Теорема Гейне – Бореля

В реальном анализе теорема Гейне-Бореля , названная в честь Эдуарда Гейне и Эмиля Бореля , гласит:

Для подмножества S пространства евклидова R ^н, следующие два утверждения эквивалентны:

S компактно . то есть каждое открытое покрытие S , имеет конечное подпокрытие
S замкнуто и ограничено .

История и мотивация

История того, что сегодня называется теоремой Гейне-Бореля, начинается в XIX веке с поиска прочных основ реального анализа. Центральным элементом теории была концепция равномерной непрерывности и теорема, утверждающая, что каждая непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале равномерно непрерывна. Питер Густав Лежен Дирихле был первым, кто доказал это, и в своем доказательстве он неявно использовал существование конечного подпокрытия данного открытого покрытия замкнутого интервала. ^{[ 1 ]} Это доказательство он использовал в своих лекциях 1852 года, опубликованных только в 1904 году. ^{[ 1 ]} Позже Эдуард Гейне , Карл Вейерштрасс и Сальваторе Пинчерле подобные приемы использовали . Эмиль Борель в 1895 году был первым, кто сформулировал и доказал форму того, что сейчас называется теоремой Гейне-Бореля. Его формулировка ограничивалась счетными покрытиями. Пьер Кузен (1895), Лебег (1898) и Шенфлис (1900) обобщили его на произвольные покрытия. ^{[ 2 ]}

Доказательство

Если множество компактно, то оно должно быть замкнутым.

Пусть S — подмножество R ^н. Прежде всего заметим следующее: если a — предельная точка S окрестностью , то любой конечный набор открытых множеств, такой, что каждое открытое множество ∈ C не пересекается с некоторой V U _a , C не может быть покрытием S. U Действительно, пересечение конечного семейства множеств V _U является окрестностью W точки a в R ^н. Поскольку a предельной точкой S , W должна содержать точку x в S. является Этот x ∈ S не покрывается семейством C , поскольку каждое U в C не пересекается с V _U и, следовательно, не пересекается с W , которое содержит x .

Если S компактно, но не замкнуто, то оно имеет предельную точку a, не принадлежащую S . Рассмотрим набор C ′, состоящий из открытой окрестности N ( x ) для каждого x ∈ S чтобы не пересекать некоторую окрестность V _x a . , выбранной достаточно малой , Тогда C ′ является открытым покрытием S , но любое конечное подмножество C ′ имеет форму C, обсуждавшуюся ранее, и, следовательно, не может быть открытым подпокрытием S . Это противоречит компактности S . Следовательно, каждая предельная точка S находится в S , поэтому S замкнута.

Приведенное выше доказательство почти без изменений применимо к показу того, что любое компактное подмножество топологического пространства S хаусдорфова X замкнуто в X .

Если множество компактно, то оно ограничено.

Позволять $S$ быть компактным множеством в $\mathbf {R} ^{n}$ , и $U_{x}$ шар радиуса 1 с центром в $x\in \mathbf {R} ^{n}$ . Тогда множество всех таких шаров с центром в $x\in S$ явно открытая крышка $S$ , с $\cup _{x\in S}U_{x}$ содержит все $S$ . С $S$ компактно, возьмем конечное подпокрытие этого покрытия. Это подпокрытие представляет собой конечное объединение шаров радиуса 1. Рассмотрим все пары центров этих (конечного числа) шаров (радиуса 1) и пусть $M$ быть максимальным из расстояний между ними. Тогда, если $C_{p}$ и $C_{q}$ являются центрами (соответственно) единичных шаров, содержащих произвольные $p,q\in S$ , неравенство треугольника гласит:

$d(p,q)\leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)\leq 1+M+1=M+2.$

Итак, диаметр $S$ ограничен $M+2$ .

Лемма: Замкнутое подмножество компакта компактно.

Пусть K — замкнутое подмножество компакта T в R ^н и пусть C _K — открытое покрытие K . Тогда U = R ^н \ K — открытое множество и

$C_{T}=C_{K}\cup \{U\}$

это открытая обложка T . Так как T компактно, то имеет _CT конечное подпокрытие $C_{T}',$ это также охватывает меньшее множество K . Поскольку U не содержит ни одной точки из K , множество K уже покрыто $C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},$ это конечная подколлекция исходной коллекции C _K . можно выделить Таким образом, из любого открытого покрытия C _K поля K конечное подпокрытие.

Если множество замкнуто и ограничено, то оно компактно.

Если множество S в R ^н ограничен, то его можно заключить в n -блок

$T_{0}=[-a,a]^{n}$

где a > 0. По предыдущей лемме достаточно показать, что T ₀ компактно.

Предположим от противного, что T ₀ не компактно. Тогда существует бесконечное открытое покрытие C поля T0 _, не имеющее ни одного конечного подпокрытия. Разделив пополам каждую из сторон T ₀ , ящик T ₀ можно разбить на 2 ^н под n -коробочки, каждый из которых имеет диаметр, равный половине диаметра Т ₀ . Тогда хотя бы один из 2 ^н секции T ₀ должны требовать бесконечного подпокрытия C , иначе C само будет иметь конечное подпокрытие, объединяя вместе конечные покрытия секций. Назовите этот раздел Т ₁ .

