быть минимумом $d/2$ и $d_{1}$, у нас есть $f(x)\leq M-d_{2}$ для всех $x$ в $[a,s+\delta ]$.
   Следовательно $M[a,s+\delta ]<M$ так что $s+\delta \in L$. Однако это противоречит верховенству $s$ и завершает доказательство.
2. $s=b$. Как $f$ непрерывен слева в $s$, существует $\delta >0$ такой, что $|f(x)-f(s)|<d/2$ для всех $x$ в $[s-\delta ,s]$. Это означает, что $f$ меньше, чем $M-d/2$ на интервале $[s-\delta ,s]$. Но это следует из превосходства $s$ что существует точка, $e$ скажем, принадлежащий $L$ что больше, чем $s-\delta$. По определению $L$, $M[a,e]<M$. Позволять $d_{1}=M-M[a,e]$ тогда для всех $x$ в $[a,e]$, $f(x)\leq M-d_{1}$. принимая $d_{2}$ быть минимумом $d/2$ и $d_{1}$, у нас есть $f(x)\leq M-d_{2}$ для всех $x$ в $[a,b]$. Это противоречит верховенству $M$ и завершает доказательство.

Расширение до полунепрерывных функций

Если непрерывность функции f ослаблена до полунепрерывности , то выполняются соответствующие половины теоремы об ограниченности и теоремы о крайних значениях и значения –∞ или +∞ соответственно из расширенной прямой действительных чисел могут быть допущены как возможные ценности. Точнее:

Теорема: Если функция f : [ a , b ] → [–∞, ∞) полунепрерывна сверху, то это означает, что $$\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)$$для всех x в [ a , b ], то f ограничено сверху и достигает верхней границы.

Доказательство: если f ( x ) = –∞ для всех x в [ a , b ], то верхняя грань также равна –∞ и теорема верна. Во всех остальных случаях доказательство представляет собой небольшую модификацию приведенных выше доказательств. В доказательстве теоремы об ограниченности полунепрерывность сверху f в точке x означает только то, что верхний предел подпоследовательности { f ( x _{n k} )} ограничен сверху f ( x ) < ∞, но этого достаточно, чтобы получить противоречие. В доказательстве теоремы о крайнем значении полунепрерывность сверху f в d означает, что верхний предел подпоследовательности { f ( d _{n k} )} ограничен сверху f ( d ), но этого достаточно, чтобы заключить, что f ( г ) знак равно М . ∎

Применение этого результата к − f доказывает:

Теорема: Если функция f : [ a , b ] → (–∞, ∞] полунепрерывна снизу, то это означает, что $$\liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)$$для всех x в [ a , b ], то f ограничено снизу и достигает своей нижней границы .

Действительная функция полунепрерывна как сверху, так и снизу тогда и только тогда, когда она непрерывна в обычном смысле. Следовательно, из этих двух теорем вытекают теорема об ограниченности и теорема о крайних значениях.

Дальнейшее чтение

• Адамс, Роберт А. (1995). Исчисление: Полный курс . Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 706–707. ISBN  0-201-82823-5 .
• Проттер, Миннесота ; Морри, CB (1977). «Теоремы об ограниченности и крайних значениях» . Первый курс реального анализа . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 71–73. ISBN  0-387-90215-5 .

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы об экстремальных значениях при разрубании узла
• Теорема об экстремальных значениях Жаклин Вандзура с дополнительным вкладом Стивена Вандзура, Демонстрационный проект Wolfram .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о экстремальном значении» . Математический мир .
• системы Mizar Доказательство : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15