Аналогично, стороны T ₁ можно разделить пополам, получив 2 ^н разделы T ₁ , хотя бы один из которых должен требовать бесконечного подпокрытия C . Продолжая аналогичным образом, получим уменьшающуюся последовательность вложенных n -блоков:

$T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots$

где длина стороны T _k равна (2 a )/2 ^к, который стремится к 0 при стремлении k к бесконечности. Определим последовательность ( xk _{находится} ) такую, каждый _что в Tk _. xk Эта последовательность Коши она должна сходиться к некоторому пределу L. , поэтому Поскольку каждый Tk _{последовательность} замкнут и для каждого k ( xk _L всегда находится внутри , _k мы видим, что ∈ Tk для _Tk каждого ) в конечном итоге .

Поскольку C покрывает T0 _, в нем существует такой элемент U ∈ C что L ∈ U. , то Поскольку U открыто, существует n -шар B ( L ⊆ U. ) Для достаточно большого k имеем Tk _{необходимое для} ⊆ B ( L ) ⊆ U , но тогда бесконечное число членов C, покрытия Tk _, можно заменить только одним: U , противоречие.

Таким образом, T ₀ компактен. Поскольку S замкнуто и является подмножеством компакта T ₀ , то S также компактно (см. лемму выше).

Обобщение теоремы Гейне-Бореля.

В общих метрических пространствах справедлива следующая теорема:

Для подмножества $S$ метрического пространства $(X,d)$ , следующие два утверждения эквивалентны:

$S$ компактен,
$S$ является предкомпактным ^{[ 3 ]} и полный ^{[ 4 ]}.

Сказанное выше следует непосредственно из Жана Дьедонне 3.16.1. теоремы ^{[ 5 ]}, в котором говорится:

Для метрического пространства $(X,d)$ , следующие три условия эквивалентны:

(а) $X$ компактен;
(б) любая бесконечная последовательность в $X$ имеет как минимум кластерное значение ^{[ 6 ]};
(с) $X$ является предкомпактным и полным.

Свойство Гейне-Бореля

Теорема Гейне-Бореля не справедлива в том виде, в котором она сформулирована для общих метрических и топологических векторных пространств , и это приводит к необходимости рассмотрения специальных классов пространств, для которых это предложение верно. Говорят, что эти пространства обладают свойством Гейне-Бореля .

В теории метрических пространств

Метрическое пространство $(X,d)$ Говорят, что оно обладает свойством Гейне–Бореля, если каждое замкнутое ограниченное ^{[ 7 ]} установить в $X$ компактен.

Многие метрические пространства не обладают свойством Гейне-Бореля, например метрическое пространство рациональных чисел (да и любое неполное метрическое пространство). Полные метрические пространства также могут не обладать этим свойством; например, никакие бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне – Бореля (как метрические пространства). Еще более тривиально: если действительная линия не наделена обычной метрикой, она может не обладать свойством Гейне–Бореля.

Метрическое пространство $(X,d)$ имеет метрику Гейне–Бореля, которая локально идентична Коши $d$ тогда и только тогда, когда оно завершено , $\sigma$ -компактный и локально компактный . ^{[ 8 ]}

В теории топологических векторных пространств

Топологическое векторное пространство $X$ Говорят, что он обладает свойством Гейне – Бореля ^{[ 9 ]} (Р.Э. Эдвардс использует термин «ограниченно компактное пространство»). ^{[ 10 ]}), если каждое замкнутое ограниченное ^{[ 11 ]} установить в $X$ компактен. ^{[ 12 ]} Никакие бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне – Бореля (как топологические векторные пространства). Но некоторые бесконечномерные пространства Фреше имеют, например, пространство $C^{\infty }(\Omega )$ гладких функций на открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ^{[ 10 ]} и пространство $H(\Omega )$ голоморфных функций на открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ . ^{[ 10 ]} В более общем смысле любое квазиполное ядерное пространство обладает свойством Гейне-Бореля. Все пространства Монтеля также обладают свойством Гейне–Бореля.

См. также

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Раман-Сундстрем, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячник . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .
^ Сундстрем, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].
^ Набор $S$ метрического пространства $(X,d)$ называется предкомпактным (или иногда «тотально ограниченным»), если для любого $\epsilon >0$ существует конечное покрытие $S$ по наборам диаметра $<\epsilon$ .
^ Набор $S$ метрического пространства $(X,d)$ называется полной, если любая последовательность Коши из $S$ сходится к точке $S$ .
^ Дьедонне, Жан (1969): Основы современного анализа, Том 1, увеличенная и исправленная печать. Academic Press, Нью-Йорк, Лондон, с. 58
^ Точка $x\in X$ называется кластерным значением бесконечной последовательности $(x_{n})$ элементов $x_{n}\in X$ , если существует подпоследовательность $(x_{n_{k}})$ такой, что $x=\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}$ .
^ Набор $B$ в метрическом пространстве $(X,d)$ называется ограниченным, если он содержится в шаре конечного радиуса, т. е. существует $a\in X$ и $r>0$ такой, что $B\subseteq \{x\in X:\ d(x,a)\leq r\}$ .
^ Уильямсон и Янош 1987 .
^ Kirillov & Gvishiani 1982 , Theorem 28.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Эдвардс 1965 , 8.4.7.
^ Набор $B$ в топологическом векторном пространстве $X$ называется ограниченным , если для каждой окрестности нуля $U$ в $X$ существует скаляр $\lambda$ такой, что $B\subseteq \lambda \cdot U$ .
^ В случае, когда топология топологического векторного пространства $X$ генерируется некоторой метрикой $d$ это определение не эквивалентно определению свойства Гейне–Бореля $X$ как метрическое пространство, поскольку понятие ограниченного множества в $X$ поскольку метрическое пространство отличается от понятия ограниченного множества в $X$ как топологическое векторное пространство. Например, пространство ${\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ гладких функций на интервале $[0,1]$ с метрикой $d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}{1+\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}}$ (здесь $x^{(k)}$ это $k$ -я производная функции $x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ ) обладает свойством Гейне – Бореля как топологическое векторное пространство, но не как метрическое пространство.

Ссылки

П. Дугач (1989). «О соответствии Бореля и теореме Дирихле – Гейне – Вейерштрасса – Бореля – Шенфлиса – Лебега». Арх. Межд. Хист. Наука . 39 :69–110.
BookOfProofs: Свойство Гейне-Бореля
Джеффрис, Х.; Джеффрис, Б.С. (1988). Методы математической физики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521097239 .
Уильямсон, Р.; Янош, Л. (1987). «Построение метрик со свойством Гейне-Бореля» . Учеб. АМС . 100 (3): 567–573. doi : 10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X .
Кириллов А.А.; Гвишиани, А.Д. (1982). Теоремы и задачи функционального анализа . Springer-Publishing Нью-Йорк. ISBN 978-1-4613-8155-6 .
Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356 .

Внешние ссылки

Иван Кениг, доктор профессор Ганс-Кристиан Граф против Боттмера, Дмитрий Тиссен, Андреас Тимм, Виктор Виттман (2004). Теорема Гейне–Бореля . Ганновер: Университет Лейбница. Архивировано из оригинала (avi • mp4 • mov • swf • потоковое видео) 19 июля 2011 г.
«Теорема о покрытии Бореля-Лебега» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Mathworld «Теорема Гейне-Бореля»
«Анализ первых доказательств теоремы Гейне-Бореля - доказательство Лебега»

[Sundström-1] Перейти обратно: ^а ^б Раман-Сундстрем, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячник . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 . S2CID 119936587 .

[sundstrom_2010-2] Сундстрем, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

[3] Набор $S$ метрического пространства $(X,d)$ называется предкомпактным (или иногда «тотально ограниченным»), если для любого $\epsilon >0$ существует конечное покрытие $S$ по наборам диаметра $<\epsilon$ .

[4] Набор $S$ метрического пространства $(X,d)$ называется полной, если любая последовательность Коши из $S$ сходится к точке $S$ .

[5] Дьедонне, Жан (1969): Основы современного анализа, Том 1, увеличенная и исправленная печать. Academic Press, Нью-Йорк, Лондон, с. 58

[6] Точка $x\in X$ называется кластерным значением бесконечной последовательности $(x_{n})$ элементов $x_{n}\in X$ , если существует подпоследовательность $(x_{n_{k}})$ такой, что $x=\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}$ .

[7] Набор $B$ в метрическом пространстве $(X,d)$ называется ограниченным, если он содержится в шаре конечного радиуса, т. е. существует $a\in X$ и $r>0$ такой, что $B\subseteq \{x\in X:\ d(x,a)\leq r\}$ .

[FOOTNOTEWilliamsonJanos1987-8] Уильямсон и Янош 1987 .

[FOOTNOTEKirillovGvishiani1982Theorem_28-9] Kirillov & Gvishiani 1982 , Theorem 28.

[FOOTNOTEEdwards19658.4.7-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с Эдвардс 1965 , 8.4.7.

[11] Набор $B$ в топологическом векторном пространстве $X$ называется ограниченным , если для каждой окрестности нуля $U$ в $X$ существует скаляр $\lambda$ такой, что $B\subseteq \lambda \cdot U$ .

[12] В случае, когда топология топологического векторного пространства $X$ генерируется некоторой метрикой $d$ это определение не эквивалентно определению свойства Гейне–Бореля $X$ как метрическое пространство, поскольку понятие ограниченного множества в $X$ поскольку метрическое пространство отличается от понятия ограниченного множества в $X$ как топологическое векторное пространство. Например, пространство ${\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ гладких функций на интервале $[0,1]$ с метрикой $d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}{1+\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}}$ (здесь $x^{(k)}$ это $k$ -я производная функции $x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]$ ) обладает свойством Гейне – Бореля как топологическое векторное пространство, но не как метрическое пространство.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